第9講 三維幾何建模-1

第9講三維幾何建?；A(chǔ)(jīchǔ)

——幾何形體表達

9.1．幾何(jǐhé)建模技術(shù)概述9.2．幾何形體的計算機內(nèi)部表達9.2.1形體表達的基本概念9.2.2形體表達模型9.3．幾何形體的CSG、BREP表達方法9.3.1形體的BREP表達方法9.3.2形體的CSG表達方法9.4、常見幾何形體定義方法共六十二頁本章(běnzhānɡ)目的

1．了解CAD系統(tǒng)中幾何(jǐhé)形體的計算機內(nèi)部表示形式2、熟練掌握CSG、BREP表達方法及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3、掌握CAD中常用的形體定義方法共六十二頁幾何造型技術(shù)是研究在計算機中，如何表達物體模型形狀的技術(shù)。幾何造型通過(tōngguò)對點、線、面、體等幾何元素的數(shù)學描述，經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、變比等幾何變換和并、交、差等集合運算，產(chǎn)生實際的或想象的物體模型。

9.1幾何造型技術(shù)(jìshù)概述共六十二頁幾何(jǐhé)造型的作用共六十二頁9.2幾何形體(xíngtǐ)的計算機內(nèi)部表達9.2.1形體(xíngtǐ)表達的基本概念在CG和CAD中，形體的邊界是由面的并集來表示，每個面又由它的數(shù)學定義加上其邊界來表示，面的邊界是環(huán)邊的并集，而邊又是由點來表示的。點用三維坐標表示，是最基本的元素邊是相鄰面的交界，可為有向直線或曲線環(huán)是由有序、有向的邊組成的封閉邊界，環(huán)有內(nèi)、外環(huán)之分，外環(huán)最大且只有一個，內(nèi)環(huán)的方向和外環(huán)相反。共六十二頁面是一個單連通區(qū)域，可以是平面或曲面，由外環(huán)和若干個內(nèi)環(huán)組成；面的方向用垂直于面的法矢表示，法矢向外為正向面。體是由若干個面組成的閉包，實體(shítǐ)的邊界是有限個面的集合。在CG和CAD中，點、線、環(huán)、面、體通常(tōngcháng)用一個具有層次描述的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來表達定義。形體描述示意圖形體的層次數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)示意圖共六十二頁正則形體：形體表面上任一點的足夠小的鄰域(línyù)在拓撲上應是一個等價的封閉圓，即圍繞該點的形體鄰域在二維空間中可構(gòu)成一個單連通域。我們把滿足該定義的形體稱為正則形體，否則為非正則形體。例如，存在懸面、懸邊的長方體為非正則形體（如右圖）。共六十二頁計算機中表示(biǎoshì)形體，通常用線框模型（如圖a）、表面模型（如圖b）和實體模型（如圖c）等表達方法。圖a線框模型(móxíng)圖b表面模型圖c實體模型9.2.2形體表達方法1）形體表達方法概述共六十二頁實體模型的表示方法中又可以分為：空間分解類（如單元枚舉、八叉樹分解、單元分解等）、構(gòu)造類（如掃描、CSG、特征參數(shù)化體素等）和邊界表達類（如BREP、歐拉操作等）三大類。

其中CSG、BREP表示是當前CAD系統(tǒng)廣泛(guǎngfàn)采用的方法。形體表示方法線框模型表面模型實體模型空間分解構(gòu)造表示邊界表示單元枚舉八叉樹分解單元分解……掃描方法CSG方法特征體素……BREP歐拉操作……共六十二頁線框、表面(biǎomiàn)與實體模型的比較模型表示應用范圍局限性二維線框畫二維線框圖（工程圖）無法觀察參數(shù)的變化，不可能產(chǎn)生有實際意義的形體三維線框畫二、三維線框圖不能表示實體、圖形會有二義性表面模型藝術(shù)圖形、形體表面的顯示、數(shù)控加工不能表示實體實體模型物性計算、有限元分析用集合運算構(gòu)造形體只能產(chǎn)生正則形體抽象形體的層次較低共六十二頁2）形體(xíngtǐ)表達的線框模型線框模型用頂點和棱邊表示三維形體(xíngtǐ)，其棱邊可以為直線、圓弧、二次曲線及樣條曲線組成。

線框模型組成：共六十二頁線框模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：

頂點表記錄各頂點坐標值；

棱線(lénɡxiàn)表記錄每條棱線所連接的頂點及走向。classPOINTclassEDGE{{doublev[3];//坐標值intstart_point_no;//邊的起點intpointtype;//點的屬性(shǔxìng)

intend_point_no;//邊的終點

CURVEcur；//邊方程定義；

…………..

