初中中考數(shù)學(xué)函數(shù)專題專題28二次函數(shù)中的三角形問題含答案及解析

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁專題28二次函數(shù)中的三角形問題知識對接考點一、二次函數(shù)中的三角形問題考點分析：二次函數(shù)與三角形的綜合解答題一般涉及到這樣幾個方面：1.三角形面積最值問題2.特殊三角形的存在問題包括等腰等邊和直角三角形。這類題目一般出現(xiàn)在壓軸題最后兩道上，對知識的綜合運用要求比較高?？键c二、解決此類題目的基本步驟與思路1.抓住目標(biāo)三角形，根據(jù)動點設(shè)點坐標(biāo)2.根據(jù)所設(shè)未知數(shù)去表示三角形的底和高，一般常用割補法去求解三角形的面積從而得出面積的關(guān)系式3.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值.4.特殊三角形問題首先要畫出三角形的大概形狀，分類討論的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪兩條邊為要，直角三角形需要搞清楚哪個角作為直角都需要我們?nèi)シ诸愑懻?。要點補充：1.簡單的直角三角形可以直接利用底乘高進行面積的表示2.復(fù)雜的利用“補”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標(biāo)軸的垂線。4.利用點坐標(biāo)表示線段長度時注意要用大的減去小的。5.圍繞不同的直角進行分類討論，注意檢驗答案是否符合要求。6.在勾股定理計算復(fù)雜的情況下，靈活的構(gòu)造K字形相似去處理。要點補充：專項訓(xùn)練一、單選題1．如圖，直角邊長為1的等腰直角三角形與邊長為2的正方形在同一水平線上，三角形沿水平線從左向右勻速穿過正方形．設(shè)穿過時間為t，正方形與三角形不重合部分的面積為s（陰影部分），則s與t的大致圖象為（）試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁A． B．C． D．2.定義：若拋物線的頂點與軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為“美麗拋物線”．如圖，直線：經(jīng)過點一組拋物線的頂點，，，…（為正整數(shù)），依次是直線上的點，這組拋物線與軸正半軸的交點依次是：，，，…（為正整數(shù)）．若，當(dāng)為（）時，這組拋物線中存在美麗拋物線A．或 B．或 C．或 D．3．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點三角形”．以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對角線OB的兩個交點之間的距離為，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內(nèi)接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是A．16 B．15 C．14 D．134．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．如果試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，那么以這三個格點為頂點的三角形稱為該拋物線的“內(nèi)接格點三角形”．設(shè)對稱軸平行于y軸的拋物線與網(wǎng)格對角線OM的兩個交點為A，B，其頂點為C，如果△ABC是該拋物線的內(nèi)接格點三角形，AB=3，且點A，B，C的橫坐標(biāo)xA，xB，xC滿足xA＜xC＜xB，那么符合上述條件的拋物線條數(shù)是（）A．7 B．8 C．14 D．165．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿對角線AC剪開（如圖①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖②），當(dāng)兩個三角形重疊部分的面積最大時，移動的距離AA′等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.26．如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．設(shè)小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）A． B．試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁C． D．7．如圖，正三角形和正三角形的邊，在同一條直線上，將向右平移，直到點與點重合為止，設(shè)點平移的距離為，，．兩個三角形重合部分的面積為，現(xiàn)有一個正方形的面積為，已知，則S關(guān)于的函數(shù)圖像大致為（） B．C． D．8．以下說法正確的是（）A．三角形的外心到三角形三邊的距離相等B．順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形C．分式方程的解為x＝2D．將拋物線y＝2x2－2向右平移1個單位后得到的拋物線是y＝2x2－39．二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點和，下列說法：①該函數(shù)圖象過點；②當(dāng)時，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點所圍成的三角形面積是；③若該函數(shù)的圖象開口向下，則m的取值范圍為；④當(dāng)，且時，y的最大值為．正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④10．以下四個命題：①如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個三角形是直角三角形；②在實數(shù)-7.5，，4，，-π，()2中，有4個有理數(shù)，2個無理數(shù)；試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁③有一個圓錐，與底面圓直徑是且體積為的圓柱等高，如果這個圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么它的母線長為；④二次函數(shù)，自變量的兩個值x1，x2對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，若|x1-1|>|x2-1|，則a(y1-y2)>0．其中正確的命題的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．定義[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1－m，－1－m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m≠0時，點(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當(dāng)m＜0時，函數(shù)在時，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)m＞0，若拋物線的頂點與拋物線與x軸兩交點組成的三角形為等腰直角三角形，則，正確的結(jié)論是________．