函數(shù)的單調性說課教案

函數(shù)的單調性----說課稿教學目標知識與技能：（1）從形與數(shù)兩方面理解單調性的概念（2）初步掌握利用函數(shù)圖象和單調性定義判斷、證明函數(shù)單調性的方法（3）通過對函數(shù)單調性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調性的證明，提高推理論證能力過程與方法：（1）通過對函數(shù)單調性定義的探究，滲透數(shù)形結合思想方法（2）經歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。情感態(tài)度價值觀：通過知識的探究過程培養(yǎng)細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；領會用運動的觀點去觀察分析事物的方法教學重難點分析重點：理解函數(shù)單調性的實質，明確單調性是一個局部概念難點：運用函數(shù)單調性的定義證明具體函數(shù)的單調性教學過程為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，設計本節(jié)為創(chuàng)設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業(yè)創(chuàng)新讓學生能夠充分經歷單調性概念的形成過程，經歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，本節(jié)課設置了前三個環(huán)節(jié)。后兩個環(huán)節(jié)的設計，是為了使學生對函數(shù)單調性認識的再次深化。（一）創(chuàng)設情境，引入新課情境創(chuàng)設，從學生熟知的一次函數(shù)和二次函數(shù)入手，從初中對函數(shù)增減性的認識過渡到對函數(shù)單調性的直觀感受。提出問題1：分別作出函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=2x，y=-2x和y=x2的圖象，并且觀察函數(shù)變化規(guī)律？

首先引導學生觀察兩個一次函數(shù)圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).

二次函數(shù)的增減性要分段說明，進而提出問題：二次函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？進一步討論得出：增減性是函數(shù)的局部性質。提出問題2：能否用自己的理解說說什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)？結合增減性是局部性質，學生會用直觀描述回答：在一個區(qū)間里，y隨x增大而增大，則是增函數(shù)；y隨x增大而減小就是減函數(shù)。（二）初步探索，概念形成提出問題三：如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？，如何用精確的數(shù)學語言來描述函數(shù)的單調性？這是本節(jié)課的難點，因此我將概念形成設置了三個階段1.提問學生什么是“隨著”經討論得出，隨著是由于當x取一定的值時，y有確定值與之對應，因此x變化時，y會根據(jù)法則隨著x發(fā)生變化2.如何刻畫“增大”？要表示大小關系，學生會想到取點，比大小，學生也許會用特殊點說明問題，比如x取2、3，2<3，對應的函數(shù)值是5<10提出質疑：這個點的變化能否說明y隨著x增大而增大，進一步引導學生從特殊到一般，進入第三階段，對“任取”的理解。3.對“任取”的理解針對特殊值，學生可能會舉反例證明其是不充分的，那么應該如何取值呢？學生可能會多取一些，也可能會想到將取值區(qū)間任意小，進一步討論得出“任取”二字。

用對隨著的理解再次深化函數(shù)概念，用對增大的理解得到要表示大小關系，最后再強調取值的任意性，這樣就實現(xiàn)了從“圖形語言”到“文字語言”到“符號語言”的過渡，實現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉換，形成了單調性的定義。得到定義后，再提出如何得到f(x1)<f(x2)，求差法比較大小，為后面的證明和判斷掃清障礙。（三）概念深化，延伸拓展通過上面的問題，學生已經從描述性語言過渡到嚴謹?shù)臄?shù)學語言。而對嚴謹?shù)臄?shù)學語言學生還缺乏準確理解，因此在這里通過問題深入研討加深學生對單調性概念的理解。提出問題：能否說在它的定義域上是減函數(shù)？從這個例子能得到什么結論？學生思考、討論，提出自己觀點學生可能會提出反例，如x1=-1，x2=1進一步得出結論：函數(shù)在定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增（減）函數(shù)，函數(shù)在A∪B上不一定是增（減）函數(shù)（四）證法探究，應用定義

提出例2、畫出函數(shù)的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。

根據(jù)圖象進行判斷，體會判斷可轉化成證明。本環(huán)節(jié)是對函數(shù)單調性概念的準確應用，本題采用前面出現(xiàn)過的函數(shù)，一方面希望學生體會到函數(shù)圖象和數(shù)學語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調性定義的應用上。學生根據(jù)單調性定義進行證明，教師在黑板上書寫證明步驟，再引導學生總結證明步驟。