…………..}}例：立方體線框模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：共六十二頁線框模型優(yōu)點：1）結(jié)構(gòu)簡單，計算機內(nèi)部(nèibù)易于表達，繪制快速；2）形體三維數(shù)據(jù)可以產(chǎn)生任意視圖，為生成工程圖帶來了方便。線框模型(móxíng)缺點：1）有二義性，缺少表面輪廓信息，當形狀復雜、棱線過多時，會引起模糊理解。2）在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中缺少邊與面、面與體之間關(guān)系的信息。從原理上講，此種模型不能消除隱藏線、計算物性、生成數(shù)控加工刀具軌跡、有限元網(wǎng)格剖分、物體干涉檢驗等。共六十二頁3）形體表達的表面(biǎomiàn)模型表面模型是用有連接順序的棱邊圍成的有限區(qū)域來定義形體的表面,再由表面的集合(jíhé)來定義形體。表面可以是平面，也可以是柱面、球面等類型的二次曲面，也可是樣條曲面構(gòu)成的自由曲面。共六十二頁1）頂點坐標值存放在頂點表中；2）含有指向頂點表指針的邊表，用來為多邊形的每條邊標識頂點；邊有方向(fāngxiàng)，從起點到終點為正方向；3）面表有指向邊表的指針，用來為每個表面標識其組成邊。表面模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)采用(cǎiyòng)三表結(jié)構(gòu)，即：面表、邊表和頂點表。只需在線框模型的基礎(chǔ)上增加有關(guān)面邊信息以及表面特征、棱邊連接方向等。表面模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：面號共六十二頁classPOINTclassEDGEclassFACE{{{

同線框模型(móxíng)同線框模型(móxíng)

intedge_num；//邊數(shù)

int*edge_no;//邊鏈表

intface_type;//面類型

SURFACEsur；//面方程

………….………….…………….}}}例：多面體表面(biǎomiàn)模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)共六十二頁缺點：沒有解決(jiějué)形體究竟在表面的哪一側(cè)的問題。在物性計算、有限元分析等應用中，表面模型在形體的表示上仍然缺乏完整性。優(yōu)點：可滿足面面求交，線面消隱、明暗處理和數(shù)控加工(jiāgōng)的要求。表面模型的特點：4）形體表達的實體模型為了解決形體存在于表面的哪一側(cè)的問題，可采用實體模型來描述三維立體。在表面模型的基礎(chǔ)上可用三種方法來定義表面的哪一側(cè)存在實體。1）給出實體存在一側(cè)的一點；2）直接用表面的外法矢來指明實體存在的一側(cè)；3）用有向棱邊隱含地表示表面的外法矢方向，該方法為CAD系統(tǒng)廣泛采用。思考問題：表示法矢為什么用有向棱邊，而不直接法矢??共六十二頁用有向棱邊表示表面的外法矢方向(fāngxiàng)時，規(guī)定有向棱邊按右手法則取向：沿著閉合的棱邊所得的方向與表面外法矢方向一致。千萬(qiānwàn)注意：例：多面體實體模型數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：classPOINTclassEDGEclassFACE{{{

同線框模型同線框模型intedge_num；//邊數(shù)

EDGE*edge;//邊鏈表

intface_type;//面類型

SURFACEsur；//面方程

………….………….………….}}}共六十二頁有矛盾!!!增加(zēngjiā)“環(huán)”的定義解決矛盾。思考問題：相鄰兩個面的公共棱邊的方向(fāngxiàng)不會矛盾嗎？??classPOINTclassLOOPclassFACE{{{

同線框模型intlop_typ;//環(huán)類型intloop_num；//環(huán)數(shù)………int*eno;//邊索引

LOOP*lop;//環(huán)鏈表}LOOP*nxt;//下一環(huán)intface_type;//面類型………….SURFACEsur；//面方程classEDGE

