初中中考數(shù)學函數(shù)專題專題25利用二次函數(shù)解決實際問題含答案及解析

專題25利用二次函數(shù)解決實際問題知識對接考點一、怎樣解二次函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用問題二次函數(shù)的最值在現(xiàn)實生活中應(yīng)用廣泛，通常是先列出二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用或?qū)⒍魏瘮?shù)的解析式化成項點式進行求解.考點二、怎樣解生活中的“拋物線型”問題拋物線是人們最為熟悉的曲線之一，諸如拋出球的運動路線、拋物線型大門、拋物線型隧道、拋物線型拱橋、拋物線型欄桿等，都:是拋物線型.解此類問題，主要是建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出其解析式，然后利用其有關(guān)性質(zhì)解決相關(guān)問題.專項訓練一、單選題1．如圖，小明以拋物線y=x2-2x+4為靈感設(shè)計了一款杯子，若AB=4，DE=2，則杯子的高CE為（）A．4 B．5 C．6 D．72．汽車在剎車后，由于慣性作用還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停下，我們稱這段距離為“剎車距離”，剎車距離往往跟行駛速度有關(guān)，在一個限速35km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不妙，同時剎車，最后還是相撞了事發(fā)后，交警現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）的關(guān)系大致如下：S甲，S乙．由此可以推測（）A．甲車超速 B．乙車超速C．兩車都超速 D．兩車都未超速3．如圖，平面圖形由直角邊長為1的等腰直角和扇形組成，點在線段上，，且交或交于點．設(shè)，圖中陰影部分表示的平面圖形（或）的面積為，則函數(shù)關(guān)于的大致圖象是（）A． B． C． D．4．把一個距離地面1米的小球豎直向上拋出，該小球距離地面的高度h（米）與所經(jīng)過的時間t（秒）之間的關(guān)系為，若存在兩個不同的t的值，使足球離地面的高度均為a（米），則a的取值范圍（）A． B． C． D．5．設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π6．如圖，是等邊三角形，，點M從點C出發(fā)沿CB方向以的速度勻速運動到點B，同時點N從點C出發(fā)沿射線CA方向以的速度勻速運動，當點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作交AB于點P，連接MN，NP，作關(guān)于直線MP對稱的，設(shè)運動時間為ts，與重疊部分的面積為，則能表示S與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）A． B．C． D．7．用一段長為20m的籬笆圍成一個矩形菜園，設(shè)菜園的對角線長為xm，面積為ym2，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．8．如圖1，正方形的邊長和等腰直角的邊與重合，邊與在一條直線上，以的速度向右移動，直到點與點重合才停止移動，兩個圖形重疊部分的面積為（），圖2所示的是向右移動時，面積（）與隨時間（）的變化的關(guān)系圖象，則的值是（）A．16 B．8 C．2 D．49．設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且．連接點A、B，過O作于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．110．定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點，點，則互異二次函數(shù)與正方形有交點時的最大值和最小值分別是（）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1二、填空題11．某超市購進一批單價為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可銷售20件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將銷售價定為__________元時，才能使每天所獲銷售利潤最大．12．如圖，用一段長為10米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的長方形菜園，設(shè)為米，則菜園的面積（平方米）與（米）的關(guān)系式為______．（不要求寫出自變量的取值范圍）13．二次函數(shù)（m，n是常數(shù)）的圖象與x軸的兩個交點及頂點構(gòu)成直角三角形，若將這條拋物線向上平移k個單位后（），圖象與x軸的兩個交點及頂點恰好構(gòu)成等邊三角形，則k的值為________．