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文檔簡介
重慶康德卷2025屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要2.若實數(shù)滿足的約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知集合,,,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知,則的值等于()A. B. C. D.6.如圖,長方體中,,,點T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.7.若復數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.8.設,分別是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于,兩點,且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.10.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.11.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.12.拋物線的準線方程是,則實數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則________.14.邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分,將所留部分折成一個正四棱錐.當該棱錐的體積取得最大值時,其底面棱長為________.15.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.16.設,則“”是“”的__________條件.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(,),且對任意,都有.(Ⅰ)用含的表達式表示;(Ⅱ)若存在兩個極值點,,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點的個數(shù),并說明理由.18.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標方程;(2)求曲線上的點到距離的取值范圍.19.(12分)已知拋物線的焦點為,準線與軸交于點,點在拋物線上,直線與拋物線交于另一點.(1)設直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設的內切圓圓心為的半徑為,試用表示點的橫坐標;②當?shù)膬惹袌A的面積為時,求直線的方程.20.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當時,的最大值為,求證:.21.(12分)某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計,該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時的最小值;(2)經(jīng)調查,年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元,如果參保,保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲,若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元;若沒有購買該項保險,針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項保險是否劃算?22.(10分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設,求函數(shù)在上的零點個數(shù);(2)試探討是否存在實數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因為恒成立,故可以推出且,若成立,當時,有,當時,有,因為恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關系,屬于基礎題.2、B【解析】
根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件,畫出可行域如下圖所示:將線性目標函數(shù)化為,則將平移,平移后結合圖像可知,當經(jīng)過原點時截距最小,;當經(jīng)過時,截距最大值,,所以線性目標函數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用,線性目標函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎題.3、A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補集、交集的概念和運算,屬于基礎題.4、A【解析】
首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個單位后,所得圖象對應的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導公式,意在考查平移變換,屬于基礎題型.5、A【解析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導公式有,所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【點睛】本題考查了學生對二倍角公式的應用,要求學生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導公式,屬于簡單題6、D【解析】
根據(jù)線面垂直的性質,可知;結合即可證明,進而求得.由線段關系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中,,點T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用,平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎題.7、D【解析】
由復數(shù)的綜合運算求出,再寫出其共軛復數(shù),然后由模的定義計算模.【詳解】,.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的運算,考查共軛復數(shù)與模的定義,屬于基礎題.8、C【解析】
根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構造出關系,求出離心率.【詳解】設,則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項.【點睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個常用方法,通過幾何關系,構造出關系,得到離心率.屬于中檔題.9、B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.10、A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當時,,,所以,故可排除B,C;當時,,故可排除D.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎題.11、D【解析】