}………….{}同線框模型………}用“＋、－”標識邊的方向改進的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：共六十二頁實體模型表達(biǎodá)的特點：根據(jù)實體模型，可以進行物性計算（如體積、質(zhì)量，慣量）、有限元分析等應用。一個(yīɡè)有趣的問題：一個表面的正反兩面都是確定的嗎??MObius曲面共六十二頁9.3、形體(xíngtǐ)的BREP、CSG表達方法

9.3.1、形體(xíngtǐ)的BREP表達方法邊界表示(BoundaryRepresentation，縮寫B(tài)rep)通過描述實體的邊界來表示實體。實體的邊界將該實體分為實體內(nèi)點集和實體外點集，是實體與環(huán)境之間的分界面。定義了實體的邊界，實體就被唯一定義，如右圖所示。邊界表示是用一組曲面（或平面）來描述三維物體，這些曲面（或平面）將物體分為內(nèi)部和外部。典型例子是平面立體和曲面立體。BREP、CSG表示是當前CAD系統(tǒng)廣泛采用的形體表達方法。1）基本概念共六十二頁Brep表示方法必須表達的信息分為兩類:一類是幾何信息：描述形體的大小、位置、形狀等基本信息，如頂點坐標，邊和面的數(shù)學表達式等。另一類是拓撲信息：拓撲信息描述形體上的頂點、邊、面的連接關(guān)系。拓撲信息形成物體邊界表示的“骨架”，形體的幾何信息猶如附著在“骨架”上的“皮膚”。在Brep中，拓撲信息是指用來說明體、面、邊及頂點之間連接關(guān)系的這一類信息，例如面與哪些面相鄰；面由那些邊組成等。

描述形體拓撲信息的根本目的是便于直接對構(gòu)成形體的各面、邊及頂點的參數(shù)(cānshù)和屬性進行存取和查詢，便于實現(xiàn)以面、邊、點為基礎(chǔ)的各種幾何運算和操作。共六十二頁例如：多面體的面、邊和頂點間的九種(jiǔzhǒnɡ)拓撲關(guān)系：面面鄰接關(guān)系面上點的關(guān)系面上邊的關(guān)系點與面連接(liánjiē)關(guān)系點點連接關(guān)系點與邊連接關(guān)系邊面鄰接關(guān)系邊點連接關(guān)系邊邊連接關(guān)系2）形體的拓撲關(guān)系共六十二頁在這九種不同類型的拓撲關(guān)系中，有些(yǒuxiē)關(guān)系冗余，因此計算機內(nèi)部并不需要所有拓撲關(guān)系都直接表達。但至少需表達兩種以上拓撲關(guān)系才能構(gòu)成一個完全的拓撲信息。存儲更多的拓撲關(guān)系，花費的代價是存儲量大了，以冗余來換計算工作量的節(jié)省和某些算法的易于實現(xiàn)。

例如，在Brep表達中，簡單實體(shítǐ)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可用體、面、邊、點四個層次的表描述如下：對復雜實體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)則采用更多的層次表來描述?。」擦撨吔绫磉_強調(diào)(qiángdiào)實體的外表細節(jié)，把面、邊、頂點的信息分層描述，并建立了層與層之間邊界表示。沒有統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，為了有效地表示幾何體的拓撲關(guān)系，斯坦福大學B．G．Baumgart在1972年提出的以棱邊為中心的多面體表示的翼邊結(jié)構(gòu)(WingedEdgeDataStructure，WED)及改進后的對稱結(jié)構(gòu)等。3）BREP表示(biǎoshì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)翼邊結(jié)構(gòu)以邊為核心組織數(shù)據(jù)，如右圖：棱邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中包含兩個點指針，指向該邊的起點和終點，棱邊為一有向線段。當棱邊為曲線段時，還需增加一指針指向曲線表示的結(jié)構(gòu)。

