2015-2024年十年高考數學真題分類匯編專題11 立體幾何的基本概念、點線面位置關系及表面積、體積的計算小題綜合（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題11立體幾何的基本概念、點線面位置關系及表面積、體積的計算小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1點線面的位置關系及其判斷（10年7考）2024·全國甲卷、2024·天津卷、2022·全國乙卷2021·浙江卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷2019·全國卷、2019·北京卷、2017·全國卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·全國卷2015·浙江卷、2015·湖北卷、2015·廣東卷2015·福建卷、2015·北京卷1.理解、掌握空間中點線面的位置關系及相關的圖形和符號語言，熟練掌握平行關系的判定定理和性質定理及其應用，熟練掌握垂直關系的判定定理和性質定理及其應用，該內容是新高考卷的常考內容，需強化鞏固復習.2.了解柱、錐、臺體及簡單組合體的結構特征及其相關性質，會運用柱體、錐體、臺體等組合體的表面積和體積的計算公式求解相關問題，該內容是新高考卷的常考內容，一般給定柱、錐、臺體及簡單組合體，求對應的表面積與體積，需強化復習.考點2求幾何體的體積（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·天津卷、2024·全國甲卷2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2023·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷2023·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷、2022·全國甲卷2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·北京卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·海南卷2020·江蘇卷、2019·江蘇卷、2019·全國卷2019·天津卷、2018·江蘇卷、2018·全國卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·全國卷2016·浙江卷、2015·上海卷、2015·江蘇卷2015·全國卷、2015·山東卷、2015·山東卷考點3求幾何體的側面積、表面積（10年4考）2023·全國甲卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷2020·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷考點01點線面的位置關系及其判斷1．（2024·全國甲卷·高考真題）設為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根據線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據線面平行的性質即可判斷③.【詳解】對①，當，因為，，則，當，因為，，則，當既不在也不在內，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據線面平行的性質定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交【答案】C【分析】根據線面平行的性質可判斷AB的正誤，根據線面垂直的性質可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯誤.對于B，若，則平行或異面或相交，故B錯誤.對于C，，過作平面，使得，因為，故，而，故，故，故C正確.對于D，若，則與相交或異面，故D錯誤.故選：C.3．（2022·全國乙卷·高考真題）在正方體中，E，F分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，分別求出平面，，的法向量，根據法向量的位置關系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，設平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：解：對于選項B，如圖所示，設，，則為平面與平面的交線，在內，作于點，在內，作，交于點，連結，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據此可得，即，據此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.4．（2021·浙江·高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】由正方體間的垂直、平行關系，可證平面，即可得出結論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.5．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.6．（2019·全國·高考真題）如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線【答案】B【解析】利用垂直關系，再結合勾股定理進而解決問題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知，．，故選B．【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關鍵是構造直角三角形．7．（2019·全國·高考真題）設，為兩個平面，則的充要條件是A．內有無數條直線與平行B．內有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面【答案】B【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．8．（2019·北京·高考真題）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【分析】將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.9．（2017·全國·高考真題）（多選）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案．【詳解】對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯誤；對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD10．（2016·浙江·高考真題）已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C【詳解】試題分析：由題意知，．故選C．【考點】空間點、線、面的位置關系．【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系．11．（2016·山東·高考真題）已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當“直線a和直線b相交”時，平面α和平面β必有公共點，即平面α和平面β相交，充分性成立；當“平面α和平面β相交”，則“直線a和直線b可以沒有公共點”，即必要性不成立.故選A.12．（2016·全國·高考真題）α、β是兩個平面，m、n是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號）【答案】②③④【詳解】試題分析：：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故錯誤；②如果n∥α，則存在直線l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正確；③如果α∥β，m?α，那么m與β無公共點，則m∥β．故正確④如果m∥n，α∥β，那么m，n與α所成的角和m，n與β所成的角均相等．故正確考點：命題的真假判斷與應用；空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系13．（2015·浙江·高考真題）設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且，A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【詳解】試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，可得考點：空間線面平行垂直的判定與性質14．（2015·湖北·高考真題）表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【詳解】若p：是異面直線，由異面直線的定義知，不相交，所以命題q：不相交成立，即p是q的充分條件；反過來，若q：不相交，則可能平行，也可能異面，所以不能推出是異面直線，即p不是q的必要條件，故應選．考點：本題考查充分條件與必要條件、異面直線，屬基礎題．15．（2015·廣東·高考真題）若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是A．與，都相交 B．與，都不相交C．至少與，中的一條相交 D．至多與，中的一條相交【答案】C【詳解】l與l1，l2可以都相交，可可能和其中一條平行，和其中一條相交，如圖所以至少與，中的一條相交.故選:C．16．（2015·福建·高考真題）若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若，因為垂直于平面，則或；若，又垂直于平面，則，所以“”是“的必要不充分條件，故選B．考點：空間直線和平面、直線和直線的位置關系．17．（2015·北京·高考真題）設，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】試題分析：，得不到，因為可能相交，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎題；并得不到，根據面面平行的判定定理，只有內的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項.