新高考數(shù)學二輪復習強化練習思想01 函數(shù)與方程思想（講）（解析版）

第三篇思想方法篇思想01函數(shù)與方程思想（講）考向速覽方法技巧典例分析1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)思想是用運動和變化的觀點分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系,是對函數(shù)概念的本質認識,建立函數(shù)關系或構造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題,從而使問題獲得解決的思想方法.(2)方程思想就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系,建立方程或方程組,或者構造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質去分析、轉化問題,使問題獲得解決的思想方法.(3)函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉化的，是相輔相成的．函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運動中的等量關系.方程思想與函數(shù)思想密切相關:方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標;函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過方程進行研究;方程f(x)=a有解,當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉化關系十分重要.2.高考把函數(shù)與方程思想作為思想方法的重點來考查,特別是在有關函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、平面向量、立體幾何等題目中.高考使用客觀題考查函數(shù)與方程思想的基本運算,而在主觀題中,則從更深的層次,在知識網(wǎng)絡的交匯處,從思想方法與相關能力相結合的角度深入考查.3.常見方法：（1）運用函數(shù)相關概念的本質解題在理解函數(shù)的定義域、值域、性質等本質的基礎上，主動、準確地運用它們解答問題．常見問題有：求函數(shù)的定義域、解析式、最值，研究函數(shù)的性質．（2）利用函數(shù)性質求解方程問題函數(shù)與方程相互聯(lián)系，借助函數(shù)的性質可以解決方程解的個數(shù)及參數(shù)取值范圍的問題．（3）構造函數(shù)解決一些數(shù)學問題在一些數(shù)學問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關系式，把要研究的問題轉化為函數(shù)的性質，達到化繁為簡，化難為易的效果.01函數(shù)與方程思想在方程、不等式中的應用【核心提示】1.函數(shù)與不等式的相互轉化，對函數(shù)y＝f(x)，當y>0時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質可解決有關問題，而研究函數(shù)的性質也離不開不等式．2.含參不等式恒成立與存在性問題函數(shù)(方程)法是指通過構造函數(shù)，把恒成立問題與轉化為函數(shù)的值域問題，從而得到關于參數(shù)的方程的方法．破解此類題的關鍵點：①靈活轉化：（1）“關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立”轉化為“SKIPIF1<0”；“關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立”轉化為“SKIPIF1<0”；（2）“關于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”轉化為“SKIPIF1<0”；“關于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”轉化為“SKIPIF1<0”；②求函數(shù)值域，利用函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)、圖象等求函數(shù)的值域；③得出結論，列出參數(shù)SKIPIF1<0所滿足的方程，通過解方程，求出SKIPIF1<0的值．【典例分析】典例1.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，若對任意SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】將問題轉換為SKIPIF1<0，再結合畫圖求解．【詳解】由題意有：對任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的圖像恒在SKIPIF1<0的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D．典例2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知SKIPIF1<0，再利用基本不等式，換底公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0.［方法二］：【最優(yōu)解】（構造函數(shù)）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．根據(jù)SKIPIF1<0的形式構造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【整體點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用SKIPIF1<0的形式構造函數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．典例3.【多選題】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？家荒＃┫铝胁坏仁匠闪⒌氖牵?/p>

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】對于選項A，運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較即可；對于選項B，構造函數(shù)運用函數(shù)的單調(diào)性比較即可；對于選項C，作差后運用基本不等式判斷；對于選項D，尋找中介值比較即可.【詳解】對于選項A，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項A錯誤；對于選項B，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選項B正確；對于選項C，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.故選項C正確；對于選項D，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選項D正確.故選：BCD.02函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用【核心提示】數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)；等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本量的計算一般化歸為方程(組)來解決.【典例分析】典例4.（2022·全國·高二課時練習）設數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其前n項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的值是（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【解析】【分析】設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式列出方程，求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，進而求出等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求出結果.【詳解】設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值．∵對任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，∴SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的最大值，∴SKIPIF1<0．故選：B.典例5.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）記正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0寫出SKIPIF1<0的式子，通過兩式相減化簡得出SKIPIF1<0，再利用不等式恒成立問題，得出SKIPIF1<0，進而分析右側式子的最值，即可求出結果.【詳解】因為SKIPIF1<0①，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②.①-②，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為數(shù)列SKIPIF1<0是正項數(shù)列，則SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0式，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，且為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.典例6.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設SKIPIF1<0是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項和．證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質及SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出SKIPIF1<0，再作差比較即可.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0是首項為1的等比數(shù)列且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，

⑧則SKIPIF1<0．