現(xiàn)在的CAD系統(tǒng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是翼邊結(jié)構(gòu)的變種共六十二頁WED中另設(shè)兩個環(huán)指針，分別指向棱邊所鄰接的兩個環(huán)(左環(huán)和右環(huán))。由邊環(huán)關(guān)系可確定棱邊與鄰面之間的拓撲關(guān)系。為了從棱邊搜索到它所在的任一閉環(huán)上的其它棱邊，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中還增設(shè)四個指向鄰邊的指針，分別為左上邊(shàngbiɑn)、左下邊、右上邊(shàngbiɑn)、右下邊，左上邊(shàngbiɑn)為棱邊左邊環(huán)中沿逆時針方向所連接的下一條邊，其余類推。一種(yīzhǒnɡ)基于WED數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的BREP表示示例共六十二頁優(yōu)點：（1)表示形體的點、線、面等幾何元素是顯式表示、使得形體的顯示很快并且很容易確定幾何元素之間的連接關(guān)系；（2)可對Brep法的形體進行多種操作(cāozuò)和局部修改；（3)能快速有效支持多種圖形學、CAD系統(tǒng)的關(guān)鍵核心算法，為大多數(shù)商業(yè)化CG、CAD系統(tǒng)所采用。缺點：（1)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復雜，需要大量存儲空間，維護內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及一致性的程序較復雜；（2)對形體的修改操作較難實現(xiàn)；（3)其表達方法繁瑣，尤其精確的邊界難以人工定義；與工程技術(shù)人員的操作習慣有較大差距，不適合直接交互。4）Brep表示法的優(yōu)缺點共六十二頁簡單形體BREP表達的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)手工填寫(tiánxiě)實例：共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁共六十二頁邊的方向定義后，其左右外環(huán)、左右面的連接關(guān)系唯一確定（右手(yòushǒu)法則），如右圖：填表注意事項：先對點、邊、環(huán)、面進行編號，編號順序自定，但最好有利于編程實現(xiàn)(shíxiàn)；邊的方向自定。左外環(huán)左面右外環(huán)右面共六十二頁環(huán)是由有序、有向的邊組成的封閉(fēngbì)邊界，按右手法則，外環(huán)逆時針方向（確定面的外法矢方向），內(nèi)環(huán)順時針。面可以是平面或曲面，由一個外環(huán)和若干內(nèi)環(huán)組成；法矢向外為正向面（由外環(huán)方向確定，確保指向?qū)嶓w(shítǐ)外側(cè)）。思考問題：填寫B(tài)rep表十分繁瑣，對于復雜形體人工無法完成，如何完成復雜的BREP數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)??共六十二頁共六十二頁3個面3個環(huán)3條邊2個頂點(dǐngdiǎn)4個面4個環(huán)6條邊4個頂點(dǐngdiǎn)注意：一個實體的BREP表達不唯一，如下圖圓柱體表示；不同CAD系統(tǒng)表達不同，不同建模方法也導致不一致；但都并不影響形體表達的完整性。共六十二頁3個面：頂平面（法矢向上）、底平面（法矢向下）、圓柱面（外法矢方向(fāngxiàng)由外環(huán)確定）NN圖（a）圓柱的邊、頂點圖（b）圓柱的面、環(huán)圓柱面方程(fāngchéng)表示：軸的起止點、半徑，局部坐標。3個環(huán)：頂面外環(huán)、底面外環(huán)、側(cè)面外環(huán)3條邊：頂部圓、底部圓、側(cè)面邊（直母線）2個頂點：頂面1個點、底面1個點思考問題：圓的方程如何表示？？共六十二頁值得注意：對于更為復雜的形體、更多的應用需求，則需要采用更復雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。（事實上，商業(yè)化CAD系統(tǒng)(xìtǒng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)較為復雜，不同CAD系統(tǒng)其應用范圍及目的不同，其內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)也不完全相同）共六十二頁CSG中物體形狀的定義以集合論為基礎(chǔ)，先定義集合本身，其次是集合之間運算(yùnsuàn)。所以，CSG表示先定義有界體素(如立方體、圓柱、球、錐、圓環(huán)等)，然后將這些體素進行并(∪)、交(∩)、差(－)運算（如圖）。9.3.2、形體(xíngtǐ)的CSG表達方法構(gòu)造實體幾何表示(ConstructiveSolidGeometry，縮寫為CSG)的含義是任何復雜的形體都可用簡單形體通過正則集合運算組合，并配合幾何變換來表示。1977年由羅切斯特(Rochester)大學的Voelcker和Requicha等人首先提出的。1）CSG表達的基本概念共六十二頁基于CSG方法的形體生成過程可用一個有序的二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來記錄。二叉樹的葉子節(jié)點是體素或幾何變換的參數(shù)，非葉節(jié)點則是布爾運算的操作符或幾何變換操作。任何子樹表示其下兩個(liǎnɡɡè)節(jié)點的組合或變換的結(jié)果，樹根表示最終的形體。2）CSG表達(biǎodá)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)共六十二頁3）形體(xíngtǐ)生成運算規(guī)則：完全(wánquán)遵循二叉樹運算規(guī)則。前序遍歷算法：自上而下，自左而右例：一個典型零件的CSG表達共六十二頁用CSG樹表示一個形體是無二義性的，但一個形體可以有不同的CSG樹表示，取決于使用的體素、構(gòu)造(gòuzào)操作方法和操作順序。

