2023年統(tǒng)考版《師說》高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（文科）學(xué)生用書 第9章 平面解析幾何

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程

?最新考綱?

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的三種形式（點斜式、兩點式及一般式）,

了解斜微式與一次函數(shù)的關(guān)系.

?考向預(yù)測?

考情分析：直線方程單獨考查較少，與圓的方程、圓推曲線方程結(jié)合考查是高考的熱點,

各種題型都有.

學(xué)科素養(yǎng)：通過直線的傾斜角、斜率、方程的求解考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；通過直線

方程的綜合應(yīng)用考查直觀想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記4個知識點

1.直線的傾斜角

⑴定義

兩

種

情

況

（2）范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是：.

2.直線的斜率

條件公式

直線的傾斜簾仇且0X90。k=______

直線過點A（xi,yi）,

k=______

8（X2，口）且

直線A￥+8y+C=0(BW0)k=______

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式不含直線K=X0

斜截式不含垂直于4軸的直線

不含直線％=乃。|W&）和直線y=

兩點式

=

截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線

=1

一般式平面內(nèi)所有直線都適用

［提醒］“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距

離”是一個非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過原點的特殊情況是否滿足題意.

4.線段的中點坐標(biāo)公式

若點P”P2的坐標(biāo)分別為3,y),(X2,”)，線段P1P2的中點M的坐標(biāo)為(X,y)則

仁一，

'此公式為線段PP2的中點坐標(biāo)公式.

二、必明2個常用結(jié)論

1.直線傾斜角和斜率的關(guān)系

(1)直線都有傾斜角，但不一定都有斜率.

⑵不是傾斜角越大，斜率攵就越大，因為2=tana,當(dāng)aW1”時，〃越大，斜

率k就越大，同樣U,時也是如此，但當(dāng)兀)且aW'時就不是了.

2.特殊直線的方程

⑴直線過點PiCn,yi),垂直于x軸的方程為工=用；

(2)直線過點Pi(xi,yi),垂直于y軸的方程為y=yi；

(3)y軸的方程為x=0；

(4)x軸的方程為y=0.

三、必練3類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或“X”).

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.()

(2)過點M(a,b),N(b,a)(〃Wb)的直線的傾斜角是45。.()

(3)直線的傾斜角越大，斜率攵就越大.()

(4)經(jīng)過點P(xo，泗)的直線都可以用方程下一沖=4x—xo)表示.()

(5)經(jīng)過任意兩個不同的點Pig,yi),?2(X2?”)的直線都可以用方程(y—yi)(X2—M)=(x

—XI)G，2一》)表示.()

(二)教材改編

2.［必修2?P95習(xí)題T2改編］直線/：xsin3()o+ycos150。+〃=0的斜率為()

A.sB.

C.-由D.-3

3.［必修2P96例4改編］已知△4BC的三個頂點坐標(biāo)為A(l,2),8(3,6),C(5,2),M

為A8的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在直線的方程為()

A.2r+y-12=0B.2丫一)，-12=0

C.2r+y-8=0D.2x-j+8=0

(三)易錯易混

4.(混訪傾科角與斜率的關(guān)余)若直線x=2的傾斜角為a,則a的值為()

A.0B.

.

C.2D.不存在

5.(忽視斜率與我距對直線的影響)如果4CV0,且BCVO,那么直線Ar+B)，+C=O

不經(jīng)過第象限.

6.(忽視指距為0的椅況)經(jīng)過點P(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為

提升關(guān)鍵能力一考點突破掌握類題通法

考點一直線的傾斜角與斜率［基礎(chǔ)性］

1.直線/：x+5.v+l=0的傾斜角的大小為()

A.30°B.60°

C.120cD.1500

2.設(shè)直線/的方程為x+)，cos6+3=0(JeR),則直線/的傾斜角a的取值范圍是()

A.［0,冗)B.L曲*3M

C.［^T］D.5引

3.若點A(4,3),8(5,a),C(6,5)三點共線，則。的值為.

4.直線/過點P(l,0),且與以4(2,1),B(0,5)為端點的線段有公共點，則直

線/斜率的取值范圍為.

反思感悟解決直線的傾斜角與斜率問題的方法

作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的

數(shù)形結(jié)合法

單調(diào)性確定

函數(shù)圖象法根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可

考點二直線的方程［綜合性］

［例1］(1)求過點4(1,3),斜率是直線y=-4x的斜率的,的直線方程；

(2)求經(jīng)過點4-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程.