14．某拋物線型拱橋的示意圖如圖，橋長AB＝48米，拱橋最高處點C到水面AB的距離為12米，在該拋物線上的點E、F處要安裝兩盞警示燈（點E、F關(guān)于y軸對稱），警示燈F距水面AB的高度是9米，則這兩盞燈的水平距離EF是___米．15．某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤．售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是______元．三、解答題16．已知拋物線y＝ax2＋bx過點A（4，0）和B（－，－）．（1）求拋物線的解析式；（2）C、D為第一象限拋物線上的兩點，CE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F，直線BC、BD交y軸于M、N．求證：ME∥NF；（3）將拋物線向左平移3個單位，新的拋物線交y軸于Q，直線y＝kx（k＜0）交新拋物線于G、H．當∠GQH＝90°時，求k的值．17．如圖1，已知直線，交軸于點，交軸于點，且．（1）求直線的解析式；（2）如圖2，動點以1個單位/秒的速度從點出發(fā)沿向運動，動點以2個單位/秒的速度從點出發(fā)沿向運動，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，兩點同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，當取最大值時，將向右平移得到，交于點，若的面積被直線分成兩部分，求線段的長度．18．某矩形工藝品長，寬，中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊．（1）若絲綢花邊的面積為，求絲綢花邊的寬度．（2）已知該工藝品的成本是40元/件，如果以單價100元/件銷售，那么每天可售出200件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，銷售單價每降低1元，每天可多售出20件，不考慮其他情況，請問應(yīng)該把銷售單價定為多少元，能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少元？19．某快餐店新推出一種外賣，每份的成本為20元，推出后每份售價為50元，每月可售出200份，經(jīng)過試賣發(fā)現(xiàn)，該外賣每份售價每降價1元，每月可多賣出10份，由于制作能力有限，每月最多制作該外賣350份．設(shè)該外賣每份售價x元（x≤50），每月的銷售利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該外賣每份售價多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）該外賣每份售價在什么范圍時，每月的銷售利潤不低于4000元．20．在“學習一項體育技能”活動中，小明作為學生代表去觀看“青島黃海足球隊”的訓練．他看到隊員們在做擲界外球訓練，甲球員要將足球擲給離他7.5米遠的乙球員，擲出足球的運行軌還是一條拋物線，足球行進的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系如圖所示，足球出手時離地面的高度為2米，在距離甲球員4米處達到最大高度3.6米．若不計其他因素，身高1.85米的乙球員要能觸到足球，他垂直起跳的高度至少要達到多少米？21．已知拋物線（為常數(shù)，）交軸于點，點，交軸于點．（1）求點的坐標和拋物線的解析式；（2）是拋物線上位于直線上方的動點，過點作軸平行線，交直線于點，當取得最大值時，求點的坐標；更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（3）是拋物線的對稱軸上一點，為拋物線上一點；當直線垂直平分的邊時，求點的坐標．22．一座古老的石拱橋的側(cè)面形狀可以用如圖拋物線刻畫，OB為水平面，距O點水平距離1米的AC處立著一個水泥柱加固橋梁，拱橋在距O點水平距離3米處達到最大高度9米．（1）求此拋物線的解析式．（2）一只蜻蜓落在水泥柱左側(cè)的拱橋內(nèi)壁P處，且它飛到C點和A點的距離相同，求這只蜻蜓到水泥柱的水平距離．23．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點，與y軸交于點C(0，﹣3a)．（1）求點B的坐標；（2）若a＝，點M和點N在拋物線上，且M的橫坐標為4，點N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求點N的坐標；（3）P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，直線PA、PB分別交y軸于點M、N，判斷CM與CN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

