【學海導航】高三數(shù)學第一輪總復習-10.1-兩個計數(shù)原理課件

第十章排列、組合、二項式定理和概率110.1兩個計數(shù)原理考點搜索●分類計數(shù)原理的特點和算法●分步計數(shù)原理的特點和算法高考猜想利用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理求方法數(shù)2

1.完成一件事，有n類辦法，在第１類辦法中有m1種不同的方法，在第２類辦法中有m2種不同的方法，，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=①_____________種不同的方法.

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2.完成一件事，需要分成n個步驟，做第１步有m1

種不同的方法，做第２步有m2種不同的方法，，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=②_____________種不同的方法.3.如果完成一件事有n類辦法，其中第一類辦法中的③___________都能完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)就用④________原理，它可用物理中的“并聯(lián)”電路來理解，是一種加法原理.任一種方法分類計數(shù)4

4.如果完成一件事需要分成n個步驟，其中每一步均⑤________這件事，只有依次完成所有步驟才能完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)就用⑥________原理，它可用物理中的“串聯(lián)”電路來理解，是一種乘法原理.盤點指南：①;②;③任一種方法；④分類計數(shù)；⑤不能完成；⑥分步計數(shù)不能完成分步計數(shù)5

十字路口來往的車輛，如果不允回頭，共有種行車路線（

）A.24B.16C.12D.10

解：起點有C41種可能，終點有C31種可能，因此，行車路線共有C41C31=12種.C6

從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有()A.8種B.12種C.16種D.20種

解：有2個面不相鄰即有一組對面，所以選法為C31C41=12種.B7

某城市的電話號碼，由六位升為七位(首位數(shù)字均不為零)，則該城市可增加的電話部數(shù)是()A.9×8×7×6×5×4×3B.8×96C.9×106D.81×105解：電話號碼是六位數(shù)字時，該城市可安裝電話9×105部，同理升為七位時為9×106，所以可增加的電話部數(shù)是9×106-9×105=81×105.D81.某中學高三年級有三個班，01班有學生50人，其中男生30人；02班有學生60人，其中男生30人；03班有學生55人，其中男生35人.(1)從這三個班中選一名學生任學生會主席，求共有多少種不同的選法？題型1利用分類計數(shù)原理求方法數(shù)9(2)從01班或02班的男生中，或從03班的女生中選一名學生任學生會學習部長，求共有多少種不同的選法？解：(1)分三類：從01班選1名有50種；從02班選1名有60種；從03班選1名有55種.由分類計數(shù)原理，共有不同的選法50＋60＋55＝165(種).10

(2)分三類：從01班男生中選1名有30種；從02班男生中選1名有30種；從03班女生中選1名有20種.由分類計數(shù)原理，共有不同的選法30＋30＋20＝80(種).

點評：利用分類進行計數(shù)時，主要是找到一個分類的標準.有時分類的劃分標準有多個，但不論是以哪一個為標準，都應遵循“不重不漏”，求得的各類方法數(shù)的和就是最后的方法總數(shù).11

在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？

解：根據(jù)題意，將十位數(shù)上的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成八類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7+6+5+4+3+2+1＝36個.122.用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法？題型2利用分步計數(shù)原理求方法數(shù)13

解：分四步：涂A有5種方法；涂B有４種方法；涂C有3種方法；涂D有3種方法(D與A可以同色).由分步計數(shù)原理，共有5×4×3×3=180(種).

點評：分步計數(shù)就是把一件復雜的事件劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當全部步驟完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎，也是關鍵.從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是事件的方法數(shù).14

(1)將4封信投入3個郵箱，有多少種不同的投法？(2)3位旅客到4個旅店住宿，有多少種不同的住宿方法？(3)4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，四張賀卡共有多少種不同的分配方式？

解：(１)分四步：每一封信都有3種不同的投法，由分步計數(shù)原理，共有3×3×3×3＝81(種).15(2)分三步：每位旅客都有4種不同的住宿方法,由分步計數(shù)原理,共有4×4×4=64(種).(3)分四步：四個人中的任意一人先取1張，有3種取法；由前一人取走的賀卡的供卡人取１張，有3種取法；由余下的兩人中的任一人取，只有一種取法；最后一人取，只有一種取法.由分步計數(shù)原理，共有3×3×1×1＝9(種).163.某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分(如圖).現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有種.(用數(shù)字作答).題型3兩個計數(shù)原理的綜合應用17