聽課筆記：

反思感悟求解直線方程的兩種方法

直接法根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程

①設(shè)所求直線方程的恰當(dāng)形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式)；②

待定系

由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入

數(shù)法

所設(shè)直線方程

［提醒I(1)選用點斜式和斜截式時，要注意討論斜率是否存在.

(2)選用截距式時，要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.

(3)選用一般式Ai十6y+C=0確定直線的斜率時，要注意討論6是否為0.

【對點訓(xùn)練】

根據(jù)所給條件求直線的方程：

(1)直線經(jīng)過點P(4,1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；

(2)直線過點(5,10),到原點的距離為5.

考點三直線方程的綜合應(yīng)用［綜合性］

角度I直線過定點問題

［例2］已知寫出以下動直線所過的定點坐標(biāo)；

(1)若直線方程為曠=奴+3,則直線過定點；

(2)若直線方程為y=6+3h則直線過定點；

(3)若直線方程為工=砂+3,QU直線過定點.

聽課筆記：

反思感悟

1.直線過定點問題，可以根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征，得出直線過的定點坐標(biāo).

2.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成迂定點的直線系，即能

夠看出“動中有定”.

角度2與直線方程有關(guān)的多邊形面積的最值問題

［例3］過點”4,1)作直線/分別交x軸，y軸正半軸于A,8兩點.

(1)當(dāng)△A08的面積最小時，求直線/的方程：

(2)當(dāng)|。4|+|。用取最小值時，求直線/的方程.

聽課筆記：

一題多變

(變問題)若例3中條件不變，求當(dāng)|祠?|詞|取得最小值時直線/的方程.

反思感悟與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略

(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題：先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不

等式求解最值.

(2)求直線方程：弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.

(3)求參數(shù)值或范圍：注意點在直線上，則點的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單

調(diào)性或基本不等式求解.

【對點訓(xùn)練】

已知直線/：區(qū)一y+l+2%=0(火￡R).

(1)證明：直線，過定點；

(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求左的取值范圍；

(3)若直線/交x軸負(fù)半軸于點A,交y軸正半軸于點8,ZXAOB的面積為S(0為坐標(biāo)原

點)，求S的最小值并求此時直線/的方程.

第九章平面解析幾何

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程

積累必備知識

、

1.(2)[0,冗)

J

2.tan0"F—"

3.y—yo=A(x—xo)y=kx-^bAr+by+C=O,A2-\~B2^0

4.22

三、

1.答案：(l)x(2)X(3)X(4)X(5)J

i

&i?3(rJ

2.解析：cos150。=一\sin30°=2,所以k=一=-二?

由

-T

答案：A

ZT

3.解析：由中點坐標(biāo)公式得M(2,4),M3,2),則公m=1=-2,???MN所在直

線的方程為：＞-2=-2(x-3),即2x+y—8=0.

答案：C

.

4.解析：因為直線x=2垂直于x軸，所以傾斜角。為2.

答案：C

5.解析：將Ar+8y+C=0化為)=—*x—.,

V4C<0.BC<0.：._f<0,-a>0.

，直線過一、二、四象限，不過第三象限.

答案：三

6.解析：當(dāng)直線過原點時，方程為y=4x.即x—4y=0.當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直

線的方程為x+y=2,把點A(4,1)代入直線的方程可得)1=5,故直線方程是x+y—5=0.

答案：x-4y=0或x+y-5=0

提升關(guān)鍵能力

考點一

色色

1.解析：由l：x+6y+l=0可得y=-ax-3,所以直線1的斜率為k

由

=-M

色

設(shè)直線1的傾斜角為a,貝*,

因為因WaV180。,所以a=150°.

答案：D

2.解析：當(dāng)cosJ=0時，方程變?yōu)閤+3=0,其傾斜角為

OKQ

當(dāng)cosOKO時，由直線方程可得斜率AM-

ICOS問一1,1]且cos。#。，

???附一8,-1]u(l.+a>).

即tana￡(—8,—ijU(l.+a>)*

Xaero,n),AaeE*3嗚3

由上知，傾斜角的范圍是E-T]

答案：c

5-3I

3.解析：依題意得匕c=1=1.匕8=5T=〃-3,由于A,B,。三點共線,

所以a—3=1,即。=4.