（填寫序號）12．如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y＝x2（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A有____個．13．如圖，直線l：經(jīng)過點M(0，)，一組拋物線的頂點B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n為正整數(shù)），設(shè)x1＝d（0＜d＜1）若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則我們把這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．則當(dāng)d（0＜d＜1）的大小變化時美麗拋物線相應(yīng)的d的值是__．試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁14．如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，設(shè)拋物線的頂點為D．坐標(biāo)軸上有一動點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與相似．則點P的坐標(biāo)______．

15．如圖，要在夾角為30°的兩條小路與形成的角狀空地上建一個三角形花壇，分別在邊和上取點和點，并扎起籬笆將花壇保護起來（籬笆的厚度忽略不計）．若和兩段籬笆的總長為8米，則當(dāng)______米時，該花壇的面積最大．三、解答題16．如圖，二次函數(shù)與軸交于兩點，點在點左邊，與軸交于點，點與點關(guān)于軸對稱，為軸上一動點，試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁（1）直接寫出的面積=______；（2）若以點為頂點的三角形與相似，求點的坐標(biāo)；（3）若點在線段上運動，延長交于點，過作//軸交拋物線于點，點在運動過程中，直接寫出能夠使面積的值為整數(shù)的點的個數(shù)______．17．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交于點F，交二次函數(shù)的圖象于點E．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段的長度；（3）已知點N是y軸上的點，若點N、F關(guān)于直線對稱，求點N的坐標(biāo)．18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x＋2與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝與x軸的交點為點A，且經(jīng)過點B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點M為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)|BM﹣CM|的值最小時，求出點M的坐標(biāo)；試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁（3）拋物線上是否存在點N，過點N作NH⊥x軸于點H，使得以點B、N、H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．19．拋物線頂點為點，與軸交于點、，與軸交于點，點是拋物線對稱軸上的一個動點．（1）求和的值；（2）是否存在點，使得以、、為頂點的三角形中有兩個內(nèi)角的和等于？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．20．如圖，拋物線經(jīng)過點，，連接，點是第一象限內(nèi)拋物線上一動點．（1）求拋物線的表達式；（2）過點作軸的垂線，交于點，判斷是否存在點，使得以、、為頂點的三角形是直角三角形，若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點與點關(guān)于軸對稱，連接，，，當(dāng)點運動到什么位置時，的面積最大？求面積的最大值及此時點的坐標(biāo)．試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁21．定義：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做余等三角形．如圖1，在和中，若，且，則和是余等三角形．（1）如圖2，等腰直角，其中，，點是上任意一點（不與點、重合），則圖中______和______是余等三角形，并求證：．（2）如圖3，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為5，且，①求證：和是余等三角形．②圖4，連結(jié)交于點，連結(jié)，為上一點，連結(jié)并延長交于點，若，，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x＋c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線AC與y軸交于點C，與拋物線交于點D，OA＝OC．（1）求該拋物線與直線AC的解析式；（2）若點E是x軸下方拋物線上一動點，連接AE、CE．求△ACE面積的最大值及此時點E的坐標(biāo)；（3）將原拋物線沿射線AD方向平移2個單位長度，得到新拋物線：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新拋物線與原拋物線交于點F，在直線AD上是否存在點P，使以點P、D、F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

23．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（2，0），B（，0），C（0，4），點為二次函數(shù)第二象限內(nèi)拋物線上一動點，軸于點，交直線于點，以為直徑的圓⊙M與交于點．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher

（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)三角形周長最大時．求此時點點坐標(biāo)及三角形的周長；（3）在（2）的條件下，點N為⊙M上一動點，連接BN，點Q為BN的中點，連接HQ，求HQ的取值范圍．

