第22屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽小高組決賽(A)卷

第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽〔A〕卷【小高組】一、填空題〔每題10分,共80分〕.用［x］表示不超過x的最大整數(shù),例如［3.14］3,那么TOC\o"1-5"\h\z2021 3 2021 4 2021 5 2021 6 2021 7 2021 8/ 的值為.11 11 11 11 112.從4個(gè)整數(shù)中任意選出3個(gè),求出它們的平均值,然后再求這個(gè)平均值和余下 1個(gè)數(shù)的和,這樣1可以得到4個(gè)數(shù)：8,12,10』和91,那么原來給定的4個(gè)整數(shù)的和為 ^3.在3X3的網(wǎng)格中〔每個(gè)格子是個(gè)1X1的正方形〕放兩枚相同的棋子,每個(gè)格子最多放一枚棋子,共有種不同的擺放方法.〔如果兩種放法能夠由旋轉(zhuǎn)而重合,那么把它們視為同一種擺放方法〕.甲從A地出發(fā)去找乙,走了80千米后到達(dá)B地,此時(shí),乙已于半小時(shí)前離開B地去了C地,甲已離開A地2小時(shí),于是,甲以原來速度的2倍去C地,又經(jīng)過了2小時(shí)后,甲乙兩人同時(shí)到達(dá)C地,那么乙的速度是 千米/小時(shí)..某校開設(shè)了書法和朗誦兩個(gè)興趣小組,兩個(gè)小組都參加的人數(shù)是只參加書法小組人數(shù)的2,是只參加朗誦小組人數(shù)的1,那么書法小組與朗誦小組的人數(shù)比是.7 5.右圖中,三角形ABC的面積為100平方厘米,三角形ABD的面積為72平方厘米.M為CD邊的中點(diǎn),MHB90o.AB=20厘米.那么MH的為CD邊的中點(diǎn),.一列數(shù)ai,a2,,an,,記S(ai)為ai的所有數(shù)字之和,如S(22)224.假設(shè)al2021,a222,anS(ani)S(an2),那么a2021等于..如右圖,六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)志為 A,B,C,D,E,F.開始的時(shí)候華羅庚金杯賽〞六個(gè)漢字分別位于A,B,C,D,E,F頂點(diǎn)處.將六個(gè)漢字在頂點(diǎn)處任意擺放,最終結(jié)果是每個(gè)頂點(diǎn)處仍各有一庚金個(gè)漢字,每個(gè)字在開始位置的相鄰頂點(diǎn)處,那么不同的擺放方法共有庚金二、解答以下各題〔每題10分,共40分,要求寫出簡(jiǎn)要過程〕.平面上有5條不同的直線,這5條直線共形成n個(gè)交點(diǎn),那么n有多少個(gè)不同的數(shù)值?.某校給學(xué)生提供蘋果、香蕉和梨三種水果,用作課間加餐.每名學(xué)生至少選擇一種,也可以多項(xiàng)選擇統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：70%的學(xué)生選擇蘋果,40%的學(xué)生選了香蕉,30%的學(xué)生選了梨.那么三種水果都選的學(xué)生數(shù)占學(xué)生總數(shù)至多是百分之幾.11..箱子里面有兩種珠子,一種每個(gè) 19克,另一種每個(gè)17克,所有珠子的重量為2021克,求兩種珠子的數(shù)量和所有可能的值.5n1.使3^二不為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的三位數(shù)n之和等5n1三、解答以下各題〔每題15分,共30分,要求寫出詳細(xì)過程〕.班上共有60位同學(xué),生日記為某月某號(hào).問每個(gè)同學(xué)兩個(gè)同樣的問題：班上有幾個(gè)人與你生日的月份相同？班上有幾個(gè)人與你生日的號(hào)數(shù)相同〔比方生日為1月12日與12月12日的號(hào)數(shù)是相同的〕結(jié)果發(fā)現(xiàn),在所得到的答復(fù)中包含了由 0到14的所有整數(shù),那么,該班至少有多少個(gè)同學(xué)生日相同.將1至9填入右圖的網(wǎng)格中,要求每個(gè)格子填一個(gè)整數(shù),不同格子填的數(shù)字不同,且每個(gè)格子周圍的格子〔即與該格子有公共邊的格子〕所填數(shù)字之和是該格子中所填數(shù)字的整數(shù)倍.左右格子已經(jīng)填有數(shù)字4和5,問：標(biāo)有字母x的格子所填的數(shù)字最大是多少？第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽(A)卷參考答案【小高組】一、填空題(每題10分,共80分).解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算原式(20214)3 (20214)4 (20214)5 (20214)6 (20214)7 (20214)8TOC\o"1-5"\h\z11 11 11 11 1143 44 45 46 47 48183(345678)11 11 11 11 11 11183331112226039960482.解析：【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)設(shè)這四個(gè)整數(shù)分別是a、b、c、d,根據(jù)題意,可以得到：1-(abc)d81-(abd)c123TOC\o"1-5"\h\z1 2(a c d) b 103 31 1(b c d) a 93 31 四個(gè)式子相加得到一(3a3b3c3d)abcd40,化間得到abcd20,3那么原來給定的4個(gè)整數(shù)的和為20..解析：【知識(shí)點(diǎn)】如下圖,圖1中,當(dāng)一枚棋子確定后,另一枚棋子有 7個(gè)位置可以選擇,故有7種擺放方法；圖2中,當(dāng)一枚棋子確定后,另一枚棋子有 3個(gè)位置可以選擇,其余均與圖 1重復(fù),故有3種擺放方法；圖3中,所有的擺法均與圖1,圖2中的重復(fù)；所以一共有7+3=10種不同的擺放方法.

