2022年人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊全冊各章節(jié)課時分層練習(xí)題及章末檢測含答案解析

人教B版選擇性必修第一冊練習(xí)題

第章空間向量與立體幾何.............................................................2

1.空間向量的概念、空間向量的加法及線性運(yùn)算..................................2

2.空間向量的數(shù)量積..........................................................7

3空間向量基本定理...........................................................12

4空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系............................................18

5空間中的點(diǎn)、直線與空間向量................................................22

6空間中的平面與空間向量....................................................30

7直線與平面的夾角...........................................................37

8二面角.....................................................................47

9空間中的距離...............................................................57

10空間向量在立體幾何中的應(yīng)用...............................................66

綜合檢測.....................................................................74

第二章平面解析幾何...................................................................91

1.坐標(biāo)法...................................................................91

2直線的傾斜角與斜率........................................................97

3.直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程............................................101

4直線的兩點(diǎn)式和一般式方程.................................................104

5兩條直線的位置關(guān)系.......................................................108

6點(diǎn)到直線的距離...........................................................113

7圓的標(biāo)準(zhǔn)方程..............................................................119

8圓的一般方程..............................................................124

9直線與圓的位置關(guān)系.......................................................129

10圓與圓的位置關(guān)系........................................................136

11曲線與方程..............................................................141

12橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程..........................................................146

13橢圓的幾何性質(zhì)（一）....................................................151

14橢圓的幾何性質(zhì)（二）....................................................157

15雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程........................................................163

16雙曲線的幾何性質(zhì)........................................................169

17拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程........................................................176

18拋物線的幾何性質(zhì)........................................................181

19直線與圓錐曲線的位置關(guān)系................................................187

綜合檢測....................................................................195

第一章空間向量與立體幾何

1.空間向量的概念、空間向量的加法及線性運(yùn)算

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.下列說法正確的是（）

A.若|a|V|b|,則aVb

B.若a,b為相反向量，則a+b=O

C.空間內(nèi)兩平行向量相等

D.四邊形力時中，AB-AD=DB

解析：選D向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，A錯；相反向量的和為0,不是0,

B錯；相等向量滿足模相等，方向相同兩個條件，平行向量不一定具備，C錯；D正確.

2.設(shè)有四邊形4%為，。為空間任意一點(diǎn)，且而+京=方+石，則四邊形力閱9是（）

A.平行四邊形B.空間四邊形

C.等腰梯形D.矩形

解析：選A???而+歷=礪+/，：.~AB=~DC.

???下〃左且|下|=|左|.

???四邊形/驅(qū)為平行四邊形.

3.空間四邊形/時中，li=a,~BC=b,~AD=cf則7/等于（）

A.a+b-cB.c-a-b

C.a-b—cD.b-a+c

解析：選R如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得m=RD—/?<?=（AD—AR）—/?/?=—?—

b+c.故選B.

4.如圖，E,少分別是長方體力99Cf的棱力反切的中點(diǎn).化簡下列結(jié)果正確的是

）

AEB

A.獷一屈=萬

B.獷+而+>d

C.獷一下十八D；=0

D."AB-\-~CF=~AF

解析：選ABC;獷一屈=獷+下=獷+^^

=萬7*,故A正確；

R+為+*c；=AF+Z7+B'd=應(yīng)二，故B正確；

~AB-~AD+B,D'=下一下+礪=礪+礪=0,故C正確；~AB+~CF=~AB+~BE=

AE,故D錯誤.

5.（多選）（2021?山東淄博五中高二月考）如圖，在正方體力比中，下列各式中運(yùn)算的

結(jié)果為向量礪的是（）

A.（44'-肅）一方

B.（左+扇）-布

C.（下一下）+礪

D.（直一刀）一刀

解析：選ABC對于選項(xiàng)A,（4〃'一疝?）一而=拓"一下=/；對于選項(xiàng)B,（7+礪）

一詬=萬+匕五=礪；對于選項(xiàng)C,（下一下）+血=礪+血=礪；對于選項(xiàng)D,0

一71）一血=（就一麻）一血=血+9=礪，故選A、B、C.