專題28二次函數(shù)中的三角形問題知識對接考點一、二次函數(shù)中的三角形問題考點分析：二次函數(shù)與三角形的綜合解答題一般涉及到這樣幾個方面：1.三角形面積最值問題2.特殊三角形的存在問題包括等腰等邊和直角三角形。這類題目一般出現(xiàn)在壓軸題最后兩道上，對知識的綜合運用要求比較高。考點二、解決此類題目的基本步驟與思路1.抓住目標(biāo)三角形，根據(jù)動點設(shè)點坐標(biāo)2.根據(jù)所設(shè)未知數(shù)去表示三角形的底和高，一般常用割補法去求解三角形的面積從而得出面積的關(guān)系式3.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值.4.特殊三角形問題首先要畫出三角形的大概形狀，分類討論的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪兩條邊為要，直角三角形需要搞清楚哪個角作為直角都需要我們?nèi)シ诸愑懻?。要點補充：1.簡單的直角三角形可以直接利用底乘高進行面積的表示2.復(fù)雜的利用“補”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標(biāo)軸的垂線。4.利用點坐標(biāo)表示線段長度時注意要用大的減去小的。5.圍繞不同的直角進行分類討論，注意檢驗答案是否符合要求。6.在勾股定理計算復(fù)雜的情況下，靈活的構(gòu)造K字形相似去處理。要點補充：專項訓(xùn)練一、單選題1．如圖，直角邊長為1的等腰直角三角形與邊長為2的正方形在同一水平線上，三角形沿水平線從左向右勻速穿過正方形．設(shè)穿過時間為t，正方形與三角形不重合部分的面積為s（陰影部分），則s與t的大致圖象為（）更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacherA． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)三角形運動速度為1，根據(jù)勾股定理可求出等腰直角三角形的斜邊長為，分0≤t≤時，＜t≤時，＜t≤2時，2＜t≤2+時，2+＜t≤2+時五種情況，可知等腰直角三角形與正方形的不重疊部分面積變化過程是變小--不變--變大，分別求出函數(shù)關(guān)系式，即可得出答案．【詳解】∵等腰直角三角形的直角邊長為1，∴等腰直角三角形的斜邊長為=，當(dāng)0≤t≤時，s＝×1×1+2×2﹣＝﹣t2；當(dāng)＜t≤時，s＝22-+2×(-t)2=t2﹣2t+；當(dāng)＜t≤2時，s＝×1×1＝；當(dāng)2＜t≤2+時，s＝22-2×(t-2)2=t2﹣4t+；當(dāng)2+＜t≤2+時，s＝22+-2×（﹣t+2）2=﹣（﹣t+2）2，∴等腰直角三角形與正方形的不重疊部分面積變化過程是變小--不變--變大，且變小、變大時的圖象為拋物線，不變時的圖象為直線，∴A符合要求，故選：A．【點睛】考查了動點問題的函數(shù)圖象，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論，熟練掌握二次函數(shù)的圖象是解題關(guān)鍵．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher2.定義：若拋物線的頂點與軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為“美麗拋物線”．如圖，直線：經(jīng)過點一組拋物線的頂點，，，…（為正整數(shù)），依次是直線上的點，這組拋物線與軸正半軸的交點依次是：，，，…（為正整數(shù)）．若，當(dāng)為（）時，這組拋物線中存在美麗拋物線更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacherA．或 B．或 C．或 D．【答案】B【分析】由拋物線的對稱性可知，所有構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的頂點縱坐標(biāo)必定小于1，據(jù)此對上一步結(jié)論分析可得滿足美麗拋物線對應(yīng)的頂點，再確定拋物線與x軸的交點值與對稱軸的距離，從而可求得d的值【詳解】解：直線l：經(jīng)過點M（0，）則b=，∴直線l：由拋物線的對稱性知：拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的直角三角形必為等腰直角三角形；∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半∵0＜d＜1∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點縱坐標(biāo)小于1）∵當(dāng)x=1時，＜1；當(dāng)x=2時，＜1；當(dāng)x=3時，＞1；∴美麗拋物線的頂點只有①若為頂點，由，則，②若為頂點，由，則綜上所述，d的值為或時，存在美麗拋物線．故選B．【點睛】此題主要考查拋物線與x軸的交點，拋物線的對稱性．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher3．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點三角形”．以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對角線OB的兩個交點之間的距離為，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內(nèi)接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是A．16 B．15 C．14 D．13【答案】C【詳解】根據(jù)在OB上的兩個交點之間的距離為，根據(jù)勾股定理可知兩交點的橫坐標(biāo)的差為3，然后作出最左邊開口向下的拋物線，再向右平移1個單位，向上平移1個單位得到開口向下的拋物線的條數(shù)，同理可得開口向上的拋物線的條數(shù)，然后相加即可得解：如圖，開口向下，經(jīng)過點（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，然后向右平移1個單位，向上平移1個單位一次得到一條拋物線，可平移6次，∴一共有7條拋物線．同理可得開口向上的拋物線也有7條．∴滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．故選C．4．如圖，在10×10的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點．如果更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，那么以這三個格點為頂點的三角形稱為該拋物線的“內(nèi)接格點三角形”．設(shè)對稱軸平行于y軸的拋物線與網(wǎng)格對角線OM的兩個交點為A，B，其頂點為C，如果△ABC是該拋物線的內(nèi)接格點三角形，AB=3，且點A，B，C的橫坐標(biāo)xA，xB，xC滿足xA＜xC＜xB，那么符合上述條件的拋物線條數(shù)是（）A．7 B．8 C．14 D．16【答案】C【分析】根據(jù)在OB上的兩個交點之間的距離為3，可知兩交點的橫坐標(biāo)的差為3，然后作出最左邊開口向下的拋物線，再向右平移1個單位，向上平移1個單位得到開口向下的拋物線的條數(shù)，同理可得開口向上的拋物線的條數(shù)，然后相加即可得解．【詳解】解：如圖，開口向下，經(jīng)過點（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=﹣x2+4x，然后向右平移1個單位，向上平移1個單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．