.解析：【知識(shí)點(diǎn)】行程問題假定A、B、C三地在同一條直線上,從A至ijB,80千米,甲用了兩小時(shí),那么甲的速度為 40千米/小時(shí);設(shè)乙的速度為化,乙離開B地半小時(shí),距B地的距離為0.5v乙；乙再用2小時(shí)到達(dá)C地,那么B、C兩地的距離為2.5v乙；2V甲80千米/小時(shí),甲用兩小時(shí)從B地到達(dá)C地,那么8022.5v乙 v乙64千米/小時(shí).解析：【知識(shí)點(diǎn)】容斥如圖,a表示只參加書法興趣小組的人數(shù), c表示只參加朗誦興趣小組的人數(shù), b表示既參加書法興趣小組又參加朗誦興趣小組的人數(shù);根據(jù)題意,可以根據(jù)題意,可以得到b-ab1c

57a-b那么(ab)3.5bb4.532'、(bc)5bb6 4c5b那么書法小組與朗誦小組的人數(shù)比3:4..解析：【知識(shí)點(diǎn)】平面幾何22 2100cm,貝UCF10cm,SABD72cm,過D點(diǎn)作DEBC,過C點(diǎn)作CFBC,BC20cm,SABC那么DE7.2cm,DE//MH//CF,M為CD的中點(diǎn),那么MH為梯形CDEF的中位線,1MH(i(107.2)8.6cm,那么MH的長(zhǎng)度為8.6厘米..解析：【知識(shí)點(diǎn)】周期問題要求22021的值,將該數(shù)列多寫幾項(xiàng),尋找其中的規(guī)律;a12021a1111a2111a222a126a225a314a138a237a49a1414a2412a514a1513a2510a614a169a264a710a1713a275a86a1813a289a97a198a2914a1013a2012a3014最小周期為24,(20213)2483 22,那么a2021等于10.解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù),邏輯推理每個(gè)點(diǎn)都有兩個(gè)相鄰位置,需要分類討論；假設(shè)重新擺放后,“華〞在B位置,“羅〞在A位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在C位置,“杯〞在F位置,“賽〞在E位置,這是一種情況,假設(shè)“金〞在E位置,不符合條件；“華〞在B位置,“羅〞在C位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在E位置,“杯〞在F位置,“賽〞在A位置,這是另一種種情況；同樣的,“華〞如果在F位置,同樣也有兩種情況,所以總共有 4種不同的擺放方法.二、解答以下各題(每題10分,共40分,要求寫出簡(jiǎn)要過程).解析：【知識(shí)點(diǎn)】圖論5條直線,最多可以有十個(gè)交點(diǎn),最少可以沒有交點(diǎn), 0?10,共11種可能,但是2個(gè)交點(diǎn)和3個(gè)交點(diǎn)的情況不可能出現(xiàn),所以總共有11-2=9種；所以交點(diǎn)n的個(gè)數(shù)有9個(gè)不同的取值..解析：【知識(shí)點(diǎn)】容斥設(shè)學(xué)生總數(shù)為100人,那么70人選擇蘋果,40人選擇香蕉,30人選擇梨;只選擇蘋果的人數(shù)為 70(abc),只選擇香蕉的人數(shù)為 40(abd),只選擇梨的人數(shù)為30(acd),可以得到70(abc)40(abd)30(acd)(abcd)100化簡(jiǎn)得到2abcd40,那么a40(bcd) 當(dāng)bcd0時(shí),a可以取最大值20.211解析：【知識(shí)點(diǎn)】不定方程設(shè)19克的珠子有x個(gè),17克的珠子有y個(gè),根據(jù)題意,可以得到：19x17y2021根據(jù)余數(shù)的性質(zhì),19x17y2021(mod17),17x0(mod17),202111(mod17),那么19x11(mod17),那么2x11(mod17),可以得到最小的x值,及對(duì)應(yīng)的y值,并在此根底上加減系數(shù)即可；x14x 31 x 48 x65x 82x 99y103‘y 84' y 65' y46 'y 27 'y 8珠子和分別為117,115,113,111,109,107..解析：【知識(shí)點(diǎn)】輾轉(zhuǎn)相除根據(jù)題意,(3n2)和(5n1)的最大公約數(shù)不為1,設(shè)其最大公約數(shù)為k,即(3n2,5n1)k,(k1),根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除,可得：k(3n2,5n1)(3n2,2n1)(n3,2n1)(n3,n4)(n4,7)因此,k等于7,且7能夠整除n4,滿足條件的最小三位數(shù)是 102,依次加7即可滿足條件,n構(gòu)成等差數(shù)列102,109,116,,998,總共129個(gè)數(shù)字；那么滿足條件的三位數(shù)的和為10299812970950.2三、解答以下各題(每題 15分,共30分,要求寫出詳細(xì)過程).解析：【知識(shí)點(diǎn)】抽屜原理60位同學(xué),每人答復(fù)兩個(gè)問題,所以總共有120個(gè)答復(fù),這些答復(fù)中包含0?14的所有整數(shù),也就是說每種答復(fù)包含白^學(xué)生數(shù)量為 1?15,由于123 15120,也就是說不管是答復(fù)同月還是同號(hào),