專題25利用二次函數(shù)解決實際問題知識對接考點一、怎樣解二次函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用問題二次函數(shù)的最值在現(xiàn)實生活中應(yīng)用廣泛，通常是先列出二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用或?qū)⒍魏瘮?shù)的解析式化成項點式進行求解.考點二、怎樣解生活中的“拋物線型”問題拋物線是人們最為熟悉的曲線之一，諸如拋出球的運動路線、拋物線型大門、拋物線型隧道、拋物線型拱橋、拋物線型欄桿等，都:是拋物線型.解此類問題，主要是建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求出其解析式，然后利用其有關(guān)性質(zhì)解決相關(guān)問題.專項訓練一、單選題1．如圖，小明以拋物線y=x2-2x+4為靈感設(shè)計了一款杯子，若AB=4，DE=2，則杯子的高CE為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先求得拋物線的頂點坐標，再根據(jù)AB=4,得出點B的橫坐標，代入拋物線解析式得出點B的縱坐標，從而可求得CD的值，則利用CE=CD+DE計算即可得出答案。【詳解】∵=（x-1）2+3，∴拋物線的頂點D的坐標為（1，3），∵AB=4，∴BC=2，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher點B的橫坐標為x=3，把x=3代入得y=7，∴CD=7-3=4，∴CE=CE+DE=4+2=6，故選：C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并求得頂點D和點B的坐標是解題的關(guān)鍵2．汽車在剎車后，由于慣性作用還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停下，我們稱這段距離為“剎車距離”，剎車距離往往跟行駛速度有關(guān)，在一個限速35km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不妙，同時剎車，最后還是相撞了事發(fā)后，交警現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）的關(guān)系大致如下：S甲，S乙．由此可以推測（）A．甲車超速 B．乙車超速C．兩車都超速 D．兩車都未超速【答案】B【分析】先由題意分別求解不等式，求解甲、乙兩種車型的事發(fā)前的車速得答案．【詳解】解：由，先求出，x的解也就是二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標：從圖象可得，x是在A點的左側(cè)以及B點的右側(cè)，即或．由，先求出，x的解也就是二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標：更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher從圖象可得，x是在C點的左側(cè)以及D點的右側(cè)，即或．由于，從而可得：，．經(jīng)比較：乙車超過限速．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用、一元二次不等式的解法，利用數(shù)形結(jié)合的思想得出結(jié)果，正確理解其與二次函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，平面圖形由直角邊長為1的等腰直角和扇形組成，點在線段上，，且交或交于點．設(shè)，圖中陰影部分表示的平面圖形（或）的面積為，則函數(shù)關(guān)于的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點的位置，分點在上和點在弧上兩種情況討論，分別寫出和的函數(shù)解析式，即可確定函數(shù)圖象．【詳解】解：當在上時，即點在上時，有，此時陰影部分為等腰直角三角形，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher，該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，排除，選項；當點在弧上時，補全圖形如圖所示，陰影部分的面積等于等腰直角的面積加上扇形的面積，再減去平面圖形的面積即減去弓形的面積，設(shè)，則，，，當時，，，，當時，，，，在，選項中分別找到這兩個特殊值，對比發(fā)現(xiàn)，選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形的面積等內(nèi)容，選擇題中利用特殊值解決問題是常見方法，構(gòu)造圖形表達出陰影部分面積是本題解題關(guān)鍵．4．把一個距離地面1米的小球豎直向上拋出，該小球距離地面的高度h（米）與所經(jīng)過的時間t（秒）之間的關(guān)系為，若存在兩個不同的t的值，使足球離地面的高度均為a（米），則a的取值范圍（）A． B． C． D．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【答案】D【分析】將（0，1）代入求得函數(shù)解析式為，再由題意可得方程，由存在兩個不同的的值，使足球離地面的高度均為，故△，即可求出相應(yīng)的范圍．【詳解】解：將（0，1）代入，得：，解得：，∴，令，則可得方程，∵存在兩個不同的的值，使足球離地面的高度均為，∴方程有兩個不相等的實根，整理得：，△，解得：，又，∴的取值范圍為：，故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相應(yīng)的方程及將實際問題轉(zhuǎn)化為方程問題．5．設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當r＝時，S側(cè)有最大值．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是等邊三角形，，點M從點C出發(fā)沿CB方向以的速度勻速運動到點B，同時點N從點C出發(fā)沿射線CA方向以的速度勻速運動，當點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作交AB于點P，連接MN，NP，作關(guān)于直線MP對稱的，設(shè)運動時間為ts，與重疊部分的面積為，則能表示S與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出當點落在AB上時，t的值，分或兩種情形，分別求出S的解析式，可得結(jié)論．更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【詳解】解：如圖1中，當點落在AB上時，取CN的中點T，連接MT．，，，，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，四邊形CMPN是平行四邊形，，，，如圖2中，當時，過點M作于K，則，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher．如圖3中，當時，，觀察圖象可知，選項A符合題意，故選：A．【點睛】本題考查動點問題，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．7．用一段長為20m的籬笆圍成一個矩形菜園，設(shè)菜園的對角線長為xm，面積為ym2，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)矩形的長為am，寬為bm，可得a+b＝10（m），由菜園的對角線長為xm，根據(jù)勾股定理a2+b2＝x2更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher，由三角形成立條件與兩數(shù)差平方非負性可得，由公式配方可得即可．【詳解】解：設(shè)矩形的長為am，寬為bm，根據(jù)題意，得a+b＝20÷2＝10（m），∵菜園的對角線長為xm，∴a2+b2＝x2，∵x，，∴x2=a2+b2≥,僅當取等號，∴x2≥2×5×5，∴x≥，，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴102＝x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x＝時，y＝25，∴y與x函數(shù)圖象是二次函數(shù)的圖象，即開口方向向下的拋物線．故選：B．