故選C．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題．主要考查了網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識與二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，作出更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher圖形更形象直觀．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿對角線AC剪開（如圖①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖②），當(dāng)兩個三角形重疊部分的面積最大時，移動的距離AA′等于（）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2【答案】A【分析】設(shè)AA′=x，先證△AA'E∽△ADC，利用相似的性質(zhì)用含x代數(shù)式表示出A′E，再根據(jù)陰影部分為平行四邊形利用面積建立二次函數(shù)解析式，通過最值即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)AA′=x，則DA′=2-x，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=2，∵EA′∥CD，∴△AA'E∽△ADC，∴，即，∴A′E=x，∵EA′∥CD，CA′∥CA，∴陰影部分為平行四邊形，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴陰影部分的面積：S=EA′·DA′=，即當(dāng)，陰影部分的面積最大為，∴當(dāng)平移的距離AA′=1時，兩個三角形重疊部分的面積最大.故選A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、相似的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值.根據(jù)相似的性質(zhì)得出比例線段，并利用面積建立二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.6．如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．設(shè)小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：①x≤1時，兩個三角形重疊面積為小三角形的面積，∴y==；②當(dāng)1＜x≤2時，重疊三角形的邊長為2﹣x，高為，y==；③當(dāng)x=2時，兩個三角形沒有重疊的部分，即重疊面積為0，故選B．考點：動點問題的函數(shù)圖象；動點型；分類討論．7．如圖，正三角形和正三角形的邊，在同一條直線上，將向右平移，直到點與更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher點重合為止，設(shè)點平移的距離為，，．兩個三角形重合部分的面積為，現(xiàn)有一個正方形的面積為，已知，則S關(guān)于的函數(shù)圖像大致為（） B．C． D．【答案】A【分析】分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三種情況，分別求出函數(shù)表達式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，①當(dāng)0≤x≤2時，則兩個三角形重合部分為邊長x的正三角形，則：，故，為二次函數(shù)，圖象開口向上，當(dāng)x=2時，S=2；②當(dāng)2＜x＜4時，兩個三角形重合部分為邊長為2的正三角形，故S=2；③當(dāng)4≤x≤6時，同理可得：，圖象開口向上，當(dāng)x=4時，S=2；當(dāng)x=6時，S=0；故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，分類求出函數(shù)表達式，是解決本題的關(guān)鍵．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher8．以下說法正確的是（）A．三角形的外心到三角形三邊的距離相等B．順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形C．分式方程的解為x＝2D．將拋物線y＝2x2－2向右平移1個單位后得到的拋物線是y＝2x2－3【答案】B【分析】利用三角形的外心的性質(zhì)、中點四邊形、解分式方程以及拋物線的平移規(guī)律分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故選項A說法錯誤，不符合題意；B、順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，故選項B說法正確，符合題意；C、去分母得，解這個整式方程得，x＝2經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的增根，∴原方程無解，故選項C說法錯誤，不符合題意；D、將拋物線y=2x2-2向右平移1個單位后得到的拋物線是y=2（x-1）2-2，故選項D說法錯誤，不符合題意；；故選：B．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，三角形的外心的性質(zhì)、中點四邊形、解分式方程及拋物線的平移等知識，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．9．二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點和，下列說法：①該函數(shù)圖象過點；②當(dāng)時，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點所圍成的三角形面積是；③若該函數(shù)的圖象開口向下，則m的取值范圍為；④當(dāng)，且時，y的最大值為．正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：①當(dāng)x=1時，y=（m+1）x2-2mx+m-2=-1，正確；②當(dāng)m=0時，y=x2-2，與x軸的交點為，則，與y軸的交點y值為：y=-2，∴，故②正確；③該函數(shù)圖象開口向下，且與x軸有兩個交點，故m+1＜0，△=（-2m）2-4（m+1）（m-2）＞0，解得：-2＜m＜-1，故③正確；④函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)m>0時，，故函數(shù)在x=-2時，取得最大值，當(dāng)x=-2時，y=(m+1)x2-2mx+m-2=9m+2，故④正確．故選D．【點睛】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．10．