答案：4

4.

1TV5-0

解析：如圖所示，因為k”=*?=1,knp=0-1-氣所以直線/斜率

的取值范圍為(一8,-遮]U(l.+?\

答案：(-8,-v5]u(l,+e)

考點二

例1解析：(1)設(shè)所求直線的斜率為K依題意攵=-4乂’=一

又直線經(jīng)過點A(l,3),

因此所求直線方程為y—3=—\x-I),即4x+3y—13=0.

(2)當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為力"=1.①

將(一5,2)代入①，解得。=-2,所以直線方程為x+2y+l=0；

當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為y=履，

2

則一5%=2,解得&=一I

所以直線方程為y=-即2x+5y=0.

故所求直線方程為2x+5)，=0或x+2)，+1=0.

對點訓(xùn)練

解析：(1)設(shè)直線在x,y軸上的截距均為。

若。=0,即直線過(0,0)及(4,1)兩點，

所以直線的方程為)，=即x—4)，=0.

若aWO.則直線的方程為"'=1.

3

因為直線過點(4,1),所以aa=l,

所以。=5,

所以直線的方程為x+y—5=0.

綜上可知，所求直線的方程為X—4y=0或x+y—5=0.

(2)當(dāng)直線斜率不存在時，所求直線方程為>一5=0；

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其為總則所求直線方程為y—10=&(x—5),

即日一y+(10-5A)=0.

in.3

由點到直線的距離公式，得麗=5,解得2=1

故所求直線方程為3x—4y+25=0.綜上可知，所求直線方程為x-5=0或3%—4)，+25

=0.

考點三

例2解析：(1)當(dāng)x=0時，y=3,所以直線過定點(0,3)；

(2)直線方程可化為y=k(x+3),故直線過定點(-3,0)；

(3)當(dāng)y=0時，x=3,所以直線過定點(3,0).

答案：(1)(0,3)(2)(-3,0)(3)(3,0)

例3解析:設(shè)直線/："、=l(a>0,b>0),因為直線/經(jīng)過點?(4,1),所以a11

=1.

所以"216,當(dāng)且僅當(dāng)《一8,方一2時等號成立，所以當(dāng)〃一8,力一2時，△409的面

積最小，此時直線/的方程為93=1,即工+4)，-8=0.

(2)因為"、=1,a>0,b>0,所以|。4|+|。8|=。+方=3+力％"=5+

bH竺收9,

當(dāng)且僅當(dāng)4=6,6=3時等號成立，所以當(dāng)1041+1081取最小值時，直線/的方程為x+

2y-6=0.

一題多變

二十i

解析：設(shè)43.0),8(0,〃)，貝Ia>0.沆>0.直線/的方程為"E=I.所以

?麗?鴨=一RA.同

=一(。-4,-1)(-4,b-i)

=4(a—4)+b—1=4a+b—17

+

=(…G3-17

色十竺

=16+b"+1-17^2X4=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時取等號，此時直線/的方程為x+y—5=0.

對點訓(xùn)練

解析：(1)證明：直線/的方程可化為&。+2)+(1—’)=0,

卜+2=0.|x=-2?

令11一了=。，解得Iy=i.

???無論］取何值,直線總經(jīng)過定點(-2,1).

i+a

*,在)軸上的截距為1+2九

(2)由方程知，當(dāng)k#0時，直線在x軸上的截距為一

要使直線不經(jīng)過第四象限，則必系有l(wèi)+2k>l,解得攵>0；

當(dāng)2=0時，直線為y=l,符合題意，故2的取值范圍是［0,+8).

(一咨。)

解析：(3)由題意可知AW0,再由/的方程，得A,8(0,1+2。).

(1+2k>0

依題意得,解得2>0.

75=?|O4||OB|=1kL|]+2M

:史客*k+廿4)

2X(2X2+4)=4,

“=”成立的條件是Jt>o且4k=\即k=

，Smin=4,此時直線/的方程為X—2），+4=0.

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系

?最新考綱?

1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).

3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

?考向預(yù)測?