6.如圖所示，在三棱柱ABC-A'B'C中，〃'與/C是向量，AB與B'A'是

向量.（用相等、相反填空）

解析：由相等向量與相反向量的定義知：7萬與戶工是相等向量，下與質(zhì)才是相反向量.

答案：相等相反

7.化簡5修a—1b+,c)—3(a—2b+c)=.

解析：原式=學(xué)a—|b+學(xué)c—3a+6b—3c=^-3)a+(—￡+6)b+管-3)c=|a+：

b4c-

生自1,7.1

答案：-a+-b+§c

8.如圖所示，在四面體。力比'中，"0A=^"OC=c,〃為比的中點(diǎn)，￡為49的中

點(diǎn)，則0E=（用a,b,c表示）.

解析：0E=0A+AE,OA=a,

~^=2~^=4(方+左)

=7[(b-a)+(c-a)]

4

=1(b+c)—1a,

---?111

OE=-a+7b+7c.

244

曜田1,1,1

答案：-a+-b+-c

9.如圖，己知空間四邊形力"9,連接〃；BD,E,F,6分別是a；CD,龍的中點(diǎn)，請化簡以

下式子，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.

⑴U+下一左；

(￡)~AB~~DG-~CE.

解：⑴用+勿一〃C=仍+%+勿=47+5={〃，如圖中向量AD.

⑵下一下一定=拓+75+萬=萬+方+萬=而+/=下，如圖中向量

-----?1-----?1-----?

(1)化簡：AiO—~AB--AD：

⑵設(shè)￡是棱?！ㄉ系狞c(diǎn)，且無=,赤，若君=*下+/^+%啟，試求實(shí)數(shù)x,y,

的值.

解：⑴:AB+AD=AC,

-?1-----A1-----?-----?1-----A-----A-----A1-----?-----A-----?-----?

AAyO--AB--AD=AyO--(AB+AD)=AC=AxO-AO=A,A.

乙乙乙乙

(2)9：~E0=~ED+'D0~DB=^~DJ)+\{DA-\~~AB)

J/J/

2—?1—?1—?1—?1—?2—

=鼻A\A+5DA+5AB=5AB—5AD--AAi,

j/乙//j

112

.??x=5，y—~2*z=一§-

[B級綜合運(yùn)用]

11.若空間中任意四點(diǎn)0,兒B,P滿足萬=加加+〃石，其中加+〃=1,則（）

A.PGAB

B.甩AB

C.點(diǎn)尸可能在直線48上

D.以上都不對

解析：選A因?yàn)橄鄜〃=1,所以勿=1一〃，

所以O(shè)P=(1一40A+n0B,

即/一/=〃（歷一加,

即AP=nAB,所以“與AB共線.

又AP,力8有公共起點(diǎn)4

所以只兒片二點(diǎn)在同一直徑上,

即飛那.

12.已知空間四邊形ABCD下=b,l?=c,下=d,若萬=2百，且同=疝+六

+zd(x,y,z￡R),貝ijy=.

解析：

如圖所示，

=~CD

=丸一方+；CAD-~AC}

J

=一下+,~AC+\~AD

JJ

=-b+|c+1d.

■?2

=

:3M=Ab+/c+zd,7oQ-

2

答案：T

?1

2.空間向量的數(shù)量積

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.已知兩向量分別為a,b,且|a|=|b|=l,a?b=—1,則兩向量的夾角為()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：選C設(shè)向量a,b的夾角為。，則cos—%=—1，所以。=120°.

2.已知a=3p—2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量，則a?b=()

A.1B.2

C.3D.4

解析:選A且|p|=|q|=1,

.*.a?b=(3p—2q)?(p+q)=3p~'+p?q—2q'=3+0—2=1.