月和號(hào)的數(shù)字不會(huì)重復(fù),正好每個(gè)數(shù)字都僅用了一次〔即不會(huì)出現(xiàn)同月的有 3個(gè),同號(hào)的也有三個(gè)的情況〕；為了滿足題目至少的要求,那么一個(gè)根本的考慮就是同月的分布要盡量分散,這樣生日相同的可能性就能盡量少；因此,答復(fù)同月的共有60個(gè)學(xué)生,在1?15中,用1,2,3,4,5,7,8,9,10,11這10個(gè)數(shù)字構(gòu)造出60,即回答同月為0的有1人,答復(fù)同月為1的有2人等等,共有10個(gè)月有學(xué)生；此時(shí),還剩下15,14,13,12,6是答復(fù)同號(hào)的,取15來分析,這15名同學(xué)是包含在上面答復(fù)同月的學(xué)生中的,也就是說,這15個(gè)同號(hào)的學(xué)生最極端的情況會(huì)盡量分散在 10個(gè)月份中,也就是必然存在至少有2個(gè)人同月同日；所以至少有兩名同學(xué)生日相同..解析：【知識(shí)點(diǎn)】組合數(shù)學(xué)除去4和5,剩余7個(gè)數(shù)字的和是36,設(shè)xy36,即圖中空白格子的數(shù)字之和為 y,根據(jù)題意,xy36,x的取值可以是1,2,3,6,9;ynx既然要求x可能取的最大值,先假設(shè)x9,(1(1)假設(shè) b c 1 3, e f(2)假設(shè) b c 1 7, e f(3)假設(shè) b c 2 6, e fx9不符合條件,再假設(shè)x28或78,填入原圖后無解;23或28,填入原圖后無解;37或78,填入原圖后無解;6,bc17,ef28時(shí),可以構(gòu)造出符合題意的情況;因此,x可以取的最大值為6.第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽〔B〕卷【小高組】、填空題〔每題10分,共80分〕TOC\o"1-5"\h\zJ1 1111-23 3451 1202120211 1 1~202120212021.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,出發(fā)時(shí)甲乙兩車的速度比為 5:4.出發(fā)后不久,甲車發(fā)生爆胎,停車更換輪胎后繼續(xù)前進(jìn),并且將速度提升20%,結(jié)果在出發(fā)后3小時(shí),與乙車相遇在AB兩地中點(diǎn).相遇后,乙車?yán)^續(xù)往前行駛,而甲車掉頭行駛,當(dāng)甲車回到 A地時(shí),乙車恰好到達(dá)甲車爆胎的位置,那么甲車更換輪胎用了分鐘..在3X3的網(wǎng)格中〔每個(gè)格子是個(gè)1X1的正方形〕放兩枚相同的棋子,每個(gè)格子最多放一枚棋子,共種不同的擺放方法.〔如果兩種放法能夠由旋轉(zhuǎn)而重合,那么把它們視為同一種擺放方法〕4.小4.小于1000的自然數(shù)中,有個(gè)數(shù)的數(shù)字組成中最多有兩個(gè)不同的數(shù)字..右圖中,三角形ABC的面積為100平方厘米,三角形ABD的面積為72平方厘米.M為CD邊的中點(diǎn),MHB90.AB=20厘米.那么MH的長(zhǎng)度為厘米.