考情分析：確定兩條直線的位置關(guān)系，已知兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)，求直線的交點

和點到直線的距離，對稱問題，過定點的直線系問題是高考考查的熱點.往往和圓錐曲線綜

合起來.題型多為解答題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過兩直線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用考查直觀想象、邏輯?推理的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系

條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系

平行

兩條不重合的直線小，2,鬲與ki都不存在

斜率分別為&I，22

垂直

k\與匕一個為零、另一個不存在

［注意I在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，容易忽視斜率是否存在，若兩條直線斜率存在,

則可根據(jù)條件進(jìn)行判斷，若斜率不存在，則要單獨考慮.

2.兩條直線的交點

3.三種距離公式

三種距離條件公式

兩點間的

A（xi，y）,8（X2，J2）\AB\=____________

距離

點到直線

P(xo,yo)到直線Ax+3)，+C=0的距離為dd=_______________

的距離

兩平行線直線Ax+By+Ci=0到直線Av+By+C=0的

2d=___________

間的距離距離為d

二、必明2個常用結(jié)論

1.兩個充要條件

(1)兩直線平行或重合的充要條件

〉，+

直線/i：A/+Bi)，+G=O與直線/2：AK+B2C2=0平行或重合的充要條件是4B2

—^251=0.

(2)兩直線垂直的充要條件

直線/,：AIX+BI>-+CI=0與直線Z2：AM+&)，+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B由2

=0.

2.六種常用對稱關(guān)系

(1)點(工，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(一x,—y).

(2)點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(X,—y),關(guān)于y軸的對稱點為(一x,y).

(3)點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(j,x),關(guān)于直線y=—x的對稱點為(一y,-x).

(4)點(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2a—x,j)?關(guān)于直線y=h的對稱點為(X,2b—y).

(5)點(x,y)關(guān)于點(。，份的對稱點為(2a—x,2b-y).

(6)點(x,y)關(guān)于直線x+y=女的對稱點為(k—y,k—x),關(guān)于直線x—y=k的對稱點為(2

+y,x~k).

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或"X”).

(1)當(dāng)直線/)和h的斜率都存在時，一定有ki=k2=l\〃h.()

(2)如果兩條直線人與，2垂直，則它們的斜率之積一定等于一1.()

(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()

(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()

(二)教材改編

2.［必修2-P109習(xí)題T3改編］若直線咫-3y—2=0與直線(2一機比一3)，+5=0互相平行，

則實數(shù)小的值為()

A.2B.-1

C.1D.0

3」必修2Roi習(xí)題T?改編］已知點3,2)3>0)到直線/：彳一)，+3=0的距離為1,則a

的值為()

A.MB.2-M

C.M-lD.蝕+1

(三)易錯易混

4.(忽視封率不存在的情況)若直線(3。+2)%+(1—44))，+8=0與(5a-2)x+(a+4)y-7

=0垂直，則〃=.

5.(忽視平行為間條數(shù)的對應(yīng)關(guān)東)直線2t+2)，+l=0,x+y+2=0之間的距離是

(四)走進(jìn)高考

6.［2020?全國卷IH］點（0,—1）到直線y=A（x+l）距離的最大值為（）

A.IB.a

C.5D.2

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一兩條直線的平行與垂直［基礎(chǔ)性］

*

1.直線G：y=or與直線6：1"=1平行，貝ij〃=（）

22

A.3B.-3

C.2D.-3

2.［2022?上海市長寧區(qū)延安白學(xué)高三月考］“。=一1”是“直線or+（2fl—l）y+l=0和

直線3x+a），+3=0垂直”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

3.經(jīng)過直線2丫一），=0與x+y—6=0的交點，且與直線2x+y-1=0垂直的直線方程

為（）

A.x+2y—8=0B.x~2y—6=0

C.x+2y-10=0D.x—2），+6=0

反思感悟由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法

Zi：4x+Sy+G=#0)

直線方程

/2：42%+%)，+。2=#0)

人與，2垂直的充要條件442+8]%=0

人與，2平行的充分條件

=W(A282c2#0)

1\與，2相交的充分條件

W如叱。）

1\與，2重合的充分條件

==(A282c2工0)

考點二兩直線的交點與距離問題［綜合性］

角度1交點問題

［例1］(1)已知點M(0,-1),點N在直線工一)，+1=0上，若直線MN垂直于直線x+

2y—3=0,則點N的坐標(biāo)是()

A.(―2?—1)B.(2,3)

C.(2,1)D.(-2,1)

(2)經(jīng)過兩直線/i：A—2y+4=0和/?：x+y—2=0的交點P,且與直線h：3x—4y+5=

0垂直的直線I的方程為.

