第06講 一元二次方程的概念及其解法（一）（解析版）-八年級數學

⑤． 分別解得：；；；；．

模塊二：一元二次方程的一般式1、一元二次方程一般式的概念任何一個關于的一元二次方程都可以化成的形式，這種形式簡稱為一元二次方程的一般式．其中叫做二次項，是二次項系數；叫做一次項，是一次項系數；叫做常數項．將下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項及各項系數． （1）（、是常數，且）； （2）； （3）．【答案】略．【解析】（1）方程一般形式為；方程二次項為，二次項系數為 ；一次項為0，一次項系數為0；常數項為；（2）方程一般形式為；方程二次項為，二次項系數為 ；一次項為，一次項系數為；常數項為；（3）利用平方差公式，方程左邊為，由此方程即為，方程展開 化為一般形式即為；方程二次項為，二次項系數為2；一次項為， 一次項系數為；常數項為6．【總結】考查一元二次方程一般式的概念，一定要使二次項系數為正數，同時討論相關項和系數時要注意帶上前面的符號，沒有的項即該項為0，系數也為0．已知關于方程的各項系數與常數項之和為2，求的值．【答案】．【解析】整理方程得，化為一般形式即為，方 程的各項分別為，，，其中未知項系數分別為1，，依題意即有 ，解得：．【總結】考查一元二次方程的一般形式中相關項的概念，注意先將方程整理成一般形式，使二次項系數為正數，然后進行相關說明和計算．模塊三：一元二次方程的解能夠使一元二次方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解．只含有一個未知數的方程，它的解又叫做方程的根．判斷方程后面括號里的數是否為方程的根．（1）； （2）．【答案】（1），是原方程的根；（2）是原方程的根，不是原方程的根．【解析】（1）將代入原方程，左邊，右邊，左 邊右邊，所以是原方程的根；將代入原方程，左邊， 右邊，左邊右邊，所以是原方程的根；（2）將代入原方程，左邊，右邊，左邊右邊，所以是原 方程的根；將代入原方程，左邊，右邊，左邊右邊， 所以不是原方程的根．【總結】考查方程的解的定義，即使方程左右兩邊相等的未知數的值，注意相關格式規(guī)范．已知關于的一元二次方程有一個根為0，求的值．【答案】13．【解析】將代入原方程，即得，解得，同時方程為一元二次方程，故 ，由此可得：，原式=．【總結】考查方程的根的定義，即使方程左右兩邊相等的未知數的值，代入可使得等式成立，過程中注意隱含條件二次項系數不能為0．關于的一元二次方程中計算得兩根分別為，則的值是多少？【答案】5．【解析】方程兩根分別為0，2，依題意有，整理即 得：，故，．【總結】考查方程的根的應用，注意整體思想的應用．已知兩個一元二次方程有一個公共根為1，求證：也有一個根為1．【答案】略【解析】證明：方程有一個公共根為1， 即有，， 相加即得， 兩邊除2，即得， 由此即可證得方程也有一個根為1．【總結】考查方程的根的綜合應用，即對所求相關進行分析的基礎上，準確利用代值找出字母相關關系，即可進行求值證明．模塊四：直接開平方法1、直接開平方法如果一元二次方程的一邊是含有未知數的代數式的平方，另一邊是一個非負的常數，那么就可以用直接開平方法求解，這種方法適合形如的形式求解．解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得： 即方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如方程兩根即為．解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：， 即方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如方程兩根即為．解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：， 得或，即方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如的方程，將當作一個整體，可得或．解關于的方程：．【答案】，．【解析】直接開平方法解方程，即得，得或， 即得方程兩根為，．【總結】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數的式子當作一個整體，可得或．解關于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得， 得：或，解得方程兩根分為，．【總結】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數的式子當作一個整體，可得．一、單選題（2022秋·上海靜安·八年級上海市市西中學?？计谥校┫铝蟹匠淌顷P于x的一元二次方程的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據一元二次方程的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、不是整式方程，所以不是關于x的一元二次方程，故本選項不符合題意；B、是關于x的一元二次方程，故本選項符合題意；C、整理得是一元一次方程，故本選項不符合題意；D、當時，是一元一次方程，故本選項不符合題意；故選：B【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的整式方程是一元二次方程是解題的關鍵．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學附屬大境初級中學?？计谥校┫铝嘘P于x的方程中，一定是一元二次方程的有（

）個．①；②；③；④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據一元二次方程的定義逐項分析判斷即可，一元二次方程定義，只含有一個未知數，并且未知數項的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程．【詳解】解：①，是分式方程，不是一元二次方程；②，是一次方程，不是一元二次方程；③，整理后不含項，不是一元二次方程；④，當時，不是一元二次方程，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校╆P于的方程為一元二次方程，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次方程的定義得到，由此可以求得k的值．【詳解】解：關于的方程為一元二次方程，，解得．故選：．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，解題的關鍵是注意一般形式中的條件．（2022秋·上海寶山·八年級?？计谥校┫铝蟹匠讨校瑢儆谝辉畏匠痰氖牵?/p>