課標中指出“形式化是數(shù)學的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達。高中課程強調返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學生再次從定義出發(fā)，尋求方法，并體會轉化思想。

拓展提高、函數(shù)在上是增加的。（五）小結評價，作業(yè)創(chuàng)新從知識、方法兩個方面引導學生進行總結。學生回顧函數(shù)單調性定義的探究過程；證明、判斷函數(shù)單調性的方法步驟；數(shù)學思想方法。小結過程使學生對單調性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認識，體會到數(shù)學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義。作業(yè)的設計實現(xiàn)了分層，既鞏固了基礎，又給了學生充足的思考空間。通過本節(jié)課的學習，預計學生能理解單調性的定義，絕大多數(shù)學生能按照單調性的證明步驟進行證明，能判斷函數(shù)的單調性，本節(jié)課的評價方式為課堂反饋、教師評價、學生自評相結合。在本節(jié)課的設計中，我有一些新的嘗試，在教學過程中，創(chuàng)設一個探索的學習環(huán)境，通過設計一系列問題，使概念得到形成和深化，學生親身經歷數(shù)學概念的產生與發(fā)展過程，從而逐步把握概念的實質內涵，深入理解概念。在情境設置中，嚴格按照課標要求以二次函數(shù)y=x2+1為例，經歷畫圖、描述圖象、找單調區(qū)間、形成單調性定義、證明其單調性的過程，將學生對單調性的認識從感性上升到理性，并將定義進行應用?！逗瘮?shù)的單調性》教學設計課題函數(shù)的單調性學科數(shù)學學段高中年級高一相關領域函數(shù)教材北師大版高中數(shù)學《函數(shù)的單調性》

教學目標(含重、難點)知識與技能：（1）從形與數(shù)兩方面理解單調性的概念（2）絕大多數(shù)學生初步學會利用函數(shù)圖象和單調性定義判斷、證明函數(shù)單調性的方法過程與方法：（1）通過對函數(shù)單調性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調性的證明，提高推理論證能力（2）通過對函數(shù)單調性定義的探究，體驗數(shù)形結合思想方法（3）經歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程情感態(tài)度價值觀：通過知識的探究過程養(yǎng)成細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；感受用辯證的觀點思考問題教學重點：函數(shù)單調性的概念形成和初步運用教學難點：函數(shù)單調性的概念形成5.教學過程環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖創(chuàng)設情境

引入新課

問題1：分別作出函數(shù)y=2x，y=-2x和y=x2+1的圖象，并且觀察函數(shù)變化規(guī)律？

描述完前兩個圖象后，明確這兩種變化規(guī)律分別稱為增函數(shù)和減函數(shù)。

二次函數(shù)的增減性要分段說明提出問題：二次函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

問題二：能否用自己的理解說說什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)？

觀察圖象，利用初中的函數(shù)增減性質進行描述學生會指出：y=2x的圖象自變量x在實數(shù)集變化時，y隨x增大而增大

y=-2x的圖象自變量x在實數(shù)集變化時，y隨x增大而減小

y=x2+1在（-∞，0]上y隨x增大而減小，在（0，+∞）上y隨x增大而增大

學生可能回答：既是增函數(shù)又是減函數(shù)或有時增函數(shù)有時減函數(shù)討論得出：單調性是函數(shù)的局部性質

結合單調性是局部性質，用直觀描述回答：在一個區(qū)間里，y隨x增大而增大，則是增函數(shù)；y隨x增大而減小就是減函數(shù)

數(shù)學課程標準中提出“通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)理解函數(shù)的單調性”，因此在本環(huán)節(jié)的設計上，從學生熟知的一次函數(shù)和二次函數(shù)入手，從初中對函數(shù)增減性的認識過渡到對函數(shù)單調性的直觀感受。

通過一次函數(shù)認識單調性，再通過二次函數(shù)認識單調性是局部性質，進而完善感性認識。

初步探索

概念形成

分三步：提問學生什么是“隨著”如何刻畫“增大”？

對“任取”的理解

進而得到增（減）函數(shù)的定義

進一步提問:如何判斷f(x1)<f(x2)得到求差法后提出記△x=x2-x1△y=f(x2)-f(x1)=y2-y1

回歸函數(shù)定義解釋

要表示大小關系，學生會想到取點，比大小

討論應該如何取值。學生可能會提到多取一些，也可能會想到將取值區(qū)間任意小，進一步討論得出“任取”二字。通過啟發(fā)式提問，實現(xiàn)學生從“圖形語言”到“文字語言”到“符號語言”認識函數(shù)的單調性，實現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉換。另外，在此強調“任意性”的理解，從而達到突破難點，突出重點的目的。