考點02求幾何體的體積1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設圓柱的底面半徑為，根據圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.2．（2024·天津·高考真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用補形法，補成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳解】用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應）與該五面體相嵌，使得；;重合，因為，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側棱長為，.故選：C.3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．【答案】【分析】先根據已知條件和圓臺結構特征分別求出兩圓臺的高，再根據圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為，，所以.故答案為：.4．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/【分析】根據體積為公比為10的等比數列可得關于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.【詳解】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.5．（2023·全國甲卷·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A6．（2023·全國乙卷·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B7．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據題意結合正方體的性質逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.8．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B9．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．【答案】/【分析】結合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因為，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.10．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．【答案】【分析】方法一：割補法，根據正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據臺體的體積公式直接運算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.11．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因為，所以，因為重疊后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設重疊后的EG與交點為則則該幾何體的體積為.故選：D.12．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.13．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．14．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.【詳解】設，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.15．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.16．（2021·北京·高考真題）某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.17．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【分析】對于A，由于等價向量關系，聯系到一個三角形內，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數．【詳解】易知，點在矩形內部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內．18．（2020·海南·高考真題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為【答案】【分析】利用計算即可.【詳解】因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點所以故答案為：【點睛】在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當成頂點好計算一些.19．（2020·江蘇·高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.【答案】【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：【點睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.20．（2019·江蘇·高考真題）如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是.【答案】10.【分析】由題意結合幾何體的特征和所給幾何體的性質可得三棱錐的體積.【詳解】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【點睛】本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.21．（2019·全國·高考真題）學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為.【答案】118．8【分析】根據題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質量.【詳解】由題意得，，四棱錐O?EFG的高3cm，∴．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質量為．【點睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯系幾何體的體積和質量關系，從而利用公式求解．22．（2019·天津·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.【答案】.【分析】根據棱錐的結構特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑．【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．【點睛】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎題.23．（2018·江蘇·高考真題）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為．

【答案】【詳解】分析：先分析組合體的構成，再確定錐體的高，最后利用錐體體積公式求結果.詳解：由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為點睛：解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．24．（2018·全國·高考真題）已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為．【答案】8π【詳解】分析：作出示意圖，根據條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長，代入公式計算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.點睛：此題為填空題的壓軸題，實際上并不難，關鍵在于根據題意作出相應圖形，利用平面幾何知識求解相應線段長，代入圓錐體積公式即可.25．（2018·天津·高考真題）已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為.【答案】【分析】由題意首先求解底面積，然后結合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.【詳解】由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.【點睛】本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.26．（2018·天津·高考真題）如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1–BB1D1D的體積為．【答案】【分析】由題意分別求得底面積和高，然后求解其體積即可.【詳解】如圖所示，連結，交于點，很明顯平面，則是四棱錐的高，且，，結合四棱錐體積公式可得其體積為，故答案為.點睛：本題主要考查棱錐體積的計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.27．（2017·全國·高考真題）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為．

【答案】【詳解】如下圖，連接DO交BC于點G，設D，E，F重合于S點，正三角形的邊長為x(x>0)，則.，，三棱錐的體積.設，則，令，即，得，易知在處取得最大值.∴.

