高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第3課時隨機事件與概率課件

第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第3課時隨機事件與概率考點一隨機事件與樣本空間1．樣本空間與樣本點(1)樣本點：隨機試驗E的每個可能的________稱為樣本點，常用ω表示．(2)樣本空間：__________的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間．如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．基本結(jié)果全體樣本點2．隨機事件、必然事件與不可能事件(1)隨機事件：________________稱為隨機事件，簡稱事件，隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生．(2)隨機事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部樣本點)、不可能事件?(不含任何樣本點)、基本事件(只包含一個樣本點)．樣本空間Ω的子集3．兩個事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系或運算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生，則B一定發(fā)生______并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生_____________A?BA∪B或A＋B事件的關(guān)系或運算含義符號表示圖形表示交事件(積事件)A與B同時發(fā)生___________互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生___________互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生___________，___________A∩B或ABA∩B＝?A∩B＝?，A∪B＝Ω提醒：對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．[典例1]

(1)(2024·湖北襄陽模擬預(yù)測)已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個命題：①若任取x∈A，則x∈B是必然事件；②若任取x?A，則x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，則x∈A是隨機事件；④若任取x?B，則x?A是必然事件．其中正確的命題有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個√(2)(多選)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，則下列結(jié)論正確的是(

)A．“至少一個紅球”和“都是紅球”是互斥事件B．“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一個黑球”和“都是紅球”是對立事件D．“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件(3)從1，2，3，…，10中任意選一個數(shù)，這個試驗的樣本空間為___________________________________，“它是偶數(shù)”這一事件包含的樣本點個數(shù)為________．√√Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}5(1)C

(2)BC

(3)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

5

[(1)因為集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn圖如圖：對于①：集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取x∈A，則x∈B是必然事件，故①正確；對于②：任取x?A，則x∈B是隨機事件，故②不正確；對于③：因為集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，則x∈A是隨機事件，故③正確；對于④：因為集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取x?B，則x?A是必然事件，故④正確．所以①③④正確，正確的命題有3個．故選C.(2)不妨記兩個黑球為A1，A2，兩個紅球為B1，B2，從中取出2個球，則所有樣本點如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一個黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A2，兩個事件沒有共同的樣本點，故互斥，B正確；至少一個黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是紅球包括B1B2，兩個事件沒有共同的樣本點，且兩者包括的樣本點的并集為全部樣本點，故對立，C正確．同理可知A、D都不正確，故選BC.(3)任選一個數(shù)，共有10種不同選法，故樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶數(shù)共有5種，故“它是偶數(shù)”這一事件包含的樣本點個數(shù)為5.]點撥

1．確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件．(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．2．事件的關(guān)系運算策略(1)判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件．(2)進(jìn)行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進(jìn)行分析．也可類比集合的關(guān)系和運算用Venn圖分析事件．跟進(jìn)訓(xùn)練1

(1)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，則(

)A．A∪B表示向上的點數(shù)是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的點數(shù)是1或3D．A∩B表示向上的點數(shù)是1或5(2)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的對立事件是(

)A．至少有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶√√(1)A

(2)B

[(1)設(shè)A＝{1，3}，B＝{1，5}，則A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的點數(shù)是1，A∪B表示向上的點數(shù)為1或3或5.故選A.(2)“至多有一次中靶”的對立事件是“兩次都中靶”．]考點二隨機事件的頻率與概率1．頻率與概率(1)事件的概率：對隨機事件發(fā)生__________的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．(2)頻率的穩(wěn)定性：一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會____，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸______事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．可能性大小縮小穩(wěn)定于2．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)__0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝__，P(?)＝__；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．≥10P(A)＋P(B)1－P(B)[常用結(jié)論]如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[典例2]

(1)(2019·全國Ⅱ卷)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________．0.98(2)(2023·福建廈門高三模擬預(yù)測)已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________．(3)一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為________．0.250.96

點撥

頻率與概率的關(guān)系頻率本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的事件的頻率值也可能會不同概率本身是一個在[0，1]內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變跟進(jìn)訓(xùn)練2

(2020·全國Ⅰ卷)某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級．加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？

利潤6525－5－75頻數(shù)40202020

利潤70300－70頻數(shù)28173421考點三古典概率1．古典概型具有以下特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點只有______；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性____．有限個相等

√√

√

√

2．(2024·天津和平高三模擬)一個盒子中裝有4個編號依次為1，2，3，4的球，這4個球除號碼外完全相同，采用放回方式取球，先從盒子中隨機取一個球，該球的編號為X，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為Y.(1)寫出試驗的樣本空間；(2)設(shè)事件A＝“兩次取出球的編號之和小于4”，事件B＝“編號