2024-2025學(xué)年黑龍江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（）A.15 B. C. D.4.已知雙曲線的一條漸近線方程為，實(shí)軸長為4，則的方程為（）A. B.C.或 D.或5.已知圓，點(diǎn)，若直線，分別切圓于，兩點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.6.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)為A?2,0，，且，的斜率之積等于，則（）A.當(dāng)時(shí)，的軌跡為直線（去掉，兩點(diǎn)）B.當(dāng)時(shí)，的軌跡為雙曲線（去掉，兩點(diǎn)）C.當(dāng)時(shí)，的軌跡為橢圓（去掉，兩點(diǎn)）D.當(dāng)時(shí)，的軌跡為拋物線（去掉，兩點(diǎn)）7.某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓.設(shè)地球半徑為，若其近地點(diǎn)離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A. B. C. D.8.已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，是和的一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，一個(gè)動點(diǎn)，則（）A.若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B.若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C.若，則點(diǎn)的軌跡為直線D.若，則點(diǎn)的軌跡為圓10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球.事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.與互斥 B.與互斥 C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.設(shè)過且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，過作，，垂足分別為和，，與軸分別交于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，則（）A.為的中點(diǎn) B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，則過點(diǎn)的圓的最短弦所在的直線方程為______.13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，長軸長為16，過且斜率為的直線與在第一象限交于點(diǎn)，且，則______.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，Px0,y0是拋物線上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.甲、乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.（1）寫出甲、乙抽到牌的所有情況；（2）若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是多少？（3）甲、乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，則甲勝；否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？為什么？16.已知圓.（1）求過點(diǎn)與圓相切的直線方程.（2）求過點(diǎn)與圓相交且弦長為直線方程.17.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)任做一條直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.18.已知和為雙曲線上兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線的離心率及漸近線方程；（3）若過的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為6，求的方程.19.已知動圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，記圓心軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為正直線交曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），的中點(diǎn)為，①過作直線的垂線，垂足分別為，試證明：；②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若的面積為4，求直線的方程．2024-2025學(xué)年黑龍江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，又，所以.故選：C2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由可得，所以焦點(diǎn)為，故選：B3.已知隨機(jī)事件，滿足，，，則（）A.15 B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計(jì)算即得．【詳解】∵，∴，故選：B.4.已知雙曲線的一條漸近線方程為，實(shí)軸長為4，則的方程為（）A. B.C.或 D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)位置設(shè)出方程，由漸近線方程及實(shí)軸長列出的方程，求解即可．【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為，∵漸近線方程為，實(shí)軸長為4，∴且，解得，∴的方程為．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程為，∵漸近線方程為，實(shí)軸長為4，∴且，解得，∴的方程為．綜上，的方程為或．故選：C．5.已知圓，點(diǎn)，若直線，分別切圓于，兩點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意可知直線為圓和以為直徑的圓的公共弦，求出以為直徑的圓，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)橹本€，分別切圓于，兩點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A的圓心為，半徑為，故以為直徑的圓的方程，即，又圓，即，兩圓方程相減得，所以直線的方程為：．故選：A．6.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)為A?2,0，，且，的斜率之積等于，則（）A.當(dāng)時(shí)，的軌跡為直線（去掉，兩點(diǎn)）B.當(dāng)時(shí)，的軌跡為雙曲線（去掉，兩點(diǎn)）C.當(dāng)時(shí)，的軌跡為橢圓（去掉，兩點(diǎn)）D.當(dāng)時(shí)，的軌跡為拋物線（去掉，兩點(diǎn)）【正確答案】C【分析】設(shè)，由條件求出的軌跡方程，根據(jù)的取值范圍確定軌跡的形狀即可．【詳解】設(shè)，由，斜率之積等于，得，即，當(dāng)時(shí)，方程為，∴的軌跡是圓（去掉，兩點(diǎn)），故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程為，且，∴的軌跡為橢圓（去掉，兩點(diǎn)），故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程為，且，∴的軌跡為橢圓（去掉，兩點(diǎn)），故C正確；當(dāng)時(shí)，方程為，且，∴的軌跡為雙曲線（去掉，兩點(diǎn)），故D錯(cuò)誤．故選：C．7.某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓.設(shè)地球半徑為，若其近地點(diǎn)離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意知且，解得，，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為.故選：A.8.已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，是和的一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由條件結(jié)合橢圓與雙曲線的定義可得，然后由向量的運(yùn)算求解即可.【詳解】由橢圓的定義得,∴，即①，由雙曲線的定義得,∴，即②，由①②解得，又由題意知，，可得，∴，而，∴，則，又∵為的中點(diǎn)，∴.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是一個(gè)動點(diǎn)，則（）A.若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B.若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C.若，則點(diǎn)的軌跡為直線D.若，則點(diǎn)的軌跡為圓【正確答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A，根據(jù)雙曲線的定義判斷B，可得，即可判斷C，設(shè)，由距離公式推出軌跡方程，即可判斷D.【詳解】對于A：，則點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，故A正確；對于B：，則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)雙曲線的右支，故B錯(cuò)誤；對于：由，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)，由，則，即，所以點(diǎn)軌跡為圓，故D正確.