點睛:對于三棱錐最值問題，需要用到函數思想進行解決，本題解決的關鍵是設好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數的性質進行解決，當變量是高次時需要用到求導的方式進行解決.28．（2016·浙江·高考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是.【答案】【詳解】中，因為，所以.由余弦定理可得，所以.設，則，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.過作直線的垂線，垂足為.設則，即，解得.而的面積.設與平面所成角為，則點到平面的距離.故四面體的體積.設，因為，所以.則.（1）當時，有，故.此時，.，因為，所以，函數在上單調遞減，故.（2）當時，有，故.此時，.由（1）可知，函數在單調遞減，故.綜上，四面體的體積的最大值為.29．（2015·上?！じ呖颊骖}）若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則．【答案】【詳解】試題分析：，．考點：棱柱的體積．【名師點睛】1．解答與幾何體的體積有關的問題時，根據相應的體積公式，從落實公式中的有關變量入手去解決問題，例如對于正棱錐，主要研究高、斜高和邊心距組成的直角三角形以及高、側棱和外接圓的半徑組成的直角三角形；對于正棱臺，主要研究高、斜高和邊心距組成的直角梯形．2．求幾何體的體積時，若給定的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺體，可直接利用公式求解；若給定的幾何體不能直接利用公式得出，常用轉換法、分割法、補形法等求解．30．（2015·江蘇·高考真題）現有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為．【答案】【詳解】由體積相等得：考點：圓柱及圓錐體積31．（2015·全國·高考真題）(2015新課標全國I理科)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛【答案】B【詳解】試題分析：設圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.考點：圓錐的性質與圓錐的體積公式32．（2015·山東·高考真題）已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：如圖為等腰直角三角形旋轉而成的旋轉體，，故選B．

考點：圓錐的體積公式．33．（2015·山東·高考真題）在梯形中，，，.將梯形繞所在直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】C【詳解】

由題意可知旋轉后的幾何體如圖:直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為故選C.考點：1、空間幾何體的結構特征；2、空間幾何體的體積.考點03求幾何體的側面積、表面積1．（2023·全國甲卷·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數量積運算與余弦定理得到關于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結交于，連結，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結交于，連結，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設圓錐的母線長為，根據圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.3．（2021·全國甲卷·高考真題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為.【答案】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.4．（2020·全國·高考真題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，利用得到關于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設，則，由題意，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：C.【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關計算，考查學生的數學計算能力，是一道容易題.5．（2018·全國·高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先根據正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.詳解：根據題意，可得截面是邊長為的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點睛：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側面積的和.6．（2018·全國·高考真題）已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為．【答案】【分析】先根據三角形面積公式求出母線長,再根據母線與底面所成角得底面半徑，最后根據圓錐側面積公式求出結果.【詳解】因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，因此圓錐的側面積為．【整體點評】根據三角形面積公式先求出母線長，再根據線面角求出底面半徑，最后根據圓錐側面積公式求出側面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．專題11立體幾何的基本概念、點線面位置關系及表面積、體積的計算小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1點線面的位置關系及其判斷（10年7考）2024·全國甲卷、2024·天津卷、2022·全國乙卷2021·浙江卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷2019·全國卷、2019·北京卷、2017·全國卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·全國卷2015·浙江卷、2015·湖北卷、2015·廣東卷2015·福建卷、2015·北京卷1.理解、掌握空間中點線面的位置關系及相關的圖形和符號語言，熟練掌握平行關系的判定定理和性質定理及其應用，熟練掌握垂直關系的判定定理和性質定理及其應用，該內容是新高考卷的?？純热荩鑿娀柟虖土?2.了解柱、錐、臺體及簡單組合體的結構特征及其相關性質，會運用柱體、錐體、臺體等組合體的表面積和體積的計算公式求解相關問題，該內容是新高考卷的?？純热荩话憬o定柱、錐、臺體及簡單組合體，求對應的表面積與體積，需強化復習.考點2求幾何體的體積（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·天津卷、2024·全國甲卷2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2023·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷2023·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷、2022·全國甲卷2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·北京卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·海南卷2020·江蘇卷、2019·江蘇卷、2019·全國卷2019·天津卷、2018·江蘇卷、2018·全國卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·全國卷2016·浙江卷、2015·上海卷、2015·江蘇卷2015·全國卷、2015·山東卷、2015·山東卷考點3求幾何體的側面積、表面積（10年4考）2023·全國甲卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷2020·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷考點01點線面的位置關系及其判斷1．（2024·全國甲卷·高考真題）設為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根據線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據線面平行的性質即可判斷③.【詳解】對①，當，因為，，則，當，因為，，則，當既不在也不在內，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據線面平行的性質定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交【答案】C【分析】根據線面平行的性質可判斷AB的正誤，根據線面垂直的性質可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯誤.對于B，若，則平行或異面或相交，故B錯誤.對于C，，過作平面，使得，因為，故，而，故，故，故C正確.對于D，若，則與相交或異面，故D錯誤.故選：C.3．（2022·全國乙卷·高考真題）在正方體中，E，F分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，分別求出平面，，的法向量，根據法向量的位置關系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，設平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：解：對于選項B，如圖所示，設，，則為平面與平面的交線，在內，作于點，在內，作，交于點，連結，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據此可得，即，據此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.4．（2021·浙江·高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】由正方體間的垂直、平行關系，可證平面，即可得出結論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.5．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.6．（2019·全國·高考真題）如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線【答案】B【解析】利用垂直關系，再結合勾股定理進而解決問題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知，．，故選B．【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關鍵是構造直角三角形．7．（2019·全國·高考真題）設，為兩個平面，則的充要條件是A．內有無數條直線與平行B．內有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面【答案】B【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．8．（2019·北京·高考真題）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【分析】將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.9．（2017·全國·高考真題）（多選）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案．【詳解】對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯誤；對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD10．（2016·浙江·高考真題）已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C【詳解】試題分析：由題意知，．故選C．【考點】空間點、線、面的位置關系．【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系．