【點睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積，掌握列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積是解題關(guān)鍵．8．如圖1，正方形的邊長和等腰直角的邊與重合，邊與在一條直線上，以的速度向右移動，直到點與點重合才停止移動，兩個圖形重疊部分的面積為（），圖2所示的是向右移動時，面積（）與隨時間（）的變化的關(guān)系圖象，則的值是（）更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacherA．16 B．8 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)得到AH=AD=AB=BC，根據(jù)圖象分析最大面積為，再根據(jù)路程與時間的關(guān)系得到，最后得到結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，△FGH為等腰直角三角形，∴AH=AD=AB=BC，∵△FGH向右移動時，重合部分的面積越來越大，直至△FGH完全在正方形ABCD內(nèi)部，此時，接著往下運動的話，不完全在正方形ABCD內(nèi)，則面積減小，∴圖2中是重合部分的面積最大值，∴，∵以的速度向右移動，由圖2可知從開運動到結(jié)束用了（a+4）s，∴2AB=(a+4)×1,∴AB=,∵,解得：a=4或者a=-4，∴a=4，故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于分析等腰直角三角形的運動過程，找出運動時間與路程，列出方程求解．9．設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且．連接點A、B，過O作于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher設(shè)A(a，a2)，B(b，b2)，求出AB的解析式為，進而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C點在以O(shè)D的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E半徑時最大，由此即可求解．【詳解】解：如下圖所示：過C點作y軸垂線，垂足為H，AB與x軸的交點為D，設(shè)A(a，a2)，B(b，b2)，其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，∴，即，，設(shè)AB的解析式為：，代入A(a，a2)，解得：，∴，∵，即，∴C點在以O(shè)D的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E的半徑時，此時CH的長度最大，故CH的最大值為，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的相關(guān)知識等，本題的關(guān)鍵是求出AB與y軸交點的縱坐標始終為1，結(jié)合，由此確定點E的軌跡為圓進而求解．10．定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher中，點，點，則互異二次函數(shù)與正方形有交點時的最大值和最小值分別是（）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1【答案】D【分析】分別討論當對稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點時滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；若二次函數(shù)與正方形有交點,則共有以下四種情況:當時，則當A點在拋物線上或上方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當C點在拋物線上或下方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當O點位于拋物線上或下方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當O點在拋物線上或下方且B點在拋物線上或上方時，它們才有交點，此時有，解得：；更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher綜上可得：的最大值和最小值分別是，．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與正方形的交點問題，涉及到列一元一次不等式組等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像分析交點情況，并進行分類討論，本題綜合性較強，需要一定的分析能力與圖形感知力，因此對學生的思維要求較高，本題蘊含了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．二、填空題11．某超市購進一批單價為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可銷售20件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將銷售價定為__________元時，才能使每天所獲銷售利潤最大．【答案】11【分析】根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)銷售單價定為元，每天所獲利潤為元，則，所以將銷售定價定為11元時，才能使每天所獲銷售利潤最大，故答案為11．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．12．如圖，用一段長為10米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的長方形菜園，設(shè)為米，則菜園的面積（平方米）與（米）的關(guān)系式為______．（不要求寫出自變量的取值范圍）【答案】y=-2x2+10x更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【分析】根據(jù)AB的長為x米可以得出BC的長為（10-2x）米，然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：∵AB的邊長為x米，而菜園ABCD是矩形菜園，∴BC=10-2x，∵菜園的面積=AB×BC=x?（10-2x），∴y=-2x2+10x．故答案為：y=-2x2+10x．【點睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式．解題的關(guān)鍵是能夠正確利用矩形的周長公式用含x的代數(shù)式表示BC，然后利用矩形的面積公式即可解決問題．13．二次函數(shù)（m，n是常數(shù)）的圖象與x軸的兩個交點及頂點構(gòu)成直角三角形，若將這條拋物線向上平移k個單位后（），圖象與x軸的兩個交點及頂點恰好構(gòu)成等邊三角形，則k的值為________．【答案】2【分析】先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（m，m2+n），根據(jù)拋物線與x軸的兩交點的連線段的長度公式得到拋物線y=-x2+2mx+n（m，n是常數(shù)）的圖象與x軸兩個交點的距離為，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得解得m2+n=3，則此時拋物線的頂點的縱坐標為3；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，解得m2+n=1，則此時拋物線的頂點的縱坐標為1，從而得到k的值．【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點坐標為，拋物線與x軸的兩交點的連線段的長度．當拋物線與軸的兩個交點及頂點構(gòu)成直角三角形時，由拋物線的對稱性可知該直角三角形為等腰直角三角形，∴，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher則，若將這條拋物線向上平移k個單位后，圖象與軸的兩個交點及頂點恰好構(gòu)成等邊三角形，此時頂點的縱坐標為．所以，則，所以．故k的值為2．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．14．某拋物線型拱橋的示意圖如圖，橋長AB＝48米，拱橋最高處點C到水面AB的距離為12米，在該拋物線上的點E、F處要安裝兩盞警示燈（點E、F關(guān)于y軸對稱），警示燈F距水面AB的高度是9米，則這兩盞燈的水平距離EF是___米．【答案】24

