新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題15 幾何體與球切、接、截的問題（講）（原卷版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題15幾何體與球切、接、截的問題（講）真題體驗感悟高考1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點(diǎn)A的緯度是指SKIPIF1<0與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的三個點(diǎn)，⊙SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，若⊙SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測（1）以幾何體的結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，考查幾何體的面積體積計算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.（2）與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學(xué)文化”、實際問題等相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用.（3）幾何體的表面積與體積是主要命題形式.有時作為解答題的一個構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時結(jié)合面積、體積的計算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想．幾何體與球的切、接、截問題，往往是知識考查的載體.（4）以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，對命題的真假進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第（1）問，第（2）問則考查幾何體面積、體積的計算.（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一空間幾何體的外接球【核心知識】(1)長方體的外接球直徑等于長方體的體對角線長．(2)三棱錐S－ABC的外接球球心O的確定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到過O1的平面ABC的垂線l，在l上找點(diǎn)O，使OS＝OA，點(diǎn)O即為三棱錐S－ABC的外接球的球心．(3)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則SKIPIF1<0；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則SKIPIF1<0.(4)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則SKIPIF1<0.(5)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.【典例分析】典例1.（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0均在球SKIPIF1<0的球面上運(yùn)動，且滿足SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為6，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022秋·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）如圖，已知長方體SKIPIF1<0的體積為16，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）已知O是邊長為3的正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，SKIPIF1<0平面ABC，二面角SKIPIF1<0的大小為60°，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為______．【規(guī)律方法】1.空間幾何體的外接球是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)．我們可以通過對幾何體的割補(bǔ)或?qū)で髱缀误w外接球的球心兩大策略求解此類問題．2.關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球的球心，利用球的截面的性質(zhì)，球心和球的截面的中心連線垂直于截面．結(jié)合相關(guān)幾何量之間的數(shù)量關(guān)系可確定球心．考向二空間幾何體的內(nèi)切球【核心知識】1．確定錐體內(nèi)切球球心的方法（1）內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（2）正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.（3）正棱錐的內(nèi)切球和外接球的球心都在高線上，但不一定重合.2.多面體的內(nèi)切球可利用等積法求半徑．【典例分析】典例4.（2022秋·四川巴中·高三南江中學(xué)校考階段練習(xí)）一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為SKIPIF1<0的半圓，則此圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例5.（2022秋·山東·高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若該三棱柱存在體積為SKIPIF1<0的內(nèi)切球，則三棱錐SKIPIF1<0體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4典例6.（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為3，球與圓臺的兩個底面和側(cè)面均相切，則該圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【總結(jié)提升】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．(2)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(3)補(bǔ)成正方體、長方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體.考向三幾何體與球切、接、截綜合問題【核心知識】正四面體與球常用的結(jié)論設(shè)正四面體的棱長為ａ，則（1）正四面體的高為SKIPIF1<0.（2）正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心均是正四面體的中心，半徑分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【典例分析】典例7.（多選題）（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐SKIPIF1<0SKIPIF1<0為陽馬，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，其中兩條側(cè)棱長都為3，則（

）A．該陽馬的體積為SKIPIF1<0 B．該陽馬的表面積為SKIPIF1<0C．該陽馬外接球的半徑為SKIPIF1<0 D．該陽馬內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0典例8.（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）在三棱錐SKIPIF1<0中，AB=BC=AC=SKIPIF1<0，AP=PB=PC=1，則以點(diǎn)P為球心，以SKIPIF1<0為半徑的球被平面ABC截得的圖像的面積為___________.典例9.（2023·全國·高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體SKIPIF1<0的8個頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的表面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球的截面面積的最小值為_________典例10.（2022·廣西·統(tǒng)考一模）已知棱長為8的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)E為棱BC上一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，以點(diǎn)E為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與對角面SKIPIF1<0的交線長為___________.典例11.（2022秋·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖為某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，它的表面是由正三角形和正方形組成，設(shè)被截正方體的棱長為2a，若球О以該幾何體的中心為球心，且與正三角形表面相切，則該球被其中一個正方形表面截得的截面面積為__________.典例12.（2022秋·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，某零件由兩個球體構(gòu)成，球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0表面上兩動點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn).半徑為2的球SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的內(nèi)壁滾動，點(diǎn)SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0表面上，點(diǎn)SKIPIF1<0在截面SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0恰為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值是___________.【規(guī)律方法】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