4.3.1（第1課時）等比數(shù)列的概念及通項公式課件高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.3.1等比數(shù)列的概念及通項公式1.通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義，并了解等比中項的概念；2.會運用等比數(shù)列的通項公式解決簡單的等比數(shù)列問題；3.理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.學習目標新知講解請看下面幾個問題中的數(shù)列.1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥板上記錄了下面的數(shù)列：

；

①；②.③2.《莊子?天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是.④

新知講解3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)是2，4，8，16，32，64，…

⑤4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是

⑥

類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？探究提示：通過除法運算研究以上數(shù)列的取值規(guī)律.如果用表示數(shù)列①，那么有

，，…，.這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項比都等于9.其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律，請你寫出相應(yīng)的規(guī)律.

；

①；②.③.④

2，4，8，16，32，64，…

⑤

⑥910051+r21.等比數(shù)列的定義：

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母

q表示（顯然）

數(shù)學符號語言：

或(1)“從第2項起”，也就是說等比數(shù)列中至少含有三項；“每一項與它的前一項的比”不可理解為“每相鄰兩項的比”；(2)任意一項特別注意，q不可以為零，當q＝1時，等比數(shù)列為非零常數(shù)列，非零常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列．(3)“同一常數(shù)q”，q是等比數(shù)列的公比，即或.課堂練習1.已知數(shù)列是等比數(shù)列，下列說法錯誤的是（

）a3,a5，a7成等比數(shù)列a1,a3，a9成等比數(shù)列an,an+1，an+2成等比數(shù)列n>3時，an-3,an，an+3成等比數(shù)列B必要不充分條件練習：新知講解2.等比中項

如果在

a和

b中間插入一個數(shù)G，使

a，G，b

成等比數(shù)列，那么G叫做

a與

b的等比中項.此時.注意：(1)G是a與b的等比中項，則a與b的符號相同，符號相反的兩個實數(shù)不存在等比中項，即等比中項有兩個，且互為相反數(shù)．(2)當時，G不一定是a與b的等比中項．例如，但0,0,5不是等比數(shù)列．(3)利用等比中項判定等比數(shù)列3.等比數(shù)列的通項公式問：如何用a1和q表示第n項an其中，a1與q均不為0。由于當n=1時右面等式兩邊均為a1，即等式也成立，說明上面公式當n∈N*時都成立，因此它就是等比數(shù)列{an}的通項公式.

a2=a1q

a3=a2q=a1q2

a4=a3q=a1q3…an=a1qn-1不完全歸納法這n-1個式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-12.累乘法

特別地，等比數(shù)列{an}中，a1≠0,q≠0已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m

項am

表示an.解：由題意得：am

=a1·

qm–1①，an

=a1·

qn–1②；

∴an

=am

·

qn–m.等比數(shù)列通項公式的推廣等比數(shù)列的通項公式推廣：等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示；即：an

=am

·

qn–m等比數(shù)列通項公式的一般式等比數(shù)列通項公式的一般式例1：若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項.解法1：由a4

=48，a6

=12，得：

又a5=a1·q4，∴a5=24或–24.解法2：∵a5

是a4與a6

的等比中項，∴a52=a4

·a6=48×12=546，

∴{an}的第5項是

24或–24.

例2.在等比數(shù)列{an}中，(1)a1＝3，a3＝27，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.等比數(shù)列基本量的求法a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，其他量便可求出來，方法一是常規(guī)解法，先求a1，q，再求an，方法二是運用通項公式及方程思想建立方程組求a1和q，這也是常見的方法．練習及作業(yè)5-1或2474.等比中項公式應(yīng)用1.等比中項公式：2.利用等比中項判定等比數(shù)列課堂練習例1（1）方程的兩根的等比中項是()A.B.1和4C.2和4D.2和

（2）若b是a，c的等比中項，則方程

的根的個數(shù)為____.解：(1)由韋達定理可得方程的兩根之積為4，

而

，故方程的兩根的等比中項是.A

故其根的個數(shù)為0.03.已知正數(shù)等比數(shù)列中，對所有的自然數(shù)n都成立，則公比q=4.已知等差數(shù)列的公差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則練習及作業(yè)5.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系類比等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列的通項與哪一類函數(shù)有關(guān)？

f(x)Ox34512a1(1,a1)(2,a2)(3,a3)(4,a4)(5,a5)

a5a3a2a4任給指數(shù)函數(shù)f(x)=kax

(k，a為常數(shù)，a>0且a≠1)，則f(1)=ka，f(2)=ka2，…，

f(n)=kan，···構(gòu)成一個等比數(shù)列{kan}，其首項為ka，公比為a.合作探究6.等比數(shù)列的單調(diào)性由等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系可得等比數(shù)列的單調(diào)性如下：（1）當

時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；（2）當

時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；（3）當ｑ＝１時，數(shù)列為常數(shù)列；（4）當ｑ＜０時，數(shù)列為擺動數(shù)列.練習：（1）在等比數(shù)列中，

，則項數(shù)n為（

）A.3B.4C.5D.6

（2）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，,則數(shù)列的通項公式

_____.C

練習：（1）在等比數(shù)列中，

，則項數(shù)n為（

）A.3B.4C.5D.6

（2）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，,則數(shù)列的通項公式

_____.解：(1)因為,所以

，

即

，解得

n＝5.(2)由

由

，又數(shù)列遞增，所以q=2.

C

7.等比數(shù)列的判斷（1）定義法：(2)等比中項法(3)通項公式法

課堂練習例1.在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求通項公式.證明：（法一定義法）因為，所以.又因為所以

所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.證明：（法二等比中項法）因為，所以.又因為所以

所以

即

成等比數(shù)列，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.例1.在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求通項公式.例1.在數(shù)列中，若，且.證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求通項公式.

所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列.則可考慮待定系數(shù)法構(gòu)造新的輔助數(shù)列

是首項為

公比為p的等比數(shù)列，求出

,再進一步求通項類型四、形如的遞推式