2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第六章不等式第3講算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)含解析

PAGE5-第3講算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)1．(2024年甘肅嘉峪關(guān)一中模擬)已知a≠0，直線ax＋(b＋2)y＋4＝0與直線ax＋(b－2)y－3＝0相互垂直，則ab的最大值等于()A．0B．2C．4D.eq\r(2)2．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取得最小值，則a＝()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3D．43．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)4．(2024年湖南)若實(shí)數(shù)a，b滿意eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．45．(2024年北京)設(shè){an}是等差數(shù)列．下列結(jié)論中正確的是()A．若a1＋a2>0，則a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，則a1＋a2<0C．若0<a1<a2，則a2>eq\r(a1a3)D．若a1<0，則(a2－a1)(a2－a3)>06．(2024年湖北荊州月考)已知a>1，b>2，a＋b＝5，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－2)的最小值為()A．4B．8C．9D．67．已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)經(jīng)過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是________．8．(2024年天津)設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝4，則eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值為__________．9．已知兩個(gè)正數(shù)x，y滿意x＋4y＋5＝xy，則xy取最小值時(shí)x，y的值分別為()A．5,5B．10,5C．10，eq\f(5,2)D．10,1010．(2024年四川綿陽診斷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則y＝eq\f(1,sin2θ)＋eq\f(9,cos2θ)的取值范圍為()A．[6，＋∞)B．[10，＋∞)C．[12，＋∞)D．[16，＋∞)11．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x)＋eq\f(1,4x)(0<x<1)的最小值為()A.eq\f(5,2)B.eq\f(7,3)C.eq\f(9,4)D.eq\f(11,5)12．(2024年浙江臺(tái)州中學(xué)等部分學(xué)校期中聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)a>0，b>0，eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1)＝1，則a＋2b的最小值是()A．3eq\r(2)B．2eq\r(2)C．3D．213．(多選)下列函數(shù)中，最小值是2eq\r(2)的有()A．y＝x＋eq\f(2,x)B．y＝eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))C．y＝x2＋eq\f(2,x2＋4)＋4D．y＝ex＋2e－x14．(多選)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿意a＋b＝1，則()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4B.eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(1,2)

第3講算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)1．B解析：由題意知a2＋(b－2)(b＋2)＝0，即a2＋b2＝4.∴ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\r(2)或－eq\r(2)時(shí)取等號(hào))．故選B.2．C解析：∵x＞2，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)．3．D解析：a2＝1，a1a3＝aeq\o\al(2,2)＝1，明顯a1，a3同號(hào)，當(dāng)a1，a3同為正時(shí)，S3＝a1＋a2＋a3≥2eq\r(a1a3)＋1＝3；當(dāng)a1，a3同為負(fù)時(shí)，S3＝a1＋a2＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]＋a2≤－2eq\r(－a1·－a3)＋1＝－1.4．C解析：∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，∴a＞0，b＞0.∵eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，∴ab≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號(hào))．∴ab的最小值為2eq\r(2).故選C.5．C解析：先分析四個(gè)答案，A舉一反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A錯(cuò)誤；B舉同樣反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B錯(cuò)誤；下面針對(duì)C進(jìn)行探討，{an}是等差數(shù)列，若0<a1<a2，則a1>0，設(shè)公差為d，則d>0.數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于aeq\o\al(2,2)－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝aeq\o\al(2,1)＋2a1d＋d2－aeq\o\al(2,1)－2a1d＝d2>0，則aeq\o\al(2,2)>a1a3?a2>eq\r(a1a3).故選C.亦可a2＝eq\f(a1＋a3,2)>eq\r(a1a3)(∵a1≠a3)．D項(xiàng)中，a2－a1＝d，a2－a3＝－d，∴(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0.D錯(cuò)誤．6．B解析：由題意知a－1>0，b－2>0，又a＋b＝5，∴(a－1)＋(b－2)＝2，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－2)＝eq\f(1,2)[(a－1)＋(b－2)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＋\f(9,b－2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(b－2,a－1)＋\f(9a－1,b－2)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(b－2,a－1)·\f(9a－1,b－2))))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－2＝3a－1，,a＋b＝5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(7,2)))時(shí)取等號(hào)，故選B.7．9解析：依題意得，圓心坐標(biāo)是(0,1)，于是有b＋c＝1，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b)＋\f(1,c)))(b＋c)＝5＋eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)≥5＋2eq\r(\f(4c,b)×\f(b,c))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝1b，c>0，,\f(4c,b)＝\f(b,c)，))即b＝2c＝eq\f(2,3)時(shí)取等號(hào)，因此eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是9.8.eq\f(9,2)解析：∵x＋2y＝4，x>0，y>0，∴x＋2y＝4≥2eq\r(x·2y)，即eq\r(2xy)≤，0<xy≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝2，y＝1時(shí)取等號(hào)．又∵eq\f(x＋12y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝2＋eq\f(5,xy)≥2＋5×eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，∴eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值為eq\f(9,2).9．C解析：xy＝x＋4y＋5≥4eq\r(xy)＋5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y時(shí)，取等號(hào)．令eq\r(xy)＝t，則上式為t2－4t－5≥0(t>0)，整理得(t－2)2≥9，解得t≥5(t≤－1舍去)，當(dāng)t＝5時(shí)，取等號(hào)，即t＝5為最小值，xy最小值為t2＝25.當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4y，,x＋4y＋5＝25))時(shí)，xy取最小值，即x＝10，y＝eq\f(5,2).故選C.10．D解析：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sin2θ，cos2θ∈(0,1)，∴y＝eq\f(1,sin2θ)＋eq\f(9,cos2θ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin2θ)＋\f(9,cos2θ)))(sin2θ＋cos2θ)＝10＋eq\f(cos2θ,sin2θ)＋eq\f(9sin2θ,cos2θ)≥10＋2eq\r(\f(cos2θ,sin2θ)·\f(9sin2θ,cos2θ))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(cos2θ,sin2θ)＝eq\f(9sin2θ,cos2θ)，即θ＝eq\f(π,6)時(shí)等號(hào)成立．故選D.11．C解析：∵0<x<1，∴1－x>0.∴f(x)＝[(1－x)＋x]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－x)＋\f(1,4x)))＝eq\f(5,4)＋eq\f(x,1－x)＋eq\f(1－x,4x)≥eq\f(5,4)＋2eq\r(\f(x,1－x)·\f(1－x,4x))＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－x，即x＝eq\f(1,3)時(shí)取等號(hào)．∴f(x)的最小值為eq\f(9,4)，故選C.12．B解析：方法一，∵a>0，b>0，eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1)＝1，∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋1)))－3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(2b＋1,a＋1)＋\f(a＋1,b＋1)))－3＝eq\f(2b＋1,a＋1)＋eq\f(a＋1,b＋1)≥2eq\r(\f(2b＋1,a＋1)·\f(a＋1,b＋1))＝2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b＋1