4.3.2(1) 等比數(shù)列的前n項和公式課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.3.2（1）等比數(shù)列的前n項和公式

國際象棋起源于古印度．相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么．發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥?！来祟愅?，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子．請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求."

國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.【情景引入】“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥?！来祟愅?，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子．請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求."【情景引入】各個格子里的麥粒數(shù)依次是：發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)：等比數(shù)列等比數(shù)列前64項和S64

=1+21+22+……+261+262+263【思考1】觀察相鄰兩項的特征，有何聯(lián)系？如果我們把每一項都乘以2，就變成了與它相鄰的后一項【思考2】將上述①式兩邊同乘以2，得到②式，比較①、②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？兩式右邊中間的一些項是相同的①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264由②–①

得：S64

=264–1

已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.故國王不能實現(xiàn)他的諾言.【思考】上述方法能否推廣到求一個等比數(shù)列的前n項和？縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2？S64

=1+21+22+……+261+262+263①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264

【問題2】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，求{an}的前n項和Sn.Sn

=a1+a2+a3+……+an-2

+an-1+an①乘公比錯位排列②相減錯位相減法一、等比數(shù)列的前n項和公式

——用等比性質(zhì)推導(dǎo)一、等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)欣賞

當(dāng)q≠1時，a1=a2=…=an當(dāng)q=1時，此時Sn=na1

——借助和式的代數(shù)特征進行恒等變形當(dāng)q=1時，當(dāng)q≠1時，一、等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)欣賞

若q未知，用公式時要考慮q是否為1

若q未知，用公式時要考慮q是否為1

若q未知，用公式時要考慮q是否為1

法1：若q未知，用公式時要考慮q是否為1法2：【問題3】你能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項和公式

的函數(shù)特征嗎？

二、等比數(shù)列的前n項和公式的函數(shù)特征

1.q≠1時，設(shè)，Sn=

，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).2.q=1時，因為a1≠0，所以Sn=

，Sn是n的正比例型函數(shù).

na1注意點：等比數(shù)列前n項和公式的結(jié)構(gòu)特點即qn的系數(shù)與常數(shù)項

互為相反數(shù).【練習(xí)】數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn＝3n＋1－2k，則實數(shù)k＝____.【例2】Sn