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黑龍江省大興安嶺2025屆高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn),過(guò)作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒,則無(wú)理數(shù)的估計(jì)值是()A. B. C. D.2.一場(chǎng)考試需要2小時(shí),在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為()A. B. C. D.3.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.4.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,例如:,,,那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.5.若的內(nèi)角滿足,則的值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),為圖象的對(duì)稱中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.7.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種8.已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.9.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,命題:,的否定是()A., B.,C., D.,11.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn),當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.112.已知定義在上的奇函數(shù)滿足:(其中),且在區(qū)間上是減函數(shù),令,,,則,,的大小關(guān)系(用不等號(hào)連接)為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,若,,則__________.14.已知,那么______.15.若,則_________.16.在中,,,,則________,的面積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)[選修45:不等式選講]已知都是正實(shí)數(shù),且,求證:.18.(12分)某公園有一塊邊長(zhǎng)為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域,用來(lái)種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點(diǎn)D,E分別在邊,上);再取的中點(diǎn)M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點(diǎn)D的位置,使兩條直道的長(zhǎng)度之和最小,并求出最小值.19.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.20.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求,的值:(2)過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求△的面積.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.22.(10分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點(diǎn),直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、B【解析】
因?yàn)闀r(shí)針經(jīng)過(guò)2小時(shí)相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí),轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,所以經(jīng)過(guò)2小時(shí),時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)椋_;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域?yàn)椋e(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個(gè),從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由,得到,得出,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由題意,角滿足,則,又由角A是三角形的內(nèi)角,所以,所以,因?yàn)?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì),以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題,著重考查了推理與計(jì)算能力.6、A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.7、B【解析】
分三種情況,任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位,剩下四個(gè)位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C,此時(shí)共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.8、B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點(diǎn)睛:橢圓的定義:到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡不存在.9、A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問(wèn)題,處理雙曲線離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.10、D【解析】
根據(jù)命題的否定的定義,全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因?yàn)椋?,是全稱命題,所以其否定是特稱命題,即,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、A【解析】因?yàn)?,所以,即周期為4,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]示意圖,如圖在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)?,因此,選A.點(diǎn)睛:函數(shù)對(duì)稱性代數(shù)表示(1)函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱);(2)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,(3)函數(shù)周期為T,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查兩角和的正弦公式,考查三角形的內(nèi)角和定理,屬于中檔題.14、【解析】
由已知利用誘導(dǎo)公式可求,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
因?yàn)椋?因?yàn)?,所以,又,所以,所?.16、【解析】
利用余弦定理可求得的值,進(jìn)而可得出的值,最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得,則,因此,的面積為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見解析【解析】試題分析:把不等式的左邊寫成形式,利用柯西不等式即證.試題解析:證明:∵,又,∴考點(diǎn):柯西不等式18、(1),.,.(2)當(dāng)百米時(shí),兩條直道的長(zhǎng)度之和取得最小值百米.【解析】
(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;在和中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二:在中,可得,則有,化簡(jiǎn)整理即得;同理,化簡(jiǎn)整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計(jì)算即得.【詳解】解:(1),是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.法2:因?yàn)樵谥?,,所?所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在中,因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.所以.所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長(zhǎng)度之和為(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”).故當(dāng)百米時(shí),兩條直道的長(zhǎng)度之和取得最小值百米.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和基本不等式,第一問(wèn)也可以利用三角形中的向量關(guān)系進(jìn)行求解,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)平面.見解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進(jìn)而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點(diǎn),連接.、、分別為邊、、的中點(diǎn),.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡(jiǎn),由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點(diǎn)為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設(shè)直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因?yàn)椋裕?,解得聯(lián)立,得,△=8>0設(shè),則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、(1
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