CSG表示依賴穩(wěn)定可靠的布爾運算算法支撐。優(yōu)點：(1)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡單，信息量小，易于管理；(2)每個CSG都和一個實際的有效形體相對應；(3)CSG樹記錄了形體的生成過程，可修改形體生成的各環(huán)節(jié)(huánjié)以改變形體的形狀。缺點：(1)不能進行形體的局部修改，如面、邊、點等；(2)直接基于CSG表達形體，其組合運算及顯示效率很低。

4）CSG表達方法的特點共六十二頁CSG＋BREP的混合(hùnhé)表示從用戶進行造型的角度看，CSG方法比較方便。但從對形體的存儲管理和計算顯示等角度看，Brep法更為實用。

CSG表示比較“宏觀(hóngguān)”，“戰(zhàn)略”掌控更容易，易人機交互；

BREP表示注重“細節(jié)”，“戰(zhàn)術(shù)”實施易落實，需編程實現(xiàn)。

目前大多數(shù)CAD系統(tǒng)都以CSG＋Brep的混合表示作為形體數(shù)據(jù)表示的基礎(chǔ)。其中：以CSG模型表示幾何造型的特征歷史過程及其特征設(shè)計參數(shù)；用Brep模型維護詳細的幾何信息和顯示、查詢等操作，同時也為布爾運算提供基礎(chǔ)。共六十二頁例如：商用CAD幾何(jǐhé)引擎——ACIS數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡介（選學）ACIS是美國SpatialTechnology公司的三維幾何造型引擎，它集線框、曲面和實體造型于一體，并允許這三種表示共存于統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，為各種3D造型應用(yìngyòng)開發(fā)提供幾何造型平臺，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下:圖中的黑虛線框中是幾何信息，藍虛線框中是拓撲信息。幾何（Geometry）、拓撲(Topology)和屬性(Attribute)構(gòu)成了ACIS模型，三者統(tǒng)一由最基礎(chǔ)的抽象類ENTITY所派生。ENTITY本身不代表任何對象，但在ENTITY中定義了所有子類應具有的數(shù)據(jù)和方法（如存儲、恢復、回溯等）。ACIS采用CSG＋BREP混合數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其中拓撲信息包括BODY（體）、LUMP（塊）、SHELL（殼）、SUBSHELL（子殼）、FACE（面）、LOOP（環(huán)）、WIRE（線框）、COEDGE（共邊）、EDGE（邊）和VERTEX（頂點）。ACIS把線框（WIREFRAME）、曲面（SURFACE）和實體（SOLID）模型存儲在統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，這種共存機制使ACIS支持混合維模型和各種非閉合模型的統(tǒng)一建模。幾何信息拓撲信息共六十二頁形體表示方法線框模型表面模型實體模型空間分解構(gòu)造表示邊界表示單元枚舉八叉樹分解單元分解……掃描方法CSG方法特征體素……BREP歐拉操作……9.4常見(chánɡjiàn)幾何形體定義方法共六十二頁對CAD系統(tǒng)來說，形體定義就是用少量(shǎoliàng)的參數(shù)描述幾何形體的大小、形狀和位置。幾何造型的優(yōu)劣首先取決于是否提供好的形體定義能力，既要有良好的用戶界面以外，又要提供多種造型方法，這樣不僅能擴大造型系統(tǒng)的幾何覆蓋率，而且能提高工程師的設(shè)計效率。在CAD系統(tǒng)中，常用幾類形體輸入方法：