【分析】設(shè)拋物線的解析式為，由題意可得A（-24，0），E、F的縱坐標為9，且E、F對稱，據(jù)此求解即可.【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，有題意可知A（-24，0），E、F的縱坐標為9，且E、F對稱，∴，解得，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴拋物線的解析式為，把代入解析式中得，解得，∴米，故答案為：24.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識進行求解.15．某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤．售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是______元．【答案】1264【分析】根據(jù)題意，總利潤=快餐的總利潤＋快餐的總利潤，而每種快餐的利潤=單件利潤×對應(yīng)總數(shù)量，分別對兩份快餐前后利潤和數(shù)量分析，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)種快餐的總利潤為，種快餐的總利潤為，兩種快餐的總利潤為，設(shè)快餐的份數(shù)為份，則B種快餐的份數(shù)為份．據(jù)題意：∴∵∴當?shù)臅r候，W取到最大值1264，故最大利潤為1264元故答案為：1264【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、通過具體問題找到變化前后的關(guān)系是解題關(guān)鍵點．三、解答題更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher16．已知拋物線y＝ax2＋bx過點A（4，0）和B（－，－）．（1）求拋物線的解析式；（2）C、D為第一象限拋物線上的兩點，CE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F，直線BC、BD交y軸于M、N．求證：ME∥NF；（3）將拋物線向左平移3個單位，新的拋物線交y軸于Q，直線y＝kx（k＜0）交新拋物線于G、H．當∠GQH＝90°時，求k的值．【答案】（1）y=-x2+4x；（2）見解析；（3）-1【分析】（1）將點A、B代入拋物線的解析式中可得答案；

