2025屆北京市101中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆北京市101中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為圓:上任意一點,,若線段的垂直平分線交直線于點,則點的軌跡方程為()A. B.C.() D.()2.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.3.已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知,則“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知等比數(shù)列的前項和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.6.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元7.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.18.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.9.已知數(shù)列的通項公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.7810.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線垂直于 D.α與β相交,且交線平行于二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n,兩個不同平面、,有下列四個命題:①若且,則;②若且,則;③若且,則;④若,且,則.其中正確命題的序號為______.14.已知,,且,則的最小值是______.15.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動,其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料,則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.16.記Sk=1k+2k+3k+……+nk,當(dāng)k=1,2,3,……時,觀察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,……S5=An6n5n4+Bn2,…可以推測,A﹣B=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點,且此時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.18.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的最小值19.(12分)已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)已知在處的切線與軸垂直,若方程有三個實數(shù)解、、(),求證:.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的坐標(biāo).21.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程:(Ⅱ)設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.22.(10分)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃,需了解年研發(fā)資金投入量x(單位:億元)對年銷售額y(單位:億元)的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析,建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù),i=1,2,?,12,并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1,xi和(2)(i)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(ii)若下一年銷售額y需達(dá)到90億元,預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù):308=4×77,90≈9.4868,e

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.【點睛】本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點,作出圖象,由圖可得:點(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時,k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點.作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時,設(shè)切點橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時,k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個交點,不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力,屬于難題.3、A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點,求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點,.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時,可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.4、B【解析】

構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m,n即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,取長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,直線=直線。若令A(yù)D1=m,AB=n,則m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直線m垂直于平面β,所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考點有兩個:①考查了充分必要條件的判斷,在確定好大前提的條件下,從m⊥n?m⊥?和m⊥?m⊥n?兩方面進(jìn)行判斷;②是空間的垂直關(guān)系,一般利用長方體為載體進(jìn)行分析.5、C【解析】

在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.7、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱可得為奇函數(shù),結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,所以的圖象關(guān)于原點對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因為,所以.因為,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.8、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因為,所以為奇函數(shù),排除選項A,B;因為時,,所以排除選項C,選D.點睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).9、D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值,可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項公式,然后代入轉(zhuǎn)化計算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時,,當(dāng)為偶數(shù)時,所以當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,,所以故選:D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.10、C【解析】

由題可知,設(shè)函數(shù),,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點,得出單調(diào)性,根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù),結(jié)合圖象,可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),,因為,所以,或,因為時,,或時,,,其圖象如下:當(dāng)時,至多一個整數(shù)根;當(dāng)時,在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù),只需,,所以.故選:C.【點睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象,同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.11、A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】

試題分析:由平面,直線滿足,且,所以,又平面,,所以,由直線為異面直線,且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線平行于,故選D.考點:平面與平面的位置關(guān)系,平面的基本性質(zhì)及其推論.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、③④【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.【詳解】①若且,的位置關(guān)系是平行、相交或異面,①錯;②若且,則或者,②錯;③若,設(shè)過的平面與交于直線,則,又,則,∴,③正確;④若,且,由線面垂直的定義知,④正確.故答案為:③④.【點睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義,考查空間線面間的位置關(guān)系,掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).14、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求出總的基本事件數(shù),再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù),然后根據(jù)古典概型求解.【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動,其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個,甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有:個,所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為:【點睛】本題主要考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.16、【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數(shù)和為1,最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù),據(jù)此計算得到答案.【詳解】根據(jù)所給的已知等式得到:各等式右邊各項的系數(shù)和為1,最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù),∴A,A1,解得B,所以A﹣B.故答案為:.【點睛】本題考查了歸納推理,意在考查學(xué)生的推理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2).【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)定義域是,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;時,令得,時,,遞減,時,,遞增,綜上所述,時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2)易知,由函數(shù)單調(diào)性,若有唯一零點,則或.當(dāng)時,,,從而只需時,恒成立,即,令,,在上遞減,在上遞增,∴,從而.時,,,令,由,知在遞減,在上遞增,,∴.綜上所述,的取值范圍是.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點個數(shù)與不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過導(dǎo)數(shù)求解.18、(1);(2)【解析】

(1)由得,兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當(dāng)時,,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因為,,兩式相減得:,即,是從第二項開始的等比數(shù)列,∵∴,則,;(2),當(dāng)時,;當(dāng)時,設(shè)遞增,,所以實數(shù)的最小值.【點睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)①當(dāng)時,在單調(diào)遞增,②當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【解析】

(1)先求解導(dǎo)函數(shù),然后對參數(shù)分類討論,分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)根據(jù)條件先求解出的值,然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,由此證明出.【詳解】(1),①當(dāng)時,恒成立,則在單調(diào)遞增②當(dāng)時,令得,解得,又,∴∴當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.(2)依題意得,,則由(1)得,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴若方程有三個實數(shù)解,則法一:雙偏移法設(shè),則∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞減,∴,即設(shè),∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞增,∴,即∴.法二:直接證明法∵,,在上單調(diào)遞增,∴要證,即證設(shè),則∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴,∴,即(注意:若沒有證明,扣3分)關(guān)于的證明:(1)且時,(需要證明),其中∴∴∴(2)∵,∴∴,即∵,,∴,則∴【點睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,難度較難.(1)對于含參函數(shù)單調(diào)性的分析,可通過分析參數(shù)的臨界值,由此分類討論函數(shù)單調(diào)性;(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法:構(gòu)造函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值,從而達(dá)到證明不等式的目的.20、(1);(2)最小值為,此時【解析】

(1)消去曲線參數(shù)方程的參數(shù),求得曲線的普通方程.利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化公式,求得曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),結(jié)合點到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法,求得的最小值及此時點的坐標(biāo).【詳解】(1)消去得,曲線的普通方程是:;把,代入得,曲線的直角坐標(biāo)方程是(2)設(shè),的最小值就是點到直線的最小距離.設(shè)在時,,是最小值,此時,所以,所求最小值為,此時【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值,屬于中檔題.21、(Ⅰ),;(Ⅱ)

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