在此還提出求差法比較大小，為后面的證明和判斷掃清障礙環(huán)節(jié)教師活動例1、如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y=f(x)的圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上的單調性。變式鞏固、說出函數(shù)的單調區(qū)間，并指明在該區(qū)間上的單調性．學生活動根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調性。設計意圖實現(xiàn)學生從“圖形語言”到“文字語言”到“符號語言”認識函數(shù)的單調性，實現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉換。另外，在此強調“任意性”的理解，從而達到突破難點，突出重點的目的。證法探究

應用定義

例2、畫出函數(shù)的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。證明：作出函數(shù)f（x）=3x+2的圖像，由圖看出，函數(shù)的圖象在R上是上升的，函數(shù)是R上的增函數(shù)。下面證明：任取X1,、X2∈R且X1<X2則，X1-X2<0所以：f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)<0即f(x1)<f(x2)拓展提高、函數(shù)在上是增加的。證明：任取X1,、X2∈〔0，+∞),且X1<X2，則f(x1)-f(x2)=2x14-2x24=2(x14-x24)=2(x1-x2)(x1+x2)(x12+x22)∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2>0,x12+x22>0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)由函數(shù)的單調性定義可知，函數(shù)f(x)=2x4在〔0，+∞)上是增加的。例2、根據(jù)單調性定義進行證明討論，規(guī)范步驟

設元

作差

變形

斷號

定論

根據(jù)定義進行判斷體會判斷可轉化成證明

課后思考

本環(huán)節(jié)是對函數(shù)單調性概念的準確應用，本題采用前面出現(xiàn)過的函數(shù)，一方面希望學生體會到函數(shù)圖象和數(shù)學語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調性定義的應用上。

課標中指出“形式化是數(shù)學的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達。高中課程強調返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學生再次從定義出發(fā)，尋求方法，并體會轉化思想。小結評價作業(yè)創(chuàng)新從知識、方法兩個方面引導學生進行總結.

練習：課本P38練習、2課后作業(yè)：課本P38習題2-3A組2（3）、（4）,4

回顧函數(shù)單調性定義的探究過程；證明、判斷函數(shù)單調性的方法步驟；數(shù)學思想方法

完成課堂反饋

使學生對單調性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認識，體會到數(shù)學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義

作業(yè)實現(xiàn)分層，滿足學生需求《函數(shù)的單調性》課后反思在教學《函數(shù)的單調性》時,教學過程是這樣的:教師引導學生觀察一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等的圖像后給出了函數(shù)的單調性等概念,然后組織學生根據(jù)圖像找出單調區(qū)間,運用概念對一些簡單函數(shù)的單調性做出判斷,緊接著在這節(jié)課上又把函數(shù)的四則運算的單調性及復合函數(shù)的單調性進行滲透.本節(jié)課是一節(jié)概念課．函數(shù)單調性的本質是利用解析的方法來研究函數(shù)圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹?shù)臄?shù)學語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一．另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達．圍繞以上兩個難點，在本節(jié)課的處理上，我著重注意了以下幾個問題：1、重視學生的親身體驗．具體體現(xiàn)在兩個方面：①將新知識與學生的已有知識建立了聯(lián)系．如：學生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認識，學生對“y隨x的增大而增大”的理解；②運用新知識嘗試解決新問題．如：對函數(shù)在定義域上的單調性的討論．2、重視學生發(fā)現(xiàn)的過程．如：充分暴露學生將函數(shù)圖象（形）的特征轉化為函數(shù)值（數(shù)）的特征的思維過程；充分暴露在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發(fā)現(xiàn)的過程．3、重視學生的動手實踐過程．通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義．4、重視課堂問題的設計．通過對問題的設計，引導學生解決問題．

從教的角度評析這節(jié)課很到位,但從學的視角去評價就會發(fā)現(xiàn):教師為了營造輕松愉快的課堂氣氛,注重了學生學習興趣的培養(yǎng),但過于心切,總想盡快地“直奔主題”把主要內容教授給學生后進行習題訓練;而讓學生經歷實踐，然后通過探討等得出概念的過程卻在師生間的簡單問答中滑過,學生的思維情緒始終處于壓抑狀態(tài),使得教學無法