HH.一列數(shù)ai0,,an,,記S(ai)為ai的所有數(shù)字之和,如S(22)224.假設(shè)ai2021,a222,不S(ani)S(an2),那么a20i7等于.一個(gè)兩位數(shù),其數(shù)字和是它的約數(shù),數(shù)字差(較大數(shù)減去較小數(shù))也是它的約數(shù),這樣的兩位數(shù)的個(gè)的個(gè)數(shù)共有個(gè).最終最終結(jié)果是每個(gè)頂點(diǎn)處仍各有.如右圖,六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)志為 A,B,C,D,E,F.開始的時(shí)候“華羅庚金杯賽〞六個(gè)漢字分別位于A,B,C,D,E,F頂點(diǎn)處.將六個(gè)漢字在頂點(diǎn)處任意擺放,一個(gè)漢字,每個(gè)字在開始位置的相鄰頂點(diǎn)處,那么不同的擺放方法共有、解答以下各題(每題10分,共40分,要求寫出簡(jiǎn)要過程).平面上有5條不同的直線,這5條直線共形成m個(gè)交點(diǎn),那么m有多少個(gè)不同的數(shù)值?.求能被7整除且各位數(shù)字均為奇數(shù),各位數(shù)字和為 2021的最大正整數(shù).從1001,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意選出四個(gè)數(shù),使它們的和為偶數(shù),那么共有多少種不同的選法..使生二不為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的三位數(shù)之和等于多少5n1三、解答以下各題〔每題15分,共30分,要求寫出詳細(xì)過程〕.一個(gè)正六邊形被剖分成6個(gè)小三角形,如右圖.在這些小三角形的7個(gè)頂點(diǎn)處填上7個(gè)不同的整數(shù).能否找到一個(gè)填法,使得每個(gè)小三角形頂點(diǎn)處的3個(gè)數(shù)都按順時(shí)針方向從小到大排列.如果可以,請(qǐng)給出一種填法；如果不可以,請(qǐng)說明理由..7X的方格網(wǎng)黑白染色,如果黑格比白格少的列的個(gè)數(shù)為 m,黑格比白格多的行的個(gè)數(shù)為 n,求mn的最大值.第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽〔B〕卷參考答案【小高組】、填空題〔每題10分,共80分〕.解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算原式11 31111一一111 31111一一1一一23(22311)4234532(21)26245 34 2021(41)420212452021(41)12021

1 1 120212021202120212021120211 12021202120212021(20211)2021(20211)202122034144202122.解析：【知識(shí)點(diǎn)】行程問題設(shè)甲最初的速度為5v,乙的速度為4v,甲提速后的速度為6v,行程圖如下,C點(diǎn)為爆胎處,D點(diǎn)為中點(diǎn),設(shè)C、D的距離為x,乙車用了3小時(shí),從乙車用了3小時(shí),從B地到D地,走過的距離為34v12v,即為半程的距離;相遇以后,甲掉頭返回,乙繼續(xù)行駛,可以得到那么甲從A到D,行車所用的時(shí)間為4v8v5v6v一一、, 3213 13那么換輪胎所用的時(shí)間為3+13h,13601515 15所以甲車更換輪胎用了52分鐘.12v—x8v,那么A、C兩地距離為4v6v4v432—一,31552min,.解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)如下圖,圖1中,當(dāng)一枚棋子確定后,另一枚棋子有 7個(gè)位置可以選擇,故有7種擺放方法;圖2中,當(dāng)一枚棋子確定后,另一枚棋子有 3個(gè)位置可以選擇,其余均與圖1重復(fù),故有3種擺放方圖3中,所有的擺法均與圖1,圖2中的重復(fù);所以一共有7+3=10種不同的擺放方法.