聽課筆記：

反思感悟(I)求兩直線的交點坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到方

程組的解就可以寫出交點的坐標(biāo).

(2)求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件

寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程.

角度2距離問題

［例2］(1)點(0,—1)到直線"-4)，+1=0的距離為()

23

A.GB.G

4

C.5D.1

(2)己知直線hy=3x-2,直線區(qū)6x-2y+l=0,則人與，2之間的距離為()

酒在

A.2B.4

VicVic

C.2D.4

(3)［2022?玉林市育才中學(xué)模擬卜軸上任一點到定點(0,2)、(1,1)距離之和的最小值

是()

A.MB.2+顯

C.亞D.法+1

聽課筆記：

反思感悟

1.點到直線的距離的求法

可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式.

2.兩平行線間的距離的求法

(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平汗線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的

距離；

(2)利用兩平行線間的距離公式.

【對點訓(xùn)練】

1.已知三角形的三個頂點4(2,4),B(3,-6),C(5,2),則BC邊上中線的長為()

A.亞B.2m

C.11aD.3Vic

2.當(dāng)點P(3,2)到直線"a一/+1—2m=0的距離最大時，加的值為()

A.MB.0

C.-1D.1

3.已知直線了=京+24+1與直線y=-的交點位于第一象限，則實數(shù)A的取

值范圍是.

考點三對稱問題［應(yīng)用性］

角度1點關(guān)于點對稱

［例3］過點P(0,1)作直線/使它被直線/i：2x+y-8=0和/2：彳一3丁+10=0截得的

線段被點尸平分，則直線/的方程為.

聽課筆記：

反思感悟點關(guān)于點對稱的求解方米

若點M（與，力）和點N（x,y）關(guān)于點P⑶b）對稱，貝！由中點坐標(biāo)公式得

:=2a—Xj

=2b~力，進(jìn)而求解.

角度e2點關(guān)于線對稱

［例4］已知直線八2x—3y+l=0,點4一1,-2）,則點A關(guān)于直線/的對稱點4的

坐標(biāo)為.

聽課筆記：

反思感悟點關(guān)于直線對稱的解題方法

若兩點PG［，yi）與尸2（刈，力）關(guān)于直線/：AY+協(xié)+C=0對稱，則由方程組

A（￡L+￡1）+B（^±21）+C=O,

火_"?=—1,

［"2-可得到點P1關(guān)于直線/對稱的點P2的坐標(biāo)

（X2,”）（其中BWO,XlWX2）.

角度3線關(guān)于線對稱

［例5］直線2r->+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是（）

A.x—2y+3=0B.x—2y—3=0

C.x+2y+l=0D.x+2y-l=0

聽課筆記：

反思感悟線關(guān)于線對稱的解題方法

求直線/1關(guān)于直線/對稱的直線，2,有兩種處理方法：

(1)在直線上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)

于直線/的對稱點，再用兩點式寫出直線6的方程；

(2)設(shè)點P(x,y)是直線/2上任意一點，其關(guān)于直線/的對稱點為乃(即，J1),根據(jù)點關(guān)于

直線對稱建立方程組，用居y表示出可，yi,再代入直線/］的方程，即得直線，2的方程.

【對點訓(xùn)練】

1.點(1,2)關(guān)于直線x+y—2=0的對稱點是()

A.(1,0)B.(0,1)

C.(0,-1)D.(2,1)

2.［2022?青銅峽市高級中學(xué)月考］已知直線/與直線左一3)，+4=0關(guān)于直線x=l對稱，

則直線/的方程為()

A.2x+3y-8=0B.3%-25+1=0

C.x+2y—5=0D.3x+2y—7=0

微專題31直線系方程的靈活應(yīng)用思想方法

在求解直線方程的題目中，可采用設(shè)直線系方程的方式簡化運算，常見的直線系有平行

直線系，垂直直線系和過兩直線交點的直線系.

直線系方程的常見類型

(1)平行于已知直線AK+或，+C=0的直線系方程是：Ax+8y+2=oa是參數(shù)且2NO；

(2)垂直于已知直線Ax+gy+C=0的直線系方程是：Bx-Ay+/l=0a是參數(shù))：

(3)過兩條已知直線/I：AX+BD，+CI=0和/2：4》:+&)，+。2=0的交點的直線系方程是：

Aix+8iy+G+，A2x+82y+C2)=0a￡R,但不包括/2).