）A．； B．；C．； D．．【答案】A【分析】利用一元二次方程的定義：的形式，含有一個未知數，且未知數的最高次數為2次的整式方程即為一元二方程．【詳解】解：A、，是一元二次方程，符合題意；B、方程整理得：，是一元一次方程，不符合題意；C、，含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；D、不是整式方程，不符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義．（2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用一元二次方程的定義，即可找出結論．【詳解】解：A．方程是一元二次方程，選項A符合題意；B．方程是分式方程，選項B不符合題意；C．原方程整理得，該方程為一元一次方程，選項C不符合題意；D．是二元一次方程，選項D不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的整式方程是一元二次方程是解題的關鍵．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）關于的一元二次方程的一個根是0，則的值是（

）A．1或 B． C．1 D．【答案】A【分析】將代入方程可得，求出a的值即可．【詳解】解：把代入方程，得：，解得：，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、直接開方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解的定義是解題的關鍵．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值稱為一元二次方程的解．（2022秋·上海黃浦·八年級上海市黃浦大同初級中學校考期中）關于的方程是一元二次方程的條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一元二次方程的定義，含有一個未知數，未知數的最高次數為2，二次項系數不為0的整式方程為一元二次方程即可判斷．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程滿足的條件是解題的關鍵．二、填空題（2022秋·上?！ぐ四昙夒A段練習）（x﹣1）2＝20212的根是___．【答案】，/，【分析】利用直接開平方法，即可求解．【詳解】解：（x﹣1）2＝20212直接開平方，得：，解得：，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握用直接開平方法解一元二次方程是解題的關鍵．（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）解方程：的根是_____．【答案】【分析】利用直接開方法，求出方程的解即可．【詳解】解：移項得：，開方得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關鍵．（2022秋·上海·八年級?？茧A段練習）關于方程是一元二次方程，則______．【答案】【分析】根據一元二次方程的定義，二次項系數不為0，即可求解．【詳解】解：∵關于方程是一元二次方程，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，理解二次項系數不為零是解題關鍵．（2022秋·上海·八年級統(tǒng)考期末）若關于x的方程是一元二次方程，則a的值為__________．【答案】6【分析】只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程是一元二次方程，根據定義解答即可．【詳解】解：∵是一元二次方程，，解得，故答案為：6．【點睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟記定義是解題的關鍵．（2022秋·上海閔行·八年級上海市實驗學校西校校考期中）方程的根是______．【答案】，【分析】根據平方根的定義得到，解得，．【詳解】解：∵，∴∴，或，解得，，．故答案為：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題關鍵是熟練掌握直接開平方法解方程．三、解答題（2021秋·上海·八年級期中）如果方程與方程有且只有一個公共根，求a的值．【答案】-2【分析】有且只有一個公共根，建立方程便可求解了．【詳解】解：∵有且只有一個公共根∴∴∵當a=-1時兩個方程完全相同，故a≠-1，∴∴當時，代入第一個方程可得1-a+1=0解得：【點睛】本題考查根與系數的關系，關鍵在于有一個公共根的理解，從而建立方程，求得根．（2021秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習）已知關于x的方程有實數根，求實數m的值．【答案】【分析】根據分類討論即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：當時，此時原方程為：，符合題意．當，此時，且，綜上所述，．【點睛】本題考查根的判別式，解題的關鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎題型．下列說法正確的是（）A．x2﹣x＝0是二元一次方程B．是分式方程C．是無理方程D．2x2﹣y＝4是二元二次方程【答案】D【分析】可以先判斷各個選項中的方程是什么方程，從而可以解答本題．【詳解】解：A、是一元二次方程，故此選項錯誤；B、是一元一次方程，故此選項錯誤；C、是一元二次方程，故此選項錯誤；D、是二元二次方程，故此選項正確；故選D．【點睛】本題考查了方程的定義，掌握理解定義是解題關鍵．將關于x的一元二次方程變形為，就可將表示為關于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．無法確定【答案】B【分析】先根據例子求得x2=x+1，再代入x4-3x-1即可得出答案．【詳解】解：∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，∴x4-3x-1=（x+1）2-3x-1=x2+2x+1-3x-1=x2-x=x+1-x=1，故選B．【點睛】本題考查一元二次方程的解及整體代入思想，將四次先降為二次，再將二次降為一次．關于的方程：的根為___________．【答案】【分析】利用直接開平方法解得即可．【詳解】解：∴．∴．故填：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法是解此題的關鍵．直接寫出下列一元二次方程的根：（1）的根為：_________________；（2）的根為：________________．【答案】，，【分析】（1）根據方程特點，應用直接開平方法解答．（2）根據方程的特點，移項后，再進行因式分解，將方程化為，然后解得方程的解．【詳解】解：（1），原方程化成，開平方，得，∴，，故答案為，．（2）移項得，，因式分解，得，∴或，∴，，故答案為，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．閱讀理解：法國數學家韋達在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現：如果一元二次方程的兩個根分別是和，那么，．例如：方程的兩根分別是和，則，．請同學們閱讀后利用上述結論完成下列問題：(1)已知方程的兩根分別是和，則______，______．(2)已知方程的兩根分別是和，求的值．(3)已知和是方程的兩根，請構造一個一元二次方程，使它的兩根分別是和．【答案】(1)，(2)31(3)【分析】（1）根據題中所給條件，直接求和的值即可.（2）根據題中所給條件，先求和的值，再通過公式轉化，求的值.（3）根據題意，可先得到，，進而得到，，即可得到結果（1）（1）方程的兩根分