.解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)0?99這100個(gè)數(shù)字都符合題意,主要研究三位數(shù),分為含0和不含0分類討論;只含一個(gè)0,總共有18個(gè)；含兩個(gè)0,總共有9個(gè)；不含0,只含一種數(shù)字的總共有9個(gè)；不含0,由兩種數(shù)字組成的總共有C；32216個(gè)；那么滿足條件的數(shù)總共有100+18+9+9+216=352個(gè)..解析：【知識(shí)點(diǎn)】平面幾何過D點(diǎn)作DEBC,過C點(diǎn)作CFBC,BC20cm,Sabc100cm2,MCF10cm過D點(diǎn)作DEBC,過C點(diǎn)作CF那么DE7.2cm,DE//MH//CF,M為CD的中點(diǎn),那么MH為梯形CDEF的中位線,1MH-(107.2)8.6cm,那么MH的長(zhǎng)度為8.6厘米..解析：【知識(shí)點(diǎn)】周期問題要求22021的值,將該數(shù)列多寫幾項(xiàng),尋找其中的規(guī)律;

a12021a1111a2111a222a126a225a314a138a237a49a1414a2412a514a1513a2510a614a169a264a710a〞13a275a86a1813a289a97a198a2914a1013a2012a3014最小周期為24,(20213)2483 22,貝Ua2021M10.解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)設(shè)這個(gè)兩位數(shù)是ab,ab10ab;1時(shí),2時(shí),b20b18,解得3時(shí),b30b,b27,解得4時(shí),b40b36,5時(shí),b50b,b1時(shí),2時(shí),b20b18,解得3時(shí),b30b,b27,解得4時(shí),b40b36,5時(shí),b50b,b45,6時(shí),b60b54,7時(shí),b70b63,8時(shí),b80b,b72,9時(shí),b900、2、8,驗(yàn)算10、0、1、4、7,驗(yàn)算0、6,驗(yàn)算30、解得b解得b解得b解得b解得b解得b0、2、58,驗(yàn)算12可以,18不可以;20、21、24可以,27不可以;36可以;40、42、45、48可以;0、4,驗(yàn)算50、54可以;0、3,驗(yàn)算60、63可以;02,驗(yàn)算70可以,72不可以;0、1、4,驗(yàn)算80、84可以,81不可以;0,驗(yàn)算90可以;杯杯〞在F〞在A位所以,滿足條件的兩位數(shù)總共有 19個(gè)..解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù),邏輯推理每個(gè)點(diǎn)都有兩個(gè)相鄰位置,需要分類討論;假設(shè)重新擺放后,華〞在B位置,羅〞在A位置,那么庚〞只能在D位置,金〞可在C位置,位置,賽〞在E位置,這是一種情況,假設(shè)金〞在E位置,不符合條件;華〞在B位置,羅〞在C位置,那么庚〞只能在D位置,金〞可在E位置,杯〞在F位置,段置,這是另一種種情況;

同樣的,華〞如果在F位置,同樣也有兩種ft況,所以總共有 4種不同的擺放方法.二、解答以下各題(每題10分,共40分,要求寫出簡(jiǎn)要過程).解析：【知識(shí)點(diǎn)】圖論5條直線,最多可以有十個(gè)交點(diǎn),最少可以沒有交點(diǎn), 0?10,共11種可能,但是2個(gè)交點(diǎn)和3個(gè)交點(diǎn)的情況不可能出現(xiàn),所以總共有 11-2=9種；所以交點(diǎn)n的個(gè)數(shù)有9個(gè)不同的取值..解析：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)論要使得所求的數(shù)盡可能大,那么所求整數(shù)的位數(shù)就盡可能多,且每一位數(shù)字都是奇數(shù),就要含有盡量多的1;根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征可得,111111是每個(gè)數(shù)位均為1,且能被7整除的最小數(shù),而2021=6X336+1=6X335+7當(dāng)有336個(gè)111111時(shí),由于所有數(shù)字之和是2021,首位數(shù)字只能是1,不能被7整除；當(dāng)有335個(gè)111111時(shí),前面還需要再加上一個(gè)正整數(shù),使得數(shù)字之和等于 2021,且要求最大,滿足條件的最大整數(shù)是13111,;所以滿足條件的最大正整數(shù)就是 13111--111.2021個(gè)1解析：【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)這9個(gè)數(shù)里面有5個(gè)奇數(shù),4個(gè)偶數(shù),要使得選出來的4個(gè)數(shù)之和為偶數(shù),有下面