（2）設(shè)、，兩點確定一條直線，即可得BC、BD的解析式．OE、OM、OF、ON線段可以m、n來表示，可以求出，，即可得ME∥NF．

（3）由題意得新拋物線的解析式為：，與直線聯(lián)立方程可得G、H的橫坐標．由勾股定理得，，即可得k的值．【詳解】解：（1）將點A（4，0）和B（－，－）代入中，

得可解得，

∴拋物線解析式為：；

更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（2）證明：設(shè)、，

則直線BC的方程可設(shè)為，

BD的方程設(shè)為，

將B、C坐標代入y1中得，

解得，∴OE=m，，，

同理將B、D坐標代入y2=k2x+b2中

得，

可解得，

∴OF=n，ON=，∴，

∵tan∠OEM=tan∠OFN，且均為銳角，

∴ME∥NF；

（3）由（1）知，，則向左平移3個單位后，新的解析式為，

聯(lián)立，

解得，

設(shè)G點的坐標（x1，kx1），H點橫坐標為（x2，kx2），

更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacherx1+x2=-=-（k+2），

x1+x2=-3，

Q點是新拋物線與y軸交點，把x=0，代入中，

得y=3，∴Q的坐標為（0，3），

∴，，當∠GQH=90°時，由勾股定理得，GQ2+QH2=GH2，

即9-6k（x1+x2）=-（2+2k2）x1x2，

得k=-1，

即k的值為-1．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)、平行的相關(guān)知識．解本題的關(guān)鍵是熟練掌握代入法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)解析式銳角三角函數(shù)、勾股定理、解方程組等．17．如圖1，已知直線，交軸于點，交軸于點，且．（1）求直線的解析式；（2）如圖2，動點以1個單位/秒的速度從點出發(fā)沿向運動，動點以2個單位/秒的速度從點出發(fā)沿向運動，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，兩點同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，當取最大值時，將向右平移得到，交于點，若的面積被直線分成兩部分，求線段的長度．【答案】（1）；（2）；（3）線段的長為或【分析】更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（1）先根據(jù)解析式，可得，再由，可求出，然后利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）過點作軸于點，根據(jù)題意可知：，，，由，可得，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得，即可求出與的函數(shù)關(guān)系式；（3）作軸于點，由（2）可得當時，有最大值，再由，可得，，再利用勾股定理可求出，再由∽，可得，然后根據(jù)直線把的面積分成兩部分，可得或，即可求解．【詳解】解：（1）對于直線，當時，，∴，∴，∵∴，∴，把代入，解得，∴直線的解析式是；（2）解：如圖，過點作軸于點，根據(jù)題意可知：，，∴，在中，，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∵，∴，∴，即，解得：∴；（3）解：由（2）可知，∴當時，有最大值則，，如圖，作軸于點，由（2）知，∴，即，解得：，，∴，在中，，∴，∵向右平移得到，∴，∴∽，∴，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴，∵直線把的面積分成兩部分，∴或，①當時，；②當時，；綜上所述，線段的長為或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，圖形的平移等知識，學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．18．某矩形工藝品長，寬，中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊．（1）若絲綢花邊的面積為，求絲綢花邊的寬度．（2）已知該工藝品的成本是40元/件，如果以單價100元/件銷售，那么每天可售出200件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，銷售單價每降低1元，每天可多售出20件，不考慮其他情況，請問應(yīng)該把銷售單價定為多少元，能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）；（2）應(yīng)該把銷售單價定為75元，能使每天所獲的利潤最大，最大利潤為24500元【分析】（1）設(shè)絲綢花邊的寬度為xcm，根據(jù)長方形的面積公式可得關(guān)于x的方程，求解即可；（2））設(shè)銷售單價降低m元，利潤為W，求出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解（1）設(shè)絲綢花邊的寬度為xcm，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher由題意得：即，解得或（舍去），答：絲綢花邊的寬度為；（2）設(shè)銷售單價降低m元，利潤為W，由題意得：，∴當時，W取得最大值，最大值為24500，銷售單價為100-25=75元，答：應(yīng)該把銷售單價定為75元，能使每天所獲的利潤最大，最大利潤為24500元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．19．某快餐店新推出一種外賣，每份的成本為20元，推出后每份售價為50元，每月可售出200份，經(jīng)過試賣發(fā)現(xiàn)，該外賣每份售價每降價1元，每月可多賣出10份，由于制作能力有限，每月最多制作該外賣350份．設(shè)該外賣每份售價x元（x≤50），每月的銷售利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該外賣每份售價多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）該外賣每份售價在什么范圍時，每月的銷售利潤不低于4000元．