以下四個命題：①如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個三角形是直角三角形；②在實數(shù)-7.5，，4，，-π，()2中，有4個有理數(shù)，2個無理數(shù)；③有一個圓錐，與底面圓直徑是且體積為的圓柱等高，如果這個圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么它的母線長為；④二次函數(shù)，自變量的兩個值x1，x2對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，若|x1-1|>|x2-1|，則a(y1-y2)>0．其中正確的命題的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，分別求出這三個角，即可判斷．②根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher③設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線長為R，根據(jù)題意可推出R:r=2:1，即可求出，得出結(jié)論，從而求出R=，即可判斷．④該二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1，分情況討論當(dāng)a<0時和a>0時，y1和y2的大小，即可判斷a(y1-y2)是否大于0．【詳解】①如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，則這個三角形的三個角分別為、、，所以這個三角形不是直角三角形，故原命題是假命題；②在實數(shù)-7.5，，4，，-π，=2中，-7.5，，4，=2為有理數(shù)共4個，，-π為無理數(shù)共2個，故原命題是真命題；③設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線長為R，根據(jù)題意得，則R:r=2:1．由得．因為，即，則R=(負(fù)值舍去)，即它的母線長是，故原命題是真命題；④二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，若a<0時，如圖：∵|x1-1|>|x2-1|，∴y1<y2，∴y1-y2<0，∴a(y1-y2)>0．當(dāng)a>0時，同理可證a(y1-y2)>0，故原命題是真命題．綜上所述，正確的命題的個數(shù)為3個．故選C．【點睛】更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher本題考查了命題與定理．掌握三角形內(nèi)角和定理，有理數(shù)和無理數(shù)的定義，弧長的計算，勾股定理以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題11．定義[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1－m，－1－m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m≠0時，點(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當(dāng)m＜0時，函數(shù)在時，y隨x的增大而減??；④當(dāng)m＞0，若拋物線的頂點與拋物線與x軸兩交點組成的三角形為等腰直角三角形，則，正確的結(jié)論是________．（填寫序號）【答案】①②④【分析】根據(jù)函數(shù)特征數(shù)確定二次函數(shù)解析式為，當(dāng)m≠0時，把=1代入函數(shù)，求得可判斷①，當(dāng)m＞0時，,求出作差可判斷②；當(dāng)m＜0時，，拋物線開口向下，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，對稱軸為可判斷③；當(dāng)m＞0，若拋物線的頂點與拋物線與x軸兩交點組成的三角形為等腰直角三角形，根據(jù)兩交點關(guān)于對稱軸對稱構(gòu)造方程，解得，可判斷④．【詳解】解：由題意得：二次函數(shù)解析式為當(dāng)m≠0時，=1，∴點(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；故①正確；當(dāng)m＞0時，,因式分解得解得函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度=1+故②正確；當(dāng)m＜0時，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴，拋物線開口向下，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher對稱軸為函數(shù)在時，可能x在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；故③不正確；④當(dāng)m＞0，拋物線頂點的縱坐標(biāo)為，由②知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為解得，∴兩交點的距離為∵拋物線的頂點與拋物線與x軸兩交點組成的三角形為等腰直角三角形，列方程得解得，∵m＞0，則，經(jīng)檢驗符合題意，是原方程的根，故④正確；∴正確的結(jié)論是①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題考查拋物線的特征數(shù)，利用特征數(shù)研究拋物線的性質(zhì)過定點，交點間弦長，增減性，等腰直角三角形性質(zhì)等知識，掌握以上知識，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．12．如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y＝x2（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A有____個．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【答案】4【分析】此題應(yīng)分四種情況考慮：①∠POQ=∠OAH=60°，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標(biāo)；②∠POQ=∠AOH=30°，此時∠POH=60°，即直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標(biāo)，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標(biāo)．