解法1：從題意來看，6部分種4種顏色的花，又從圖形看，知必有2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求.(1)②與⑤同色，則③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48種；(2)③與⑤同色，則②④或④⑥同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48種；(3)②與④且③與⑥同色，所以共有N3=4×3×2×1=24種.所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120種.18

解法2：記顏色為A、B、C、D四色，先安排1、2、3有4×3×2種不同的栽法，不妨設1、2、3已分別栽種A、B、C，則4、5、6栽種方法共5種，由以下樹狀圖清晰可見.根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的栽種方法有N=4×3×2×5=120種.19

點評：解法1是常規(guī)解法，解法2安排4、5、6時又用了分類和列舉的方法.復雜事件的計數(shù)問題需要用到兩種計數(shù)原理，一般采用的是先分類，后分步，各步中又可能涉及到分類，注意兩個計數(shù)原理的綜合應用.20

在編號為1、2、3、4的四塊土地上分別種植編號為1，2，3，4的四個品種的小麥，但1號地不能種1號小麥，2號地不能種2號小麥，3號地不能種3號小麥，求共有多少種不同的種植方案?

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解:分兩類：若4號地種4號小麥，則1號地有2種種植方法，2、3號地都只有1種種植方法，所以共有2×1×1=2種方法．若4號地不種4號小麥，則每塊土地上種植的小麥的編號與土地的編號都不相同，第1號土地有3種種植方法，設1號地種i號小麥，則i號地有3種種植方法，余下的兩塊地各只有一種種法，所以共有3×3×1×1=9種方法．由分類計數(shù)原理，共有2+9=11種.22

1.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點顏色不同，如果只有5種顏色可供使用，求共有多少種不同的染色方案?

解:記四棱錐為S-ABCD，五種顏色的編號為1，2，3，4，5．分兩步：第一步，對S、A、B三點染色，共有5×4×3=60種方法．23第二步：對C、D兩點染色．當S、A、B已染好色時，不妨設其顏色分別為1，2，3，則C點可染2、4、5號色中的一種，分為三類．24若C染2號色，則D點可染3、4、5號色中的任一種，有3種方法；若C染4號色，則點D可染3、5號色中的任一種，有2種方法；若C染5號色，則點D可染3、4號色中的任一種，有2種方法．由兩個計數(shù)原理，共有60×(3+2+2)=420種．25

2.在任意兩個正整數(shù)m和n間定義某種運算，用表示運算符號，并規(guī)定：當m和n都為奇數(shù)或都為偶數(shù)時,m

n=m+n；當m和n中有一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)時，m

n=mn.設集合M={(a,b)|a

b=36，a、b∈N*}，求集合M中共有多少個元素？

解：分兩類：①當a、b都為正奇數(shù)或正偶數(shù)時,a

b=a+b=36.

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所以a=1，b=35;或a=2，b=34…或a=35，b=1，共有３５個元素.②當a、b中有一個為正奇數(shù)，另一個為正偶數(shù)時，a

b=ab=36.所以a=1，b=36;或a=3，b=12;或a=4，b=9;或a=36，b=1;或a=12，b=3;或a=9，b=4，共有６個元素.由分類計數(shù)原理知,共有35+6＝41個元素.27

3.若m，n∈{x|x=a2×102+a1×10+a0}，其中ai(i=0，1，2)∈{1，2，3，4，5，6}，并且m+n=606，則實數(shù)對(m，n)表示平面上不同點的個數(shù)為()A.32B.30C.62D.6028

解：由m+n=606，其個位數(shù)字為6，所以a0可有(1、5)，(5、1)，(2、4)，(4、2)，(3、3)共5種組成方法；十位數(shù)字為0，可有(4、6)，(6、4)、(5、5)共3種組成方法；百位數(shù)字為6，可由十位進上來1，余下5可有(1、4)，(4、1)，(2、3)，(3、2)共4種組成方法；由分步計數(shù)原理，實數(shù)對(m，n)的個數(shù)為5×3×4＝60，故選D.29

1．利用兩個計數(shù)原理解決實際問題時，先要弄清這是做一件什么事，這件