【答案】（1）w＝?10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）當外賣每份售價45元，每月的銷售利潤最大利潤6250元；（3）35≤x≤50【分析】（1）根據(jù)“總利潤＝單份利潤×月銷售數(shù)量”列出函數(shù)解析式，（2）將函數(shù)配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得；（3）先求得W＝4000元時x的值，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定W≥4000時x的范圍即可得．【詳解】（1）設(shè)該外賣每份售價x元，則每份的利潤為（x-20）元，每月的銷售量為200＋（50-x）×10，根據(jù)題意得w＝（x-20）[200＋（50-x）×10]＝?10x2+900x-14000，∵每月最多制作該外賣350份∴200＋（50-x）×10≤350更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher解得x≥35∵x≤50，∴自變量x的取值為35≤x≤50，∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝?10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）∵w＝?10x2+900x-14000=-10（x-45）2+6250∴當x=45時，每月的銷售利潤最大w=6250；（3）當W＝4000時，得：?10x2+900x-14000＝4000，解得：x1＝30，x2＝60，∵35≤x≤45時，w隨x的增大而增大；45≤x≤50時，w隨x的增大而減小∴要使每月的銷售利潤不低于4000元，x的取值為35≤x≤50．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．20．在“學習一項體育技能”活動中，小明作為學生代表去觀看“青島黃海足球隊”的訓練．他看到隊員們在做擲界外球訓練，甲球員要將足球擲給離他7.5米遠的乙球員，擲出足球的運行軌還是一條拋物線，足球行進的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系如圖所示，足球出手時離地面的高度為2米，在距離甲球員4米處達到最大高度3.6米．若不計其他因素，身高1.85米的乙球員要能觸到足球，他垂直起跳的高度至少要達到多少米？【答案】他垂直起跳的高度至少要達到米【分析】設(shè)拋物線的解析式為：，根據(jù)題中給出的頂點坐標以及拋出點的坐標求得解析式，將代入解析式可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點坐標為，與拋出點的坐標為，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher設(shè)拋物線的解析式為：，頂點坐標代入得：，拋出點坐標代入得：，解得：，∴拋物線得解析式為：，當時，，米，故他垂直起跳的高度至少要達到米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學建模的數(shù)學思想，難度不大，能夠結(jié)合題意利用二次函數(shù)不同的表達形式求得解析式是解答本題的關(guān)鍵．21．已知拋物線（為常數(shù)，）交軸于點，點，交軸于點．（1）求點的坐標和拋物線的解析式；（2）是拋物線上位于直線上方的動點，過點作軸平行線，交直線于點，當取得最大值時，求點的坐標；（3）是拋物線的對稱軸上一點，為拋物線上一點；當直線垂直平分的邊時，求點的坐標．【答案】（1）y＝?x2＋5x＋6，C（0，6）；（2）P（3，12）；（3）（，）或（，）【分析】（1）當x＝0時，y＝6，可求點C坐標，利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）先求出直線AC的解析式，再設(shè)D（t，?t＋6）（0＜t＜6），知P（t，?t2＋5t＋6），從而得PD＝?（t?3）2＋9，據(jù)此可得答案；（3）先判斷出NF∥x軸，進而求出點N的縱坐標，即可建立方程求解得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A（6，0），B（?1，0），∴，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴，∴拋物線的解析式為y＝?x2＋5x＋6，當x＝0時，y＝6，∴點C（0，6）；（2）如圖（1），∵A（6，0），C（0，6），∴直線AC的解析式為y＝?x＋6，設(shè)D（t，?t＋6）（0＜t＜6），則P（t，?t2＋5t＋6），∴PD＝?t2＋5t＋6?（?t＋6）＝?t2＋6t＝?（t?3）2＋9，當t＝3時，PD最大，此時，?t2＋5t＋6＝12，∴P（3，12）；（3）如圖（2），設(shè)直線AC與拋物線的對稱軸l的交點為F，連接NF，∵點F在線段MN的垂直平分線AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y軸，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x軸，由（2）知，直線AC的解析式為y＝?x＋6，由（1）可知：拋物線的對稱軸為直線x=當x＝時，y＝，∴F（，），∴點N的縱坐標為，設(shè)N的坐標為（m，?m2＋5m＋6），∴?m2＋5m＋6＝，∴m＝或m＝，∴點N的坐標為（，）或（，）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解一元二次方程，（2）中判斷出PD＝PE，（3）中NF∥x軸是解本題的關(guān)鍵．22．一座古老的石拱橋的側(cè)面形狀可以用如圖拋物線刻畫，OB為水平面，距O點水平距離1米的AC處立著一個水泥柱加固橋梁，拱橋在距O點水平距離3米處達到最大高度9米．（1）求此拋物線的解析式．（2）一只蜻蜓落在水泥柱左側(cè)的拱橋內(nèi)壁P處，且它飛到C點和A點的距離相同，求這只蜻蜓到水泥柱的水平距離．【答案】（1）y=-（x+3）2+9；（2）米【分析】更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客;