11．（2016·山東·高考真題）已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當“直線a和直線b相交”時，平面α和平面β必有公共點，即平面α和平面β相交，充分性成立；當“平面α和平面β相交”，則“直線a和直線b可以沒有公共點”，即必要性不成立.故選A.12．（2016·全國·高考真題）α、β是兩個平面，m、n是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號）【答案】②③④【詳解】試題分析：：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故錯誤；②如果n∥α，則存在直線l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正確；③如果α∥β，m?α，那么m與β無公共點，則m∥β．故正確④如果m∥n，α∥β，那么m，n與α所成的角和m，n與β所成的角均相等．故正確考點：命題的真假判斷與應用；空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系13．（2015·浙江·高考真題）設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且，A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【詳解】試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，可得考點：空間線面平行垂直的判定與性質14．（2015·湖北·高考真題）表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【詳解】若p：是異面直線，由異面直線的定義知，不相交，所以命題q：不相交成立，即p是q的充分條件；反過來，若q：不相交，則可能平行，也可能異面，所以不能推出是異面直線，即p不是q的必要條件，故應選．考點：本題考查充分條件與必要條件、異面直線，屬基礎題．15．（2015·廣東·高考真題）若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是A．與，都相交 B．與，都不相交C．至少與，中的一條相交 D．至多與，中的一條相交【答案】C【詳解】l與l1，l2可以都相交，可可能和其中一條平行，和其中一條相交，如圖所以至少與，中的一條相交.故選:C．16．（2015·福建·高考真題）若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若，因為垂直于平面，則或；若，又垂直于平面，則，所以“”是“的必要不充分條件，故選B．考點：空間直線和平面、直線和直線的位置關系．17．（2015·北京·高考真題）設，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】試題分析：，得不到，因為可能相交，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎題；并得不到，根據面面平行的判定定理，只有內的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項.考點02求幾何體的體積1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設圓柱的底面半徑為，根據圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.2．（2024·天津·高考真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用補形法，補成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳解】用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應）與該五面體相嵌，使得；;重合，因為，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側棱長為，.故選：C.3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．【答案】【分析】先根據已知條件和圓臺結構特征分別求出兩圓臺的高，再根據圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為，，所以.故答案為：.4．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/【分析】根據體積為公比為10的等比數列可得關于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.【詳解】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.5．（2023·全國甲卷·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A6．（2023·全國乙卷·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B7．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據題意結合正方體的性質逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.8．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B9．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．【答案】/【分析】結合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因為，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.10．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．【答案】【分析】方法一：割補法，根據正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據臺體的體積公式直接運算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.11．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因為，所以，因為重疊后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設重疊后的EG與交點為則則該幾何體的體積為.故選：D.12．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.13．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．14．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.【詳解】設，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.15．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.16．（2021·北京·高考真題）某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.17．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【分析】對于A，由于等價向量關系，聯系到一個三角形內，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數．【詳解】易知，點在矩形內部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內．18．（2020·海南·高考真題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為【答案】【分析】利用計算即可.【詳解】因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點所以故答案為：【點睛】在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當成頂點好計算一些.19．（2020·江蘇·高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.【答案】【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：【點睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.20．（2019·江蘇·高考真題）如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是.【答案】10.【分析】由題意結合幾何體的特征和所給幾何體的性質可得三棱錐的體積.【詳解】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【點睛】本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.21．（2019·全國·高考真題）學生到工廠勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為.【答案】118．8【分析】根據題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質量.【詳解】由題意得，，四棱錐O?EFG的高3cm，∴．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質量為．【點睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯系幾何體的體積和質量關系，從而利用公式求解．22．（2019·天津·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.【答案】.【分析】根據棱錐的結構特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑．【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．【點睛】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎題.23．（2018·江蘇·高考真題）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為．

【答案】【詳解】分析：先分析組合體的構成，再確定錐體的高，最后利用錐體體積公式求結果.詳解：由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為點睛：解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．24．（2018·全國·高考真題）已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為．【答案】8π【詳解】分析：作出示意圖，根據條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長，代入公式計算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.點睛：此題為填空題的壓軸題，實際上并不難，關鍵在于根據題意作出相應圖形，利用平面幾何知識求解相應線段長，代入圓錐體積公式即可.25．（2018·天津·高考真題）已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為.【答案】【分析】由題意首先求解底面積，然后結合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.【詳解】由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.【點睛】本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.26．（2018·天津·高考真題）如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1–BB1D1D的體積為．【答案】【分析】由題意分別求得底面積和高，然后求解其體積即可.【詳解】如圖所示，連結，交于點，很明顯平面，則是四棱錐的高，且，，結合四棱