3.(多選)若a,b,c是空間任意三個向量，AeR,下列關(guān)系中，不恒成立的是()

A.|a+b|=|b—a|B.(a+b)?c=a?(b+c)

C.4(a+b)=4a+4bD.b=4a

解析：選ABD由向量加法的平行四邊形法則，只有a_Lb,即a?b=0時，才有|a+b|=|b

—a|,A不恒成立；由數(shù)量積的運(yùn)算律有(a+b)?c=a?c+b?c,a?(b+c)=a?b+a?c,a?b

與b?c不一定相等，B不恒成立；向量數(shù)乘法則，C一定恒成立；只有a,b共線且aWO時，才存

在入，使得b=4a,D不恒成立.故選A、B、D.

4.(多選)如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為a,對角線力G和必相交于點(diǎn)0,則有()

A.?標(biāo)=，

B.萬?萬=y[2a

-----------12

C.AB?AO=-a

乙

D.BC-DAx=a

解析：選AC連接4〃(圖略)，貝IJ瓦?就=族?益=|不力||茄|cos〈凝，益〉=

2aX啦aXcos600=/A正確下.~AQ=~AB?(下+左+擊)=下？+/.展+

~AB?擊=才,故B錯誤.~AB?~AO=~AB=|花?(而+/+就)=；(J^2+

乙乙乙

■■■.1.1I??1，?,I??I?I?■??

AB-AD+AB?AAs)=-AB'=~\AB|2=-a2.C正確.BC-DA,=BC-{AAx-AD)=

乙乙乙

~BC?~AAx~~BC?拓=-'.D錯誤.

5.在四面體"8。中，OB=OC,/AOB=/AOC=《,貝ijcos〈詬，"BC>=()

J

1&

A.-B.

乙乙

C.D.0

乙

解析：選D~0A?~BC=~OA?COC~~OB)=~OA?~0C-~0A*~OB=\~OAH^lcos

(詬，~0C)~\~0A\\~OB\?cos〈詬，方〉，因?yàn)椤捶?，~0C>=COA,~0B)=?，

\~OB\=\~OC\,所以忘?~BC=0,所以萬7_L/?,所以COSCOA,"BC)=0.

6.如圖，兩個棱長為1的正方體排成一個四棱柱，49是一條側(cè)棱，A(7=l,2,…，10)是正

方體其余的10個頂點(diǎn)，則下?就(>=1,2,…，10)的不同值的個數(shù)為個.

-----------Vp

PlP2

解析：當(dāng)f=1,2,3,4,5時，AB±APi,故力8?便=0,

當(dāng)/=6,7,8,9,10時，存=下+施，

：.~AB?7=拓?(而+施)=拓2+下,威,

■:下］話,???法?施=0，???/?就=1，

???下?存(i=l,2,…，10)的不同值的個數(shù)為2個.

答案：2

7.已知a,b是空間兩個向量,若|a|=2,|b|=2,|a—b|=巾,則cos(a,b)=

解析：將|a-b|=Y?兩邊平方，得(a—b)2=7.

因?yàn)閨a|=2,|b|=2,所以a?b=；.

又a?b=|a||b|cos(a,b),故cos(a,b).

o

1

答案：g

8.如圖，在長方體48aM出設(shè)49=力4=1,AB=2,P是的中點(diǎn)，則就與7?所

解析：法一：如圖，連接4。,

則就是就與不？所成角.連接做在〃中，易得必產(chǎn)％=昨嫡，即△/M

為等邊三角形，從而N/^9=60°,即茲與所成角的大小為60°.因此/?/=/X/

Xcos600=1.

法二：根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得或?舒=(71+/)?(/砌=~AD2=\.

由題意可得必=笈仁乖，則小X平Xcos〈/，1?〉=1,從而〈說，=60°.

答案：60°1

9.如圖，在空間四邊形如比?中，2"=〃C,點(diǎn)￡為力〃的中點(diǎn)，設(shè)力=a,仍=b,0C=

(1)試用向量a,b,c表示向量應(yīng)'；

(2)若。1=比-3,0B=2,/AOC=/B0C=/A0B=6T，求OE?力。的值.