③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH，由此求得點A的坐標(biāo)；④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH，由此求得點A的坐標(biāo)；【詳解】解：①當(dāng)∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；由于∠AOH=30°，設(shè)A坐標(biāo)為（a，b），在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°==，設(shè)直線OA的方程為y=kx，把A的坐標(biāo)代入得k==，∴直線OA的解析式：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴A（，）；②當(dāng)∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴P（，3），即可得A（3，）；③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴P（，3），∴OP=2，QP=2，∴OH=OP=2，AH=QP=2，∴A（2，2）；④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；此時直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得，；∴P（，），∴QP=，OP=，∴OH=QP=，AH=OP=，∴A（，）．綜上可知：符合條件的點A有四個，且坐標(biāo)為：（，），（3，），（，2），（，）．故答案為：4．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【點睛】本題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法；由于全等三角形的對應(yīng)頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．13．如圖，直線l：經(jīng)過點M(0，)，一組拋物線的頂點B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)…，An+1(xn+1，0)（n為正整數(shù)），設(shè)x1＝d（0＜d＜1）若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則我們把這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．則當(dāng)d（0＜d＜1）的大小變化時美麗拋物線相應(yīng)的d的值是__．【答案】或【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐標(biāo)，若B1為直角頂點，則A1A2的中點（1，0）到B1的距離與到A1和A2的距離相等，求出d的值；同理：若B2為直角頂點，求出d的值；若B3為直角頂點，求出的d值是負(fù)數(shù)（舍去）；總結(jié)上述結(jié)果即可得出答案．【詳解】解：直線l：，當(dāng)x＝1時，y＝，即：B1（1，），當(dāng)x＝2時，y＝，即：B2（2，），∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），若B1為直角頂點，則A1A2的中點（1，0）到B1的距離與到A1和A2的距離相等，即：1﹣d＝，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher解得：d＝；同理：若B2為直角頂點，則A2A3的中點（2，0）到B2的距離與到A3和A2的距離相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B3為直角頂點，求出的d為負(fù)數(shù)，并且從B3之后的B點，求出的d都為負(fù)數(shù)；所以d的值是或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，直角三角形斜邊上的中線等知識點，解此題的關(guān)鍵是進行分類討．14．如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，設(shè)拋物線的頂點為D．坐標(biāo)軸上有一動點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與相似．則點P的坐標(biāo)______．

【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷，再分在軸和軸兩種情況討論，舍出的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．【詳解】解：過點作軸于點．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher

在中，，，，在中，，，，，，為直角三角形．①利用的三邊，，又，故當(dāng)是原點時，；②當(dāng)是直角邊時，若與是對應(yīng)邊，設(shè)的坐標(biāo)是，則，，即，解得：，則的坐標(biāo)是，三角形不是直角三角形，則不成立；③當(dāng)是直角邊，若與是對應(yīng)邊時，設(shè)的坐標(biāo)是，則，則，即，解得：，故是時，則一定成立；④當(dāng)在軸上時，是直角邊，一定在的左側(cè)，設(shè)的坐標(biāo)是．則，當(dāng)與是對應(yīng)邊時，，即，解得：，此時，兩個三角形不相似；⑤當(dāng)在軸上時，是直角邊，一定在的左側(cè)，設(shè)的坐標(biāo)是．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher則，當(dāng)與是對應(yīng)邊時，，即，解得：，符合條件．總之，符合條件的點的坐標(biāo)為：或或．故答案為：或或．【點睛】此題主要考查了拋物線與軸的交點以及勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．15．如圖，要在夾角為30°的兩條小路與形成的角狀空地上建一個三角形花壇，分別在邊和上取點和點，并扎起籬笆將花壇保護起來（籬笆的厚度忽略不計）．若和兩段籬笆的總長為8米，則當(dāng)______米時，該花壇的面積最大．【答案】4【分析】設(shè)OP=x，則OQ=8-x，過點P作PM⊥OQ,，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得PM=，根據(jù)三角形面積公式可得面積關(guān)于OQ的二次函數(shù)，配方后即可求解．【詳解】解：設(shè)OP=x，則OQ=8-x，過點P作PM⊥OQ,交OQ于點M，如圖，∵∴更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴∵∴函數(shù)圖象開口向下，有最大值，為4，故當(dāng)OP=4時，花壇的面積最大．故答案為：4．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用面積法求出二次函數(shù)關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題16．如圖，二次函數(shù)與軸交于兩點，點在點左邊，與軸交于點，點與點關(guān)于軸對稱，為軸上一動點，（1）直接寫出的面積=______；（2）若以點為頂點的三角形與相似，求點的坐標(biāo)；（3）若點在線段上運動，延長交于點，過作//軸交拋物線于點，點在運動過程中，直接寫出能夠使面積的值為整數(shù)的點的個數(shù)______．