1）基本體素法

2）掃描變換(biànhuàn)法

3）局部操作4）特征表示對于設(shè)計師而言，所關(guān)心的是如何快捷、方便地設(shè)計一個滿足需求的零件結(jié)構(gòu)（即零件形體）。共六十二頁1）基本(jīběn)體素法常用(chánɡyònɡ)的基本體素有方盒、錐、柱、球、環(huán)等。絕大多數(shù)商用CAD系統(tǒng)都提供該功能，尤其是游戲系統(tǒng)應用更廣泛。用戶僅需輸入一些簡單的參數(shù)便可以定義這些體素的大小、形狀和位置。因此商用系統(tǒng)提供自定義體素功能，為用戶定義專用的特征庫提供方便。值得注意：用戶僅需按提示交互定義（對話框或簡單草圖）形體，計算機內(nèi)部用CSG表達數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)記錄定義參數(shù)及歷史，同時自動生成定義形體的BREP表達模型數(shù)據(jù)。CAD系統(tǒng)中，基本體素法已與特征表達融合組成特征體素。共六十二頁2）掃描(sǎomiáo)變換法掃描變換是基于一條曲線或表面或形體沿某一路徑運動而產(chǎn)生形體，現(xiàn)有(xiànyǒu)CAD使用廣泛。平行掃和旋轉(zhuǎn)掃變換是最基本的方法。如果在平掃過程中引入縮放參數(shù)，還可以得到截面變化的錐形形體，如果掃描方向與z軸成一夾角，掃出的形體將是一個錯切體。類似于曲面造型，還有自由掃、變截面掃、蒙皮放樣技術(shù)等生成實體的定義方法。思考問題：在此與曲面造型中的蒙皮放樣有何區(qū)別？？共六十二頁值得說明的是：用戶僅需按提示交互定義掃描截線及掃描軌跡，計算機內(nèi)部用CSG數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)記錄定義參數(shù)及歷史，同時自動生成定義形體的BREP表達(biǎodá)模型數(shù)據(jù)。CAD系統(tǒng)中，掃描表達已與特征表達融合形成特征掃描方法。平行(píngxíng)掃實例旋轉(zhuǎn)掃實例自由掃實例變截面掃實例共六十二頁3）局部(júbù)操作局部操作(cāozuò)從宏觀上來看不改變形體的整體結(jié)構(gòu)，只作局部修改。如圓角過渡、倒角等。造型系統(tǒng)提供局部操作功能，目的是為用戶提供更直觀方便的定義形體局部信息的方法。注意：局部操作功能多基于歐拉操作，比在整體意義下形體間的布爾運算具有更高的效率和穩(wěn)定性。倒圓角倒直角圓角過渡共六十二頁4）實體的特征(tèzhēng)表示實體模型僅提供產(chǎn)品的幾何形狀信息，但不能顯式地標注尺寸，未提供公差(gōngchā)、表面粗糙度、材料性能和加工要求等重要的產(chǎn)品制造信息。實體的特征表示方法是以上述幾種幾何表示方法為基礎(chǔ)，通過CAD系統(tǒng)屬性機制將工程特征信息添加于形體的幾何（或拓撲）表示之上。在CAD系統(tǒng)中，這些幾何和特征信息融合為一體，共同構(gòu)成實體的特征表示，能有效表示設(shè)計人員的工程意圖。（基于特征的定義方法將在后續(xù)內(nèi)容中作更詳細的介紹）共六十二頁5）形體(xíngtǐ)的八叉樹表示八叉樹表示(biǎoshì)通過對空間進行自適應劃分，采用具有層次結(jié)構(gòu)的八叉樹來表示(biǎoshì)物體。八叉樹表示在形體三角剖分，動畫的干涉檢驗中經(jīng)常采用。三維形體的八叉樹表示類似于二維圖形的四叉樹表示。為描述簡單起見，以四叉樹表示為例，在一個包含二維圖形的正方形區(qū)