解：⑴???2礪=左，

/.BD=；BC=:(0C—OB)=；(c—b),

oJ

故切=必+BD=b+^(c—b)=1b+Jc,

<5JJ

???點(diǎn)E為/〃的中點(diǎn),

—?1—>—>111

故0E=-(0A+0D}=-a+-b+-c.

乙ZoO

9

(2)由題意得a?c=~,a?b=3,c?b=3,

12.12.1.1.1.

=--aca?b?c——b?a

2bJ33

1…1J9.1clc3

=—~X9+-X9+可X-4--X3—-X3=--.

/OJ/JJ/

10.如圖，正三棱柱48G44G中，底面邊長為也.

（1）設(shè)側(cè)棱長為1,求證：A反1

⑵設(shè)力區(qū)與9的夾角為《，求側(cè)棱的長.

O

解：（1）證明：冠=劉+法，瓦［=密+瓦.

..?即J_平面力80,，威?li=0,函?-5?=0.

又為正三角形，

---?---?---?---?JT

A<AB,BO=n-（BA,BC>=貢--=

J

???欣?記=（益+礪）?（麻+1?）

=下?詼+下?+麗葉威?無=|/I|l?|cos(方,~BC)+而

=-1+1=0,:.ABdBQ.

⑵由⑴知冠?應(yīng)T=|而II而Icos(7B,~BC)+威=礪2T

又|初|='方2+病=+病=|肅，

—*—*BBi2-11

/?cos(AB}9BC\〉===5,

2+病

???IB氏|=2,即側(cè)棱長為2.

[B級綜合運(yùn)用]

11.設(shè)兒B,C,〃是空間不共面為四點(diǎn)，且滿足下?左=0,~AC?1?=0,下?下=

0,則△8口是()

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形

解析：選B*：~BD=~AD-~AB,~BC=~AC-~AB>

:.~BD?~BC=CAD-^B}?CAC-~AB)

=下.左一/./一/?左+|下|2=|下|2>o,

—-*-*BC*BD

/.cosZ.CBD=CQS(BC,BD)=_>0,

\~BC\\~BD\

，N物為銳角，同理，/BCD與/BDC均為銳角,

???△及刀為銳角三角形.

12.(多選)設(shè)a,b,c是任意的非零空間向量，且兩兩不共線，則下列結(jié)論中正確的有()

A.(a?b)c—(c?a)b=0

B.|a|—|b|<|a—b|

C.(b?a)c—(c?a)b不與c垂直

D.(3a+2b)?(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

解析：選BD根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)，可知a-b和c-a是實(shí)數(shù)，而c與b不共

線，故(a?b)c與(c?a)b一定不相等，故A錯誤；因?yàn)閇(b?a)c—(c^a)b]?c=(b^a)c2一

(c?a)(b,c),當(dāng)a_Lb,a±cb±cflt?[(b?a)c—(c?a)b]?c=0>即(b?a)c-(c?a)b

與c垂直，故C錯誤；由向量兩兩不共線，可得B正確；由運(yùn)算律可得D正確，故選B、D.

3空間向量基本定理

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.下列命題中正確的是()

A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線

B.向量a,b,c共面，即它們所在的直線共面

C.若兩個非零空間向量下與方滿足/+方=0,則下〃方

D.若@〃卜則存在唯一的實(shí)數(shù)4,使a=4b

解析：選CA中，若b=0,則a與c不一定共線；B中，共面向量的定義是平行于同一平面

的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；C中，???下+屈=0,???方=一說，

工下與方共線，故下〃方正確；D中，若b=0,aKO,則不存在上，使a=Xb.

2.滿足下列條件，能說明空間不重合的4B,C三點(diǎn)共線的是()

A.~AB+~BC=~ACB.~AB-~BC=~AC

C."AB=~BCD.\~AB\=\~BC\

解析：選C對于空間中的任意向量，都有下+下=左，選項(xiàng)A錯誤；若萬一應(yīng)工，

則丸+下=7萬，而無+7濟(jì)=而，據(jù)此可知無=7流，即8c兩點(diǎn)重合，選項(xiàng)B錯誤；~AB

="BC,則力，B,C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C正確；|下|=|下|,則線段4?的長度與線段比的長度

相等，不一定有4B,C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D錯誤.

