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文檔簡介
2025屆中原名校高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.2.如圖所示,正方體的棱,的中點分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.4.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對任意都有零點;則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.5.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)6.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為87.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.8.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個,導(dǎo)線接頭忽略不計),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米9.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知雙曲線的離心率為,拋物線的焦點坐標(biāo)為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.12.一個組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,求____________.14.的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_________(用數(shù)字作答).15.已知平面向量、的夾角為,且,則的最大值是_____.16.若向量與向量垂直,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.18.(12分)在中,角的對邊分別為,且,.(1)求的值;(2)若求的面積.19.(12分)已知的內(nèi)角的對邊分別為,且滿足.(1)求角的大??;(2)若的面積為,求的周長的最小值.20.(12分)在等比數(shù)列中,已知,.設(shè)數(shù)列的前n項和為,且,(,).(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)是否存在等差數(shù)列,使得對任意,都有?若存在,求出所有符合題意的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)設(shè)的最小值為,正數(shù),滿足,證明:.22.(10分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時,;(2)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進(jìn)行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標(biāo)明確,易于操作.2、C【解析】
以D為原點,DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則,,,取平面的法向量為,設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.3、A【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡得,所以為.故選:A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
先分別判斷每一個命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時,直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當(dāng)直線和直線互相垂直時,,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當(dāng)時,沒有零點,所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5、D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因為函數(shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.6、D【解析】
由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.7、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過變形求解出的周期,進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由于實際問題中扇形弧長較小,可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選:B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算,屬于容易題.9、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎(chǔ)題..10、C【解析】
先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關(guān)系,利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域為或,(且)令,其在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
求出拋物線的焦點坐標(biāo),得到雙曲線的離心率,然后求解a,b關(guān)系,即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為(1,0),則p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以雙曲線的漸近線方程為:y=±.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法,涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.12、C【解析】
根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可計算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、5670【解析】
根據(jù)二項式展開的通項,可得二項式系數(shù)的最大項,可求得其系數(shù).【詳解】二項展開式一共有項,所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第5項,系數(shù)為.故答案為:5670【點睛】本題考查了二項式定理展開式的應(yīng)用,由通項公式求二項式系數(shù),屬于中檔題.15、【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),可得,進(jìn)而可得出,,由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù),利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè),,以、為鄰邊作平行四邊形,則,設(shè),則,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,則,當(dāng)時,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計算,將問題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于難題.16、0【解析】
直接根據(jù)向量垂直計算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】
(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計需求量的眾數(shù)為150,由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:∴估計需求量的平均數(shù)為:(2)當(dāng)時,當(dāng)時,∴(3)由(2)知當(dāng)時,當(dāng)時,得∴開學(xué)季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查函數(shù)解析式的求法,考查概率的估計,是中檔題,解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用.18、(1)3(2)78【解析】試題分析:(1)由兩角和差公式得到,由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到,進(jìn)而求得數(shù)值;(2)由三角形的三個角的關(guān)系得到,再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析:(1)在中,由,得為銳角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面積.19、(1)(2)【解析】
(1)因為,所以,由余弦定理得,化簡得,可得,解得,又因為,所以.(6分)(2)因為,所以,則(當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號).由(1)得(當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號),解得.所以(當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號),所以的周長的最小值為.20、(1)(2)見解析(3)存在唯一的等差數(shù)列,其通項公式為,滿足題設(shè)【解析】
(1)由,可得公比,即得;(2)由(1)和可得數(shù)列的遞推公式,即可知結(jié)果為常數(shù),即得證;(3)由(2)可得數(shù)列的通項公式,,設(shè)出等差數(shù)列,再根據(jù)不等關(guān)系來算出的首項和公差即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為,,所以,解得.所以數(shù)列的通項公式為:.(2)由(1)得,當(dāng),時,可得①,②②①得,,則有,即,,.因為,由①得,,所以,所以,.所以數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列.(3)由(2)得,所以,.假設(shè)存在等差數(shù)列,其通項,使得對任意,都有,即對任意,都有.③首先證明滿足③的.若不然,,則,或.(i)若,則當(dāng),時,,這與矛盾.(ii)若,則當(dāng),時,.而,,所以.故,這與矛盾.所以.其次證明:當(dāng)時,.因為,所以在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時,.所以當(dāng),時,.再次證明.
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