新高考數(shù)學二輪復(fù)習強化練習專題17 直線與圓及相關(guān)的最值問題（講）（原卷版）

第一篇熱點、難點突破篇專題17直線與圓及相關(guān)的最值問題（講）真題體驗感悟高考1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）與圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0變化時，若SKIPIF1<0的最小值為2，則SKIPIF1<0

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=SKIPIF1<0和x2+y2=SKIPIF1<0都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+SKIPIF1<0 C．y=SKIPIF1<0x+1 D．y=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測（1）直線、圓的方程及位置關(guān)系問題，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，此類試題難度中等偏下.有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大.

（2）和導數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，求直線的方程，考查點到直線的距離公式，中低難度.（3）和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一求直線方程【核心知識】直線方程的幾種形式：兩直線平行、垂直的條件：【典例分析】典例1.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0對稱的直線方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程________________．【規(guī)律方法】解決直線方程問題的注意點(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用SKIPIF1<0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程即不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線．(3)討論兩直線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在．(4)直線與圓相切時,利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，一般求切線方程時主要選擇點斜式．考向二求圓的方程【核心知識】圓的標準方程：圓的一般方程：【典例分析】典例3.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，寫出一個半徑為SKIPIF1<0，且與圓SKIPIF1<0及直線都相切的圓的方程：______．典例4.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點M在直線SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的方程為______________．典例5.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點SKIPIF1<0中的三點的一個圓的方程為____________．【總結(jié)提升】求圓的方程一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．考向三直線、圓的距離問題【核心知識】點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0不同時為零)的距離SKIPIF1<0.【典例分析】典例6.（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最大值為（

）．A．3 B．4 C．5 D．6典例7.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0，點A為直線SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作直線與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4典例8.【多選題】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則（

）A．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離小于SKIPIF1<0B．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離大于SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0典例9.（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知圓：SKIPIF1<0上恰有3個點到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離等于2，則SKIPIF1<0的值為_________．【規(guī)律方法】（1）求點到直線的距離時，應(yīng)先將直線方程化為一般式.（2）求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將兩直線方程化為一般式且SKIPIF1<0的系數(shù)對應(yīng)相等.（3）求曲線上任意一點到已知直線的最小距離時，要利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題.

考向四直線與圓、圓與圓位置關(guān)系判斷【核心知識】1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法(1)點線距離法．(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程組SKIPIF1<0消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．【典例分析】典例10.【多選題】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切典例11.【多選題】（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0必過定點 B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的弦長為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0可能相切 D．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0不可能相離典例12.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對稱的直線與圓SKIPIF1<0有公共點，則a的取值范圍是________．【總結(jié)提升】判斷直線與圓的位置關(guān)系主要通過比較圓心到直線的距離和半徑的大小，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩個圓的圓心距與兩個圓的半徑差的絕對值或和的大小關(guān)系.過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算．考向五直線與圓、圓與圓弦長問題【核心知識】半徑、弦心距、弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0為弦長，SKIPIF1<0為圓的半徑,SKIPIF1<0為圓心到弦的距離).【典例分析】典例13.【多選題】（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）過圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0內(nèi)一點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到四邊形SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0的最小值為4B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為16D．SKIPIF1<0為定值典例14.（2023秋·天津河西·高三?？计谀┤暨^點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，若弦長SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為______.典例15.（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于A，B兩點，則直線SKIPIF1<0的方程為______；SKIPIF1<0的面積為______.【總結(jié)提升】求解圓的弦長的方法1.幾何法:根據(jù)半徑、弦心距、弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0為弦長，SKIPIF1<0為圓的半徑,SKIPIF1<0為圓心到弦的距離).2.公式法:根據(jù)公式SKIPIF1<0求解(其中SKIPIF1<0為弦長SKIPIF1<0直線與圓相交所得兩個交點的橫坐標，SKIPIF1<0為直線的斜率).3.距離法:聯(lián)立直線與圓的方程，解方程組先求出兩交點坐標，再利用兩點間的距離公式求解.考向六直線、圓與圓錐曲線【核心知識】圓錐曲線方程及其幾何性質(zhì)【典例分析】典例16.（2023·全國·高三對口高考）設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左右焦點，與直線SKIPIF1<0相切的圓SKIPIF1<0交橢圓于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的切點，則橢圓焦距與長軸長之比為________．典例17.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線SKIPIF1<0的漸近線與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0_________．典例18.（2021·全國·高考真題）拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：SKIPIF1<0交C于P，Q兩點，且SKIPIF1<0．已知點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與l相切．（1）求C，SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0是C上的三個點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與SKIPIF1<0相切．判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并說明理由．考向七隱圓問題【核心知識】1.在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中的，要通過分析、轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而利用圓的知識來求解，稱這類問題為隱圓問題.

2.發(fā)現(xiàn)隱圓的方法（1）利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓.（2）在平面上給定相異的兩點SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0在同一平面上，且滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0的軌跡是一個圓，這個圓我們稱為阿波羅尼斯圓.（3）兩定點SKIPIF1<0與動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，確定隱圓.（4）兩定點SKIPIF1<0與動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是定值，確定隱圓.【典例分析】典例19.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知⊙M：SKIPIF1<0