3.正方體力比94B1CD'中,",Q分別是力C,AB',AD'的中點(diǎn)，以｛石，就，

而｝為基底，下'=x而+y冠+z/,則筋八z的值是()

A.x=y=z=\B.x=y=z=-

乙

應(yīng)

C.x=y=z=2D.x=y=z=2

解析：選A~ACr=~AAf+而+而

—?—?1—?—?1—?—?

=-(AB+AD)+-(AA'+JP)+-(AA'+AB)

乙乙乙

1'.1.1.

=-AC+-AD+5AB'

乙乙乙

=而+而+而，

由空間向量的基本定理，得>=y=z=L

4.在棱長為1的正四面體力用?〃中，夕是松的中點(diǎn)，貝U下?方=()

1

O民-

A.2

I]_

D.

c.24

A?1????1?Q??

解析：選DAE-CD=-(ABAC)?(AD-AC)=-(AB-AD+AC*AD-

乙乙

--A>>>、1(111、1

AB?AC-ACAC)=-3+2-5-11=-J.

5.(多選)下列命題中是假命題的為()

A.若向量p=Aa+_rb,則p與a,b共面

B.若p與a,b共面，則p=^a+比

C.若定=x7萬+y礪，則P,MAt8四點(diǎn)共面

D.若RM4，8四點(diǎn)共面，則赤=xZ訂+9方

解析：選BD由平面向量基本定理得p與a,b共面，A是真命題；若a,b共線，p不一定能

用a,b表示出來，B是假命題；若MP=xMA+yMB,則物，MA,場三個向量在同一個平面

內(nèi)，P,M,43四點(diǎn)共面，C是真命題；若M,44共線，點(diǎn)戶不在此直線上，則下=x而+y/

不成立，D是假命題：故選B、D.

6.若｛a,b,c｝是空間的一個基底，且存在實(shí)數(shù)必y,z,使得出+_pb+zc=O,則x,y,z

滿足的條件是.

解析：若杼0,則a=—*b—?c,即a與b,c共面.由(a,b,c)是空間的一個基底知a,

XX

b,c不共面，故x=0,同理尸z=0,

答案：x=y=z=0

7.已知空間的一組基底｛a,b,c｝,m=a—b+c,n=Aa+jt)+2c,若m與n共線，則x=,

y=_______-

解析：因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)4，使m=4n,即a—b+c=4也+4jb+24c,

1=Ax,,

于是有，_]=幾八解得一\

7=-2.

[1=24,

答案：2-2

8.如圖在平行六面體力比248，〃中，材為然和劭的交點(diǎn)，若下=a,J?=b,1T=c,

則6掰=.（用a,b,c表示）

，?■---1-----A，------?-----A1，?1-----A-----?

解析：B\M=AM—ABi=-(AB4-AD)—(AB+AAt)=--AB+%AD—AA\=--a+-

b—c.

答案：*a+|b—c

9.在平行六面體46綏力以GO中，設(shè)為=a,J^=b,A4?=c,E,尸分別是力〃，勿的中

點(diǎn).

(1)用向量a,b,c表示5N,~EF；

(2)若〃Q=咫+1yb+zc,求實(shí)數(shù)＞,y,z的值.

解：(1)如圖，益=益+次=一就+下一下=a-b-c,

EF=EA+AF=；DiA+)AC=-J(AA\+力D)+)(AB+Ab)=；(a—c).

乙乙乙乙乙

---A1---?---?

〃尸〃〃

(2)=乙5(+DxB)

1I?.

=5(-AAx+仄B)

乙

11

=2a~2bi

?"=T,y=—1，z=-l.