先計算集合,再計算,最后計算.【詳解】解:,,.故選:.【點睛】本題主要考查了集合的交,補混合運算,注意分清集合間的關系,屬于基礎題.12、C【解析】
根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點,通過給二項式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡便的求出答案,屬于基礎題.14、【解析】
根據(jù)題意,建立棱錐體積的函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設底面邊長為,則斜高為,即此四棱錐的高為,所以此四棱錐體積為,令,令,易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐體積的求解,涉及利用導數(shù)研究體積最大值的問題,屬綜合中檔題.15、0.08【解析】
先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計算公式是求解的關鍵,側重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16、充分必要【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】當時,有,故“”是“”的充分條件.當時,有,故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件,故答案為:充分必要.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷,可利用定義來判斷,也可以根據(jù)兩個條件構成命題及逆命題的真假來判斷,還可以利用兩個條件對應的集合的包含關系來判斷,本題屬于容易題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析(3)見解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關系,求函數(shù)導數(shù),要求函數(shù)有兩個極值點,只需在內有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗證,可得當時,對任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個極值點,,則須有有兩個不相等的正數(shù)根,所以或解得或無解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當時,,即,所以在上單調遞減,所以即時,.(Ⅲ)因為,.令得,.由(Ⅱ)知時,的對稱軸,,,所以.又,可得,此時,在上單調遞減,上單調遞增,上單調遞減,所以最多只有三個不同的零點.又因為,所以在上遞增,即時,恒成立.根據(jù)(2)可知且,所以,即,所以,使得.由,得,又,,所以恰有三個不同的零點:,1,.綜上所述,恰有三個不同的零點.【點睛】利用賦值法求出關系,利用函數(shù)導數(shù),研究函數(shù)的單調性,要求函數(shù)有兩個極值點,只需在內有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點.18、(1),.(2)【解析】
(1)根據(jù)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),即可求得的的普通方程,曲線的極坐標方程為,利用極坐標化直角坐標的公式:,即可求得答案;(2)的標準方程為,圓心為,半徑為,根據(jù)點到直線距離公式,即可求得答案.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)的普通方程為.曲線的極坐標方程為,利用極坐標化直角坐標的公式:的直角坐標方程為.(2)的標準方程為,圓心為,半徑為圓心到的距離為,點到的距離的取值范圍是.【點睛】本題解題關鍵是掌握極坐標化直角坐標的公式和點到直線距離公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)①;②.【解析】
(1)設過的直線交拋物線于,,聯(lián)立,利用直線的斜率公式和韋達定理表示出,化簡即可;(2)由(1)知點在軸上,故,設出直線方程,求出交點坐標,因為內心到三角形各邊的距離相等且均為內切圓半徑,列出方程組求解即可.【詳解】(1)設過的直線交拋物線于,,聯(lián)立方程組,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知點在軸上,故,聯(lián)立的直線方程:.,又點在拋物線上,得,又,;②由題得,(解法一)所以直線的方程為(解法二)設內切圓半徑為,則.設直線的斜率為,則:直線的方程為:代入直線的直線方程,可得于是有:得,又由(1)可設內切圓的圓心為則,即:,解得:所以,直線的方程為:.【點睛】本題主要考查了拋物線的性質,直線與拋物線相關的綜合問題的求解,考查了學生的運算求解與邏輯推理能力.20、(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,所以故,,代入點斜式可得曲線在處的切線方程;(Ⅱ)由題(1)當時,在上單調遞增.則函數(shù)在上的最小值是(2)當時,令,即,令,即(i)當,即時,在上單調遞增,所以在上的最小值是(ii)當,即時,由的單調性可得在上的最小值是(iii)當,即時,在上單調遞減,在上的最小值是(Ⅲ)當時,令,則是單調遞減函數(shù).因為,,所以在上存在,使得,即討論可得在上單調遞增,在上單調遞減.所以當時,取得最大值是因為,所以由此可證試題解析:(Ⅰ)因為函數(shù),且,所以,所以所以,所以曲線在處的切線方程是,即(Ⅱ)因為函數(shù),所以(1)當時,,所以在上單調遞增.所以函數(shù)在上的最小值是(2)當時,令,即,所以令,即,所以(i)當,即時,在上單調遞增,所以在上的最小值是(ii)當,即時,在上單調遞減,在上單調遞增,所以在上的最小值是(iii)當,即時,在上單調遞減,所以在上的最小值是綜上所述,當時,在上的最小值是當時,在上的最小值是當時,在上的最小值是(Ⅲ)因為函數(shù),所以所以當時,令,所以是單調遞減函數(shù).因為,,所以在上存在,使得,即所以當時,;當時,即當時,;當時,所以在上單調遞增,在上單調遞減.所以當時,取得最大值是因為,所以因為,所以所以21、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結果,最后取近似值即可;(2)分別計算參保與不參保時的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項保險,則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險,則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學生利用相關統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質,知道數(shù)學期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學語言,為容易題.22、(1)個;(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設,對其求導,及最小值,從而得到的解析式,進一步求值域即可;(1)分別對和兩種情況進行討論,得到的解析式,進一步構造,通過求導得到最值,得到滿足條件的的范圍.試題解析:(1)設,.............1分令
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