故選：AD.10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球.事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.與互斥 B.與互斥 C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立【正確答案】ABD【分析】列舉出基本事件，再根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】依題意從中有放回地隨機(jī)取兩次球，則可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)結(jié)果.事件包含的基本事件有：，，，，，共個(gè)；事件包含的基本事件有：，，，，，共個(gè)；事件包含的基本事件有：共個(gè)；事件包含的基本事件有：，，，，，共個(gè)；對于A：顯然事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，故A正確；對于B：事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，故B正確；對于C：因?yàn)?，，，所以與不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?，，，所以與相互獨(dú)立，故D正確.故選：ABD11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.設(shè)過且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，過作，，垂足分別為和，，與軸分別交于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，則（）A.為的中點(diǎn) B. C. D.【正確答案】ABD【分析】A：根據(jù)為中點(diǎn)以及進(jìn)行分析；B：先證明，然后證明，由此可判斷選項(xiàng)；C：聯(lián)立直線與拋物線求解出坐標(biāo)，由此可分析出坐標(biāo)，表示出直線的方程，聯(lián)立可得坐標(biāo)，據(jù)此計(jì)算并判斷；D：根據(jù)的坐標(biāo)計(jì)算并判斷.【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，不妨設(shè)在軸上方，在軸下方，如圖所示，對于A：因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，故正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，由A選項(xiàng)，同理可證為的中點(diǎn)，又，所以，所以，故正確；對于C：設(shè)Ax1,y1,Bx2,所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，，即，?lián)立，解得，所以且準(zhǔn)線上，所以，所以，故錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)椋?，故正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，則過點(diǎn)的圓的最短弦所在的直線方程為______.【正確答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則最短弦過點(diǎn)P且與垂直，根據(jù)兩直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系及點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】由題意知，圓，設(shè)點(diǎn)，最短弦過點(diǎn)P且與垂直，因?yàn)?，所以最短弦所在直線的斜率，所以最短弦所在的直線方程為，即．故．13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，長軸長為16，過且斜率為的直線與在第一象限交于點(diǎn)，且，則______.【正確答案】【分析】先利用直線的斜率求出，再由及橢圓定義求出，最后利用余弦定理即可求得結(jié)果．【詳解】∵直線的斜率，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍）．所以．故．14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，Px0,y0是拋物線上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則______.【正確答案】【分析】設(shè)出直線的方程，求得坐標(biāo)，計(jì)算可得，即可得解．【詳解】是拋物線上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則，由題意知，直線的方程為，即，即，所以，所以，所以，所以，即，故．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.甲、乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.（1）寫出甲、乙抽到牌的所有情況；（2）若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是多少？（3）甲、乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，則甲勝；否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？為什么？【正確答案】（1）答案見解析（2）（3）游戲不公平，理由見解析【分析】（1）由題意寫出所有抽牌情況即可；（2）由古典概率計(jì)算即可；（3）找到甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大的情況，再由古典概率計(jì)算，比較大小即可；【小問1詳解】分別用2，3，4，表示紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4，則甲、乙抽到牌的所有情況為，共12種不同的情況.【小問2詳解】甲抽到紅桃3，乙抽到的只能是紅桃2，紅桃4，方片4，因此乙抽到牌的數(shù)字比3大的概率是，【小問3詳解】甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，有，共5種情況，因此甲勝的概率為，乙勝的概率為.因此＜，所以此游戲不公平.16.已知圓.（1）求過點(diǎn)與圓相切的直線方程.（2）求過點(diǎn)與圓相交且弦長為的直線方程.【正確答案】（1）或（2）或【分析】（1）分直線斜率存在和不存在，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求解；（2）由弦長求得圓心到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【小問1詳解】∵圓，即，∴圓心，半徑，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，圓心到直線的距離，解得，此時(shí)直線方程為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線與圓相切，綜上，所求直線方程為或．【小問2詳解】∵過點(diǎn)與圓相交且弦長為，∴圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線的距離為7，不合題意；∴直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，∵圓心到直線距離，整理得，即，解得或，∴所求直線方程為或．17.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)任做一條直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）依題意得到關(guān)于、、的方程組，求出、，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)，，利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)弦的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【小問1詳解】依題意可得，解得，所以橢圓方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意得中點(diǎn)弦的斜率存在，且在橢圓內(nèi)，設(shè)，，所以，，兩式作差得，由于是的中點(diǎn)，故，，所以，所以，所以，所以中點(diǎn)弦的方程為，所求的直線方程．18.已知和為雙曲線上兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線的離心率及漸近線方程；（3）若過的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為6，求的方程.【正確答案】（1）（2）離心率為，漸近線方程為（3）或或或【分析】（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，解方程組求出，即得答案；（2）根據(jù)雙曲線的離心率公式與漸近線的方程求解；（3）求出直線的方程，及點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，根據(jù)條件列出方程組，求出得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求直線的方程.【小問1詳解】∵和為雙曲線上兩點(diǎn)，∴且，解得，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