【答案】（1）3；（2）(0，1)，(0，-6)；（3）6【分析】（1）先求出A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，即可求解；（2）分兩種情況：①若，②若，分別列出比例式，進而即可求解；（3）設(shè)M(a，3-a)，則N(a，)，根據(jù)待定系數(shù)法得，直線MD的解析式為：y=x+更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher，從而得P(0，)，進而得，進而即可得到答案．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)與軸交于兩點，與軸交于點，∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴的面積=，故答案是：3；（2）∵OC=OB=3，∠COB=90°，∴∠ABC=45°，BC=，∵點與點關(guān)于軸對稱，∴D(-3，0)，同理：∠DCO=45°，CD=，①若，設(shè)P(0，a)，則CP=3-a，∴，即：，解得：a=1，∴P(0，1)，②若，，即：，解得：a=-6，∴P(0，-6)，綜上所述：P的坐標(biāo)為：(0，1)，(0，-6)；（3）∵B(3，0)，C(0，3)，∴直線BC的解析式為：y=-x+3，∴設(shè)M(a，3-a)，則N(a，)，設(shè)直線MD的解析式為：y=kx+b，∴，解得：，∴直線MD的解析式為：y=x+，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴P(0，)，∴=，∵要使面積的值為整數(shù)，∴的值為或或，∵0≤≤3，∴0≤a≤3，∴當(dāng)=時，解得：a=1或2，符合題意；當(dāng)=時，解得：a=或，符合題意；當(dāng)=時，解得：a=或，符合題意；∴能夠使面積的值為整數(shù)的點的個數(shù)有6個，故答案是：6．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵．17．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交于點F，交二次函數(shù)的圖象于點E．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段的長度；（3）已知點N是y軸上的點，若點N、F關(guān)于直線對稱，求點N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進而即可得到答案．【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為：；（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，∴OB=OC，∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，∴EF=-(-m+3)=，CF=，∴或，∴或（舍去）或或（舍去），∴EF==或；（3）∵l∥y軸，點N是y軸上的點，∴∠EFC=∠NCG，∵點N、F關(guān)于直線對稱，∴∠CNE=∠EFC，∴∠CNE=∠NCG，∴NE∥FC，∴四邊形NCFE是平行四邊形，∵點N、F關(guān)于直線對稱，∴∠NCE=∠FCE，∵l∥y軸，∴∠NCE=∠FEC，∴∠FCE=∠FEC，∴FE=FC，∴=，解得：或（舍去），∴CN=EF=，∴ON=+3=，∴N(0，)．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，用點的橫坐標(biāo)表示出相關(guān)線段的長，是解題的關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x＋2與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝與x軸的交點為點A，且經(jīng)過點B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點M為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)|BM﹣CM|的值最小時，求出點M的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點N，過點N作NH⊥x軸于點H，使得以點B、N、H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）M（，0）；（3）存在，點N的坐標(biāo)為（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接得出結(jié)論；（2）先判斷出|BM﹣CM|最小時，BM＝CM，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠ACB＝∠BHN＝90°，分兩種情況，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）針對于y＝﹣x+2，令x＝0，則y＝2，∴C（0，2），令y＝0，則0＝﹣x+2，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴x＝4，∴B（4，0），∵點C在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴c＝2，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+bx+2，∵點B（4，0）在拋物線上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，設(shè)M（，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（，0）；（3）存在，理由：由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，令y＝0，則0＝﹣x2+x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x軸，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，設(shè)N（n，﹣n2+n+2），∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以點B、N、H為頂點的三角形與△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴，∴＝，∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN∽△BCA，∴，∴＝，∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），即滿足條件的點N的坐標(biāo)為（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合與分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．