一、平行直線系

［例1］求與直線3x+4)，+1=0平行且過點(1,2)的直線/的方程.

解析：由題意，可設(shè)所求直線方程為3x+4y+C=0(CWl),又因為直線/過點(1,2),

所以3X1+4X2+C=O,解得。=一11.

因此，所求直線方程為3x+4y-ll=0.

二、垂直直線系

由于直線Aix+8iy+G=0與AK+&)，+C2=0垂直的充要條件為4血+8出2=0.因此,

當(dāng)兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必然的聯(lián)系.可以考慮用直線系方程求解.

［例2］求經(jīng)過點4(2,1),且與直線Zr+y-10=0垂直的直線/的方程.

解析：因為所求直線與直線2x+y—10=0垂直，所以設(shè)該直線方程為x—2y+G=0,

又直線過點A(2,1),

所以有2—2Xl+G=0,解得G=o,

即所求直線方程為x—2y=0.

三、過兩直線交點的直線系

［例3］經(jīng)過兩條直線2r+3y+1=0和x—3y+4=0的交點，并且垂直于3x+4y—7=0

的直線方程為.

f2x+3y+1=0*

lx—3y+4=0.

解析：方法一由方程組解得即兩直線交點為

(￥

???所求直線與直線3x+4y—7=0垂直，

???所求直線的斜率為2=3

--)

由點斜式得所求直線方程為9="3/即以一3)，+9=0.

方法二由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x—3y+m=0,

j2x+3y+l=O.

lx—3y+4=0?(--?3

由方程組可解得兩直線交點為'3”代入4x-3y+機

=0,得m=9,

故所求直線方程為4x—3y+9=0.

方法三由題意可設(shè)所求直線方程為

(2t+3y+l)+2(x-3y+4)=0,

即(2+2比+(3—32?+1+42=0,①

又???所求直線與直線3x+4y-7=0垂直，

???3(2+2)+4(3-32)=0,

??"=2,代入①式得所求直線方程為4i—3y+9=0.

答案：41一3)，+9=0

名師點評

1.本例3法一采用常規(guī)方法，先通過方程組求出兩直線交點，再根據(jù)垂直關(guān)系求出斜

率，由于交點在y軸上，故采用斜截式求解；法三則采用了過兩直線AX+BD，+G=0與

4加+82)，+。2=0的交點的直線系方程：Aix+Biy+G+〃AM+&y+C2)=0,直接設(shè)出過兩

直線交點的方程，再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解.

2.與直線Ar+8y+C=0平行的直線系方程為AH■今+G=0(GW。；與直線Ar+B.y

+C=0垂直的直線系方程為BA-A>+CI=0.

［變式訓(xùn)練］已知直線八：wu+8y+〃=0與,2：—1=0互相平行，且小心之間

的距離為求直線人的方程.

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系

積累必備知識

1.ki=k?kikz=-l

3.J［玄一“?一31一比產(chǎn)

|乜刊兀*Kt-Cil

"+K4^^

三、

1.答案：⑴X(2)X(3)7(4)7

2.解析：兩直線平行，其系數(shù)滿足關(guān)系式一3"=-3(2一加)，解得m=1.

答案：C

3.解析：由題意知g=1,所以心+1|=M,又心o,所以片M一

1.

答案：c

4.解析：由兩直線垂直的充要條件，得(3a+2)(5a-2)+(1—4d)i：a+4)=0,解得：a=

0或a=l.

答案：?；?

5.解析：直線2r+2y+l=0,x+y+2=0之間的距離即直線標(biāo)+2y+l=0,2x+2y

+4=0之間的距離d=L=彳.

運

答案:

小石=

6.解析:方法一點(0,一1)到直線y=A(x+l)的距離為4=

注意到3+122A,于是2(R+l)\R+2hH=W+lF，當(dāng)且僅當(dāng)左=1時取等號.

四11

即VF+T.0，所以d=匹w故點(0,—1)到直線了

=&(x+i)距離的最大值為

方法二由題意知，直線/：y=&a+l)是過點P(—I,0)且斜率存在的直線，點。(0,

—1)到直線I的最大距離在直線I與直線PQ垂直時取得，此時左=1,最大距離為|PQ=

答案：B

提升關(guān)鍵能力

考點一

3

1.解析：直線12：的斜率為耳=—a

因為直線h：y=ax與直線匕2，=1平行，所以a=%=—3.