⑨由⑧-⑨得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.[方法三]：構造裂項法由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，下同方法二．[方法四]：導函數(shù)法設SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，下同方法二．【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得SKIPIF1<0,然后證得結論,為最優(yōu)解；方法三采用構造數(shù)列裂項求和的方法，關鍵是構造SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.03函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用【核心提示】1.解析幾何中求斜率、截距、半徑、點的坐標、離心率等幾何量經(jīng)常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關系問題，可以通過轉化為一元二次方程，利用判別式進行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答.2.直線與圓錐曲線的綜合問題，通常借助根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解，這是方程思想在解析幾何中的重要應用．解析幾何問題的方程(函數(shù))法可以拓展解決解析幾何問題的思維，通過代數(shù)運算、方程判定等解決解析幾何中的位置關系、參數(shù)取值等問題．【典例分析】典例7.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設B是橢圓SKIPIF1<0的上頂點，點P在C上，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】設點SKIPIF1<0，由依題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)兩點間的距離公式得到SKIPIF1<0，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質求出最大值．【詳解】設點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故選：A．典例8.（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學?？奸_學考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為卵圓上任意一點，則下列說法中正確的是________.①卵圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱②卵圓上不存在兩點關于直線SKIPIF1<0對稱③線段SKIPIF1<0長度的取值范圍是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<0【答案】①③④【分析】利用點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均滿足方程，即可判斷①；設SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在卵圓SKIPIF1<0上，再解SKIPIF1<0即可判斷②；利用兩點間的距離公式表示SKIPIF1<0，然后利用導數(shù)研究其最值，即可判斷③；利用三角形的面積公式表示出SKIPIF1<0，然后利用導數(shù)研究其最值，即可判斷④.【詳解】對于①，設SKIPIF1<0是卵圓SKIPIF1<0上的任意一個點，因為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0也在卵圓SKIPIF1<0上，又點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，所以卵圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，故①正確；對于②，設SKIPIF1<0在卵圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱的點SKIPIF1<0也在卵圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以卵圓上存在SKIPIF1<0兩點關于直線SKIPIF1<0對稱，故②錯誤；對于③，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正確；對于④，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0的面積取得最大值SKIPIF1<0，故④正確.故答案為：①③④.典例9.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點的距離的最小值為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩條切線，SKIPIF1<0是切點，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質可得出關于SKIPIF1<0的等式，即可解出SKIPIF1<0的值；（2）設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用導數(shù)求出直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，進一步可求得直線SKIPIF1<0的方程，將直線SKIPIF1<0的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出SKIPIF1<0以及點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數(shù)的基本性質可求得SKIPIF1<0面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質求最小值由題意知，SKIPIF1<0，設圓M上的點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．從而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點的距離的最小值為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）[方法一]：切點弦方程+韋達定義判別式求弦長求面積法拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對該函數(shù)求導得SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可知，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由于點SKIPIF1<0為這兩條直線的公共點，則SKIPIF1<0，所以，點A、SKIPIF1<0的坐標滿足方程SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的面積取最大值SKIPIF1<0.[方法二]【最優(yōu)解】：切點弦法+分割轉化求面積+三角換元求最值同方法一得到SKIPIF1<0．過P作y軸的平行線交SKIPIF1<0于Q，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．P點在圓M上，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的面積最大，最大值為SKIPIF1<0．[方法三]：直接設直線AB方程法設切點A，B的坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0和拋物線C的方程得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．判別式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．拋物線C的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．聯(lián)立方程SKIPIF1<0可得點P的坐標為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．將點P的坐標代入圓M的方程，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．由弦長公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．點P到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【整體點評】（1）方法一利用兩點間距離公式求得SKIPIF1<0關于圓M上的點SKIPIF1<0的坐標的表達式，進一步轉化為關于SKIPIF1<0的表達式，利用二次函數(shù)的性質得到最小值，進而求得SKIPIF1<0的值；方法二，利用圓的性質，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點的距離的最小值，簡潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用導數(shù)求得兩切線方程，由切點弦方程思想得到直線SKIPIF1<0的坐標滿足方程SKIPIF1<0，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用弦長公式求得SKIPIF1<0的長，進而得到面積關于SKIPIF1<0坐標的表達式，利用圓的方程轉化得到關于SKIPIF1<0的二次函數(shù)最值問題；方法二，同方法一得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過P作y軸的平行線交SKIPIF1<0于Q，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0求得面積關于SKIPIF1<0坐標的表達式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計算簡潔，為最優(yōu)解；方法三直接設直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0和拋物線方程，利用韋達定理判別式得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．利用點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，求得SKIPIF1<0的關系，然后利用導數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標SKIPIF1<0，進而利用弦長公式和點到直線距離公式求得面積關于SKIPIF1<0的函數(shù)表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求得最大值；04函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應用【核心提示】立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決．【典例分析】典例10.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0又設四棱錐的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高SKIPIF1<0.故選：C．