10.已知4屬黑三點(diǎn)不共線，對于平面M外的任意一點(diǎn)0,判斷在下列各條件下的點(diǎn)尸與

點(diǎn)力，8,〃是否共面.

⑴方+而=3萬一下；

（2）OP=AOA-OB-OM.

解：法一：（1）原式可變形為定=前十（/一不）十（詬一幣）=而十國十商.

由共面向量定理的推論知，點(diǎn)〃與點(diǎn)小昆W共面.

⑵原式可變形為方=2方+（57一屈）+（55*—0?）=2方+/+礪\

由共面向量定理的推論，可知點(diǎn)P位于平面力用/內(nèi)的充要條件是下=+面.

而定=2而+/+而，???點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)4,6,〃不共面.

法二：⑴原式可變形為仍=3"一如一〃八

V3+（-l）4-（-l）=l,

.??點(diǎn)8與點(diǎn)A4材共面，

即點(diǎn)尸與點(diǎn)4反科共面.

（2）由"=4如一姐一〃V,得

4+（—1）+（—D=2W1,

工點(diǎn)、P與點(diǎn)4,氏材不共面.

[B級綜合運(yùn)用]

11.（多選）已知空間四邊形的8。,其對角線為如，M"分別是對邊。1,鴕的中點(diǎn)，點(diǎn)G

在線段就V上，且該=2下，現(xiàn)用基底｛下，~0B,石｝表示向量/，有方=x77+y下+

z&,則（）

11

A.x=~B.y=~

o6

C.z=JD.x+y+z=l

o

解析：選ABC如圖所示，

??",為旗的中點(diǎn)，則下=下+而=而+：下=下+：（下一前）=:下+J

記,

，?1，>，>，?，>1，?1?1.

為期的中點(diǎn)，則〃0A,AMN=ON-0M=-如+5OC--OA,

乙乙乙乙

—?—?—?2—*

VMG=2GN,則.，盼=鼻MN,

O

’■■■>.2'?1?2

，0G=0M+MG=0M+鼻MN=-0A+-

O/O^4^4可=3^4方

+-0C,

故選A、B、C.

12.在空間四邊形力四中，下=a-2c,方=5a-5b+8c,對角線力C,即的中點(diǎn)分別是￡

F,則無=.向量/，N,~EF(填“能”或“否”)構(gòu)成一組基底.

-----?1----??1-------??1----??1?1?1?1

解析：EF=-(ED+EB)=-(/!〃+CD)+7(AB+CB)=7AB+7BD+7CD+7

2444444

ABCD+；DB=5(AB+CD?=3a—b+3c.

氣量乙乙

假設(shè)而，~CDt左共面，則定=八/+〃&=4a-24c+5“a-5〃b+8〃c=(/l+

5

5/)a—5〃b+(8〃-24)c=3a—5t+3c.

4+5〃=3,

解得＜

8〃一24=3,

:?EF,AB,切共面，，不能構(gòu)成一組基底.

5

答案：3a--b+3c否

13.若a=ei4-e2,b=e2+e3,c=ei+e3,d=ei4-2e24-3e3,若eHe2,es不共面，當(dāng)d=aa

+￡b+yc時，。+6+/=.

解析：由已知d=(a+r)ei+(以+^)e2+(r+^)e3.

'a+r=l,

所以，a+￡=2,故有a+￡+y=3.

./+￡=3,

答案:3

14.如圖，四棱錐尸的底面為一矩形，凡讓平面創(chuàng)設(shè)方=a,~OC=b,~0P=ct

E,尸分別是小和力的中點(diǎn)，試用a,b,c表示赤，~BE.下，~EF.

E

//給c

AB

---A1---?

7=5(BO—*+0P)=-(cba)=-a-b+-c.

解：如圖，連接則皮=5BP乙乙乙乙乙

AB

■?1???1??1—*—?11

弓

BE=BC+CE=-a+sCP=-<1+~乙(CO+OP)=—a-乙-b乙+c.

■■■■■1―—*—?111

AE=AP+PE=AO+0P+-(P0+0C)=—a+c+~(―c+b)=—a+~b+~c.