答案：D

2.解析：若直線ai+(2a—l))，+l=0和直線3x+ay+3=0垂直，

則3a+a(2a-l)=0,解得a=0或°=一1,

則“。=一1”是“直線好+(2a—l)y+l=0和直線34+—+3=0垂直”的充分不必要

條件.

答案：A

[2x—y=0(x=2

3.解析：由題意，聯(lián)立方程組U+y-6=o解得(y=4即交點為p(2,

4),

設(shè)與直線2i+y—l=o垂直的直線方程為x-2y+m=o,

把點P(2,4)代入x—2y+機=0,即2—8+機=0,解得機=6,即所求直線方程為1一2》

+6=0.

答案：D

考點二

例1解析：(1)因為點N在直線x—y+l=0上，所以可設(shè)點N的坐標(biāo)為(M，四+1).根

據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式，得褊N="=".因為直線MN垂直于直線x

5f-D至

+2y—3=0,直線x+2y—3=0的斜率左=—所以AMNX'——I,即“

=2,解得狽=2.因此點N的坐標(biāo)是(2,3).

&-2y+4=0產(chǎn)=0

⑵由方程組b+y-2=0,得&=2,

即尸(0,2).因為LL/3,所以直線/的斜率攵=-3,所以直線/的方程為了一2=一

x,即4x+3y—6=0.

答案：(1)B(2)4x+3y—6=0

例2解析：(1)點(0,—1)到有線3x-4y+l=0的距離為4=次后可=5

=1.

IX逐

(2)直線人的方程可化為旅—2y—4=0,則6與6之間的距離d=加=V.

(3)x軸上任一點到定點(0,2)、(1,1)距離之和的最小值，就是求解(0,2)關(guān)于x軸的對

稱點，連接對稱點與(1,1)的距離即可，

因為(0,2)關(guān)于x軸的對稱點為(0,-2),

所以V(1-O)2+(1+2P=亞.

即x軸上任一點到定點(0,2)、(1,1)距離之和的最小值是V10

答案：(1)D(2)D(3)C

對點訓(xùn)練

1.解析：設(shè)邊6C的中點為。(&y).

3-M

因為3(3,-6),C(5,2),所以x=2=4,y=2=-2,

即0(4,-2),所以AZ)=J(2-守+(4+2>=2亞.

答案：B

2.解析：直線mx-y+l—2m=0過定點Q(2,1),

所以點P(3,2)到直線mx—y+1—2m=0的距離最大時，PQ垂直該直線，

2-3

即nt'3T=—],A/n=-J.

答案：C

|y=kir+2k+1.

?y=_*2

3.解析：由方程組,解得

???交點坐標(biāo)為篇■

又???交點位于第一象限,

解得一<k<

答案:

考點三

例3解析：設(shè)h與1的交點為A(a,8-2a),

則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(—a,2a—6)在I2上，把B點坐標(biāo)代入b的方程

得一a-3(2a—6)+10=0,解得a=4,即點A(4,0)在直線1上，所以由兩點式得直線1的方

程為x+4y—4=0.

答案：x+4y—4=0

例4解析：設(shè)4(x,y)

由已知得

y+22

1.

X+TX3=

x—1y—2

2x—3^+1=0.

，33

x=--------

13

解得

故A'(高?白

(W，白

答案:

例5解析：設(shè)所求直線上任意一點P(x,y),則「關(guān)于x—y+2=0的對稱點為產(chǎn)(沏,

由點PQo,%)在直線2x—y+3=0上，???2。-2)—。+2)+3=0,

即x-2y+3=0.

答案：A

對點訓(xùn)練

1.解析：設(shè)點A(l,2)關(guān)于直線x+y—2=0的對稱點是8(訪b).

則有

fa=0

lb=l

解得

故點(1,2)關(guān)于直線x+)，-2=0的對稱點是(0,1).

答案：B

2.解析：直線2x—3y+4=0取兩點(1,2),(-2,0),其關(guān)于x=l對稱的點為(1,2),

0-222

(4,0)在直線/上，故斜率為<"】=—3,即方程為丁一0=—V-4),即2x+3y

-8=0.

答案：A

微專題Q直線系方程的靈活應(yīng)用

變式訓(xùn)練