[方法三]：利用導數(shù)求最值由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0．故選：C.【整體點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．典例11.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設正四棱錐的高為SKIPIF1<0，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為SKIPIF1<0，所以球的半徑SKIPIF1<0,[方法一]：導數(shù)法設正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，正四棱錐的體積SKIPIF1<0取最大值，最大值為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,所以正四棱錐的體積SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，球心在正四棱錐高線上，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四棱錐體積SKIPIF1<0，故該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0典例12.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若四面體ABCD的體積為SKIPIF1<0，則四面體ABCD外接球的表面積的最小值為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】證明四面體ABCD外接球的球心O是AD的中點，連接OB，OC，設SKIPIF1<0的中心H．連接OH，AH，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)四面體的體積得到SKIPIF1<0，設四面體ABCD外接球O的半徑為R，求出SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再利用導數(shù)求SKIPIF1<0的最值即得解.【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知，四面體ABCD外接球的球心O是AD的中點，連接OB，OC，則SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0的外接圓的圓心為SKIPIF1<0的中心H．連接OH，AH，則SKIPIF1<0平面ABC．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點D到平面ABC的距離為2h，所以四面體ABCD的體積為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設四面體ABCD外接球O的半徑為R，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，即最小值，所以當SKIPIF1<0時，R取得最小值，為SKIPIF1<0，所以四面體ABCD外接球O的表面積的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵有兩個，其一是能準確求出四面體ABCD外接球的表面積的解析式，其二是能利用導數(shù)求解函數(shù)的最值.05函數(shù)與方程思想在平面向量中的應用【核心提示】1.平面向量問題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問題，通過模、數(shù)量積等轉化為關于相應參數(shù)的函數(shù)(方程)問題，從而利用相關知識結合函數(shù)或方程思想來處理有關參數(shù)值問題．破解此類題的關鍵點：①向量代數(shù)化，利用平面向量中的模、數(shù)量積等結合向量的位置關系、數(shù)量積公式等進行代數(shù)化，得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程)；②代數(shù)函數(shù)(方程)化，利用函數(shù)(方程)思想，結合相應的函數(shù)(方程)的性質求解問題；③得出結論，根據(jù)條件建立相應的關系式，并得到對應的結論．2.平面向量中含函數(shù)(方程)的相關知識，對平面向量的模進行平方處理，把模問題轉化為數(shù)量積問題，再利用函數(shù)與方程思想來分析與處理，這是解決此類問題一種比較常見的思維方式．【典例分析】典例13.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上運動，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故選：D典例14.【多選題】（2023·全國·模擬預測）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．設Z為線段AK上任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量垂直的條件及向量相等的條件，結合向量的坐標運算及二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】以A為坐標原點，AD，AJ所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.A選項：易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A正確.B選項：易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B錯誤.C選項：由選項A，B知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以C錯誤.D選項：易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值40.所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，所以D正確.故選：AD.典例15.（2023秋·天津南開·高三南開中學校考階段練習）如圖，在邊長為1的正方形SKIPIF1<0中，P是對角線SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________，若點M為線段SKIPIF1<0（含端點）上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】建立平面直角坐標系，求得正方形各頂點坐標，利用向量的坐標運算求得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算，求得SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，表示出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0坐標，繼而求得SKIPIF1<0的表達式，結合二次函數(shù)性質求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】如圖，以A為原點，SKIPIF1<0所在直線為x軸，SKIPIF1<0所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵P是對角線SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；因為點M為線段SKIPIF1<0（含端點）上的動點，則設SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.06函數(shù)與方程思想在概率統(tǒng)計中的應用【核心提示】利用概率知識解決實際問題，尤其是生產(chǎn)和經(jīng)營問題，其實與一般的應用題在本質上沒有什么不同，只是因為個別因素由確定變量變成不確定變量，從而導致結果的不確定性，所以才需要作決策優(yōu)化，拋開概率的煙霧彈，其實題目反映的都是最簡單的公式（比如利潤=收入—成本），所以面對復雜題目要學會審題，還是要回歸常識.【典例分析】典例16.（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習）已知小李每天在上班路上都要經(jīng)過甲、乙兩個路口，且他在甲、乙兩個路口遇到紅燈的概率分別為SKIPIF1<0.記小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個數(shù)之和為SKIPIF1<0，在甲、乙這兩個路口遇到紅燈個數(shù)之和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0【答案】BC【分析】確定SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，判斷A，B；表示一天至少遇到一次紅燈的概率為SKIPIF1<0，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的表達式，利用導數(shù)可求得其最大值，判斷C；計算一天中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學期望，即可求得SKIPIF1<0，判斷D.【詳解】對于A，B，小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個數(shù)之和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A錯誤，B正確；對于C，由題意可設一天至少遇到一次紅燈的概率為SKIPIF1<0，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，C正確；對于D，當SKIPIF1<0時，一天中不遇紅燈的概率為SKIPIF1<0，遇到一次紅燈的概率為SKIPIF1<0，遇到兩次紅燈的概率為SKIPIF1<0，故一天遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學期望為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D錯誤，故選：BC【點睛】難點點睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率，關鍵是要明確一天至少遇到一次紅燈的概率，從而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的表達式，難點在于要利用導數(shù)求解最值,因此設函數(shù)SKIPIF1<0，求導，利用導數(shù)解決問題.典例17.（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量SKIPIF1<0的取值集合均為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的散度SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的概率分布如下表所示，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是__________.SKIPIF1