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PAGE6-不等式的性質(zhì)(15分鐘30分)1.若a,b,c∈R,a>b,則下列不等式成立的是 ()A.QUOTE<QUOTE B.a2>b2C.QUOTE>QUOTE D.a|c|>b|c|【解題指南】依據(jù)不等式的性質(zhì)或用特別值法.【解析】選C.對A,若a>0>b,則QUOTE>0,QUOTE<0,此時QUOTE>QUOTE,所以A不成立;對B,若a=1,b=-2,則a2<b2,所以B不成立;對C,因為c2+1≥1,且a>b,所以QUOTE>QUOTE恒成立,所以C成立;對D,當c=0時,a|c|=b|c|,所以D不成立.2.設a>1>b>-1,則下列不等式中恒成立的是 ()A.a>b2 B.QUOTE>QUOTE C.QUOTE<QUOTE D.a2>2b【解析】選A.對于A,因為-1<b<1,所以0≤b2<1,又因為a>1,所以a>b2,故A正確;對于B,若a=2,b=QUOTE,此時滿意a>1>b>-1,但QUOTE<QUOTE,故B錯誤;對于C,若a=2,b=-QUOTE,此時滿意a>1>b>-1,但QUOTE>QUOTE,故C錯誤;對于D,若a=QUOTE,b=QUOTE,此時滿意a>1>b>-1,但a2<2b,故D錯誤.3.設a,b∈R,則“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若a>2且b>1,則由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分條件;反之,若“a+b>3且ab>2”,則“a>2且b>1”不肯定成立,如a=6,b=QUOTE.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要條件.4.給出下列命題:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a4>b4;③a>b?a3>b3;④|a|>b?a2>b2.其中正確的命題序號是_______.
【解析】①當c2=0時不成立.②肯定成立.③當a>b時,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·QUOTE>0成立.④當b<0時,不肯定成立.如:|2|>-3,但22<(-3)2.答案:②③5.已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證:QUOTE>QUOTE.【證明】因為c<d<0,所以-c>-d>0,因為a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以0<QUOTE<QUOTE,又因為e<0,所以QUOTE>QUOTE.(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分,共15分)1.下列命題中,恒成立的是 ()A.若a>b,則an>bn(n∈N*)B.x2+2y2+4x+4y>-6C.若0<a<1,則(1-a)1+a<1D.若-1≤α<β≤1,則-QUOTE<α+QUOTEβ<1【解析】選C.依據(jù)不等式乘方性質(zhì)知A不正確;由x2+2y2+4x+4y+6=(x+2)2+2(y+1)2≥0,知B不正確;因為-1≤α<β≤1,所以-1≤α<1,-QUOTE<QUOTEβ≤QUOTE,所以-QUOTE<α+QUOTEβ<QUOTE,D不正確.2.已知a>b>c,則QUOTE+QUOTE+QUOTE的值 ()A.為正數(shù) B.為非正數(shù)C.為非負數(shù) D.不確定【解析】選A.因為a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以QUOTE>0,QUOTE>0,QUOTE<QUOTE,所以QUOTE+QUOTE>0,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE>0,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE的值為正數(shù).3.若α,β滿意-QUOTE<α<β<QUOTE,則2α-β的取值范圍是 ()A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<πC.-QUOTE<2α-β<QUOTE D.0<2α-β<π【解析】選C.因為-QUOTE<α<QUOTE,所以-π<2α<π,又因為-QUOTE<β<QUOTE,所以-QUOTE<-β<QUOTE,所以-QUOTE<2α-β<QUOTE.又因為α-β<0,α<QUOTE,所以2α-β<QUOTE.故-QUOTE<2α-β<QUOTE.二、多選題(共5分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)4.已知QUOTE<QUOTE<0,則下列結(jié)論正確的是 ()A.a<b B.a+b<abC.|a|>|b| D.ab<b2【解析】選BD.因為QUOTE<QUOTE<0,所以b<a<0.A錯誤;因為b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,B正確;因為b<a<0,所以|a|>|b|不成立,C錯誤;因為b<a<0,所以a-b>0,即ab-b2=b(a-b)<0,所以ab<b2成立,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)5.已知x<1,則x3-1_______(填“>”“<”或“=”)2x2-2x.
【解題指南】嘗試利用作差法比較大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)QUOTE.因為x<1,所以x-1<0.又QUOTE+QUOTE>0,所以(x-1)QUOTE<0.所以x3-1<2x2-2x.答案:<6.某公司有20名技術人員,安排開發(fā)A,B兩類共50件電子器件,每類每件所需人員和預料產(chǎn)值如下:產(chǎn)品種類每件須要人員數(shù)每件產(chǎn)值/萬元A類7.5B類6今制定安排欲使總產(chǎn)值最高,則應開發(fā)A類電子器件_______件,能使總產(chǎn)值最高為_______萬元.
【解析】設應開發(fā)A類電子器件x件,則開發(fā)B類電子器件(50-x)件,則QUOTE+QUOTE≤20,解得x≤20.由題意得總產(chǎn)值:y=7.5x+6(50-x)=300+1.5x≤330(萬元),當且僅當x=20時,y取最大值330.答案:20330四、解答題7.(10分)下面是甲、乙、丙三位同學做的三個題目,請你看看他們做得對嗎?假如不對,請指出錯誤的緣由.甲:因為-6<a<8,-4<b<2,所以-2<a-b<6.乙:因為2<b<3,所以QUOTE<QUOTE<QUOTE,又因為-6<a<8,所以-2<QUOTE<4.丙:因為2<a-b<4,所以-4<b-a<-2.又因為-2<a+b<2,所以0<a<3,-3<b<0,所以-3<a+b<3.【解析】甲同學做的不對.因為同向不等式具有可加性,但不能相減,甲同學對同向不等式求差是錯誤的.乙同學做的不對.因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù),不等號的方向不變,但同乘以一個負數(shù),不等號方向變更,在本題中只知道-6<a<8.不明確a值的正負.故不能將QUOTE<QUOTE<QUOTE與-6<a<8兩邊分別相
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