19．拋物線頂點為點，與軸交于點、，與軸交于點，點是拋物線對稱軸上的一個動點．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher（1）求和的值；（2）是否存在點，使得以、、為頂點的三角形中有兩個內(nèi)角的和等于？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1），；（2）P（1，2）或（1，-6）【分析】（1）根據(jù)頂點點，利用待定系數(shù)法得出a、b的值；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分∠DPB=135°，∠DBP=135°，∠BDP=135°三種情況討論即可；【詳解】解：（1）∵拋物線頂點為點，∴，解得：；（2）由（1）得拋物線的解析式為：，當(dāng)y=0時，；∴，∴A（-1，0）和B（3，0），∵，∴∵以、、為頂點的三角形中有兩個內(nèi)角的和等于∴以P，D，B為頂點的三角形必有一個135°的鈍角，①當(dāng)∠DPB=135°時，則∠MPB=45°，∵∠PMB=90°，∴△MPB為等腰直角三角形，∠MBP=45°，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴MP=BM=3-1=2，∴P（1，2）；②當(dāng)∠DBP=135°時，∵∠MBP=45°，∴∠DBP+∠MBP2=90°，∵∠MP2B+∠MBP2=90°，∴∠MP2B=∠DBP∴△PDB∽△BDP2，∴∴∴∴∴∴P2（1，-6）；③當(dāng)∠BDP=135°時，則∠MDB=45°，∵∠DMB=90°，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴△DMB為等腰直角三角形，∴DM=BM，而DM=4，BM=2∴此種情況不存在∴P（1，2）或（1，-6）【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是會利用特殊角45°構(gòu)造特殊形狀的三角形．20．如圖，拋物線經(jīng)過點，，連接，點是第一象限內(nèi)拋物線上一動點．（1）求拋物線的表達式；（2）過點作軸的垂線，交于點，判斷是否存在點，使得以、、為頂點的三角形是直角三角形，若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點與點關(guān)于軸對稱，連接，，，當(dāng)點運動到什么位置時，的面積最大？求面積的最大值及此時點的坐標(biāo)．更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher【答案】（1）；（2）存在，點的坐標(biāo)為或；（3）面積的最大值是8，點的坐標(biāo)是．【分析】（1）運用待定系數(shù)法直接求解即可；（2）分兩種情況討論：①時，列方程求解即可；②，過點作軸，垂足為，證明即可得解；（3）根據(jù)對稱性求出點C的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)點，，求出PN的長，運用面積法得到n的二次函數(shù)關(guān)系式，配方求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點，，∴把點，代入解析式得：解得，所以，二次函數(shù)的解析式為：（2）設(shè)∵△BPQ是直角三角形，，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴分兩種情況討論：①當(dāng)時，則有軸，如圖①∴點P的縱坐標(biāo)為2∴解得：，（舍）或，∴．②當(dāng)時，過點作軸，垂足為，如圖②，則∠PBM+∠BPM=90?，PM=m，BM=∵∠PBQ=90?∴∠PBM+∠OBA=90?更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴∠OBA=∠BPM∴，∴即，解得：（舍）或∴，綜上所述，當(dāng)以為頂點的三角形是直角三角形時，點的坐標(biāo)為或（3）設(shè)的延長線交與點∵，點與點關(guān)于軸對稱，∴設(shè)直線的表達式為：，把A，代入得：解得，∴直線的表達式為：設(shè)點，則，∴更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴∵，有最大值，且，∴當(dāng)時，的面積最大，最大面積是8．此時，．綜上所述，面積的最大值是8，點的坐標(biāo)是．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，利用面積公式得出二次函數(shù)是解（3）的關(guān)鍵．21．定義：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做余等三角形．如圖1，在和中，若，且，則和是余等三角形．（1）如圖2，等腰直角，其中，，點是上任意一點（不與點、重合），則圖中______和______是余等三角形，并求證：．（2）如圖3，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為5，且，①求證：和是余等三角形．②圖4，連結(jié)交于點，連結(jié)，為上一點，連結(jié)并延長交于點，若，，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）和是余等三角形，見解析；（2）①見解析，②【分析】【詳解】（1）∵為等腰直角三角形，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher∴，，，∴和是余等三角形，作交于點，設(shè)，，則，∴，∴，∴；（2）①連結(jié)并延長交于點，連結(jié)、，在中，，根據(jù)已知，可得：，所以，又∵，，∴，∴，由，可得，同理可得，，∴和是余等三角形．②連結(jié)，，作于點，于點，更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher由①得，而，∴，即，∵，∴為等腰直角三角形，易得，∵，∴，∴，，∴在和中，，∴()，設(shè)，，則，，在中，，化簡得，在中，，化簡得，∴，∴可以表示為：∴．【點睛】更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客;微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher本題考查了圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，勾股定理，二次函數(shù)，新定義等知識點，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，綜合運用以上知識點解答．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x＋c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線AC與y軸交于點C，與拋物線交于點D，OA＝OC．（1）求該拋物線與直線AC的解析式；（2）若點E是x軸下方拋物線上一動點，連接AE、CE．求△