乙乙乙乙

---?1---**1---?1

EF=-CB=-OA=-a.

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[C級拓展探究]

15.如圖所示，三棱柱區(qū)G中,M,川分別是48,4G上的點(diǎn)，且笈仁24MGT-2氏M

設(shè)AB=a,AC=b,AAi=c.

B

(1)試用a,b,c表示向量而;

(2)若/加C=90",/班4=NC44=60°,AB=AC=AAi=l.,求」邠的長.

解：⑴MN=MA,+4笈+和V=wBAx+AB+-臺G—?=1(c—a)+a+1(b—a)=1a

JJ

+3b+3c-

(2)V(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2a?c=1+1+1+0+2X1X1X|+

2XlXlx1=5,

乙

；.|a+b+c|=m,|MN|=7|a+b+c|=^^,

即就￥=坐.

J

4空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

［A級基礎(chǔ)鞏固］

1.已知a=(l,—2,1),a—b=(—1?2,—1),則b=()

A.(2,—4,2)B.(—2,4,-2)

C.(—2,0>—2)D.(2,1,-3)

解析：選Ab=a—(a—b)=(1>—2,1)-(—1,2,—1)=(2?—4?2).

2.已知a=(0,—1,1),b=(4,1,0),"a+b|=^5§,且>0,則八=()

A.2B.3

C.4D.5

解析：選B由題意，得4a+b=(4,1一3兒).因?yàn)閨,所以42+(1—4)：

+犬=29,整理得〃一4一6=0.又人〉0,所以2=3.

O

3.若向量a=(l,4，2),b=(2,—1,2),且a與b的夾角的余弦值得，則［=()

A.2B.-2

22

C.-2或去D.2或一左

0000

解析：選c由cos<a,b)=T~j77T==1'

1印1勿勺/5二+入："?y/99

2

解得4=-2或A=—.

4.已知點(diǎn)加1,a,-5),B(2a,-7,-2),則I下|的最小值為()

A.3鎘B.3觀

C.2小D.2乖

解析：選B\lB\=yj(2^-1)2+(-7-a)2+(-2+5)2

=：5才+104+59

=、5(a+1)2+54,

當(dāng)a=-l時，|下|i=加=3*.

5.(多選)對于任意非零向量a=(x”yi,zj,匕=(及，鹿，火)，以下說法錯誤的有()

A.若a_Lb,則汨生+乂度+23=0

B.若@〃卜則上=—=—

照理Z2

M照+，%+?Z2

C.cos(a,b)='i,t?

7北+/+z；?7克+/+&

D.若x1=y=Zi=L則a為單位向量

解析：選BD對于A選項(xiàng)，因?yàn)閍_Lb,則a?b=XiM+yi座+?為=0,A選項(xiàng)正確；對于B選

項(xiàng)，若加=0,且%#0,z2H0,若a〃b,但分式上無意義，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，由空間向

X2

量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知cos<a,b?=I2汨,C選項(xiàng)正確；對于D

由1+%+W?小2+%+Z

選項(xiàng)，若X1=3=?=1,則|a|=木,此時，a不是單位向量，D選項(xiàng)錯誤.

6.已知加3,5,-7),M-2,4,3),則線段力6在y0z平面上的射影長為.

解析：點(diǎn)加3,5,-7),8(—2,4,3)在yOz平面上的射影分別為T(0,5,-7),B,(0,

4,3),???線段力8在yOz平面上的射影長B'|(0-0)2+(4-5)2+(3+7)2=/1.

答案：y[w\

7.已知朗(2,5,一3),」￡(3,-2,-5),設(shè)在線段機(jī)悵上的一點(diǎn)"滿足而『=4嬴，則向

量下的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)"(x,y,z),則方f=(l,-7,-2),

加戈=(3—x,—2—y,—5—z).

(11

1=4(3—外，

又???MM=4順，AS-7=4(-2-y),：.<y=--,

.-2=4(―5—z