浙江省紹興市諸暨市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題

第一學期期末考試試題高二數(shù)學注意：1．本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.雙曲線的焦點坐標是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，然后根據(jù)可得，最后得出結果.【解析】由題可知：雙曲線的焦點在軸上，且，所以雙曲線的焦點坐標為故選：B2.已知是等比數(shù)列，公比為q，前n項和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和性質，即可求解.【解析】.故選：B3.已知函數(shù)的導函數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，列出方程組，即可求解.【解析】由函數(shù)，可得，因為，可得，所以，解得.故選：C.4.如圖，在平行六面體中，，，，點P在上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合幾何圖形，利用向量的線性運算公式，即可求解.【解析】，，.故選：A5.已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為B.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為8C.當時，數(shù)列的前n項和為D.當時，數(shù)列的前n項和為【答案】D【解析】【分析】首先判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得，即可判斷AB；寫出數(shù)列的前n項和，并去絕對值，即可判斷CD.【解析】對于A，由，得，，可知數(shù)列是首項為8，公差為的等差數(shù)列，則，則，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，故A錯誤；對于B，，而，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為9，故B錯誤；對于CD，當時，；當時，；當時，；所以，故C錯誤，D正確.故選：D6.已知曲線E：，則下列結論中錯誤的是（）A.曲線E關于直線對稱B.曲線E與直線無公共點C.曲線E上的點到直線的最大距離是D.曲線E與圓有三個公共點【答案】C【解析】【分析】分類討論求出曲線的方程，畫出圖象，結合圖象逐項分析即可.【解析】因為曲線E的方程為，當，時，曲線E的方程為，當，時，曲線E的方程為，是焦點在上的等軸雙曲線右支的一部分.當，時，曲線E的方程為，是焦點在上的等軸雙曲線上支的一部分.作出曲線E的圖象如圖：由圖象可知曲線E關于直線對稱，曲線E與直線無公共點，故A，B正確；作的平行線與曲線E切于點，曲線E上的點到直線的最大距離是圓的半徑為，故C錯誤；圓的圓心為：，曲線E上的點到圓心的最大距離為.圓過點，如圖：曲線E與圓有三個公共點，故D正確.故選：C.7.在平面直角坐標系xOy中，點，在橢圓C：上，且直線OA，OB的斜率之積為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先由題意得到，平方后，利用點在橢圓上，變形得到的值，即可求解.【解析】因為點，在橢圓上，所以，因為直線的斜率之積為，所以，得到，得，.故選：C8.在空間直角坐標系Oxyz中，，，若直線AB與平面xOy交于點，點P的軌跡方程為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量共線的坐標表示求出關系式，再利用空間兩點間距離求解即得.【解析】依題意，，顯然，則，解得，又，即，所以.故選：B【小結】關鍵小結：利用空間向量共線的坐標表示求得是解題之關鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.記為無窮等比數(shù)列的前n項和，若，則（）A. B.C.數(shù)列為遞減數(shù)列 D.數(shù)列有最小項【答案】BD【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為q，分析可知，由條件可得，可判斷ABC選項，對q分情況討論，利用數(shù)列的單調性可判斷D選項.【解析】對于A，設等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，又，即，所以，且，故A錯誤；對于B，又，故B正確；對于C，若，，當n為奇數(shù)時，，此時，則，當n為偶數(shù)時，，此時，則，此時數(shù)列不單調，故C錯誤；對于D，因為，當時，此時數(shù)列單調遞增，則有最小項，無最大項；當時，若n為正奇數(shù)時，，則，此時單調遞減，則，若n為正偶數(shù)時，，則，此時單調遞增，則，故當時，的最大值為，最小值為，綜上所述，數(shù)列有最小項，故D正確.故選：BD.10.如圖，在正三棱臺中，已知，則（）A.向量，，能構成空間的一個基底B.在上的投影向量為C.AC與平面所成的角為D.點C到平面的距離是點到平面的距離的2倍【答案】AD【解析】【分析】A選項，根據(jù)棱臺的特征得到三向量不共線，得到A正確；B選項，建立空間直角坐標系，利用空間投影向量公式得到在上的投影向量為；C選項，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；D選項，利用點到平面的距離公式求出兩個點到平面的距離，得到D正確.【解析】A選項，正三棱臺中，向量，，不共線，故向量，，能構成空間的一個基底，A正確；B選項，，故，，取中點，的中點，連接，則⊥，⊥，取的中心，連接，則⊥底面，過點作平行于，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，連接，過點作⊥于點，則，因為，由勾股定理得，則，故，，故在上的投影為，B錯誤；C選項，，設平面的法向量為，則，解得，令得，故，，設AC與平面所成的角為，則，故，故AC與平面所成的角為，C錯誤；D選項，點C到平面的距離是，點到平面的距離，點C到平面的距離是點到平面的距離的2倍，D正確.故選：AD11.已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點，O為坐標原點，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立根據(jù)韋達定理和拋物線的定義即可求出，利用向量的數(shù)量積公式并結合韋達定理可求出的余弦值即可判斷選項、，將△分成以為底的兩個同底三角形并結合韋達定理即可求解.【解析】當時，，此時的焦點坐標為，直線也恒過點，設，，將聯(lián)立得，，由韋達定理可知，，，，∵，∴，則錯誤；由拋物線的定義可知，則正確；當時，，此時的焦點坐標為，直線恒過點，設，，將聯(lián)立得，，由韋達定理可知，，，，則，即，∴，則正確；，則正確；故選：.12.已知函數(shù)，，記，，則（）A.若正數(shù)為的從小到大的第n個極值點，則為等差數(shù)列B.若正數(shù)為的從小到大的第n個極值點，則為等比數(shù)列C.，在上有零點D.，在上有且僅有一個零點【答案】ABD【解析】【分析】由，求得，結合等差數(shù)列的定義，可判定A正確；由，結合等比數(shù)列的定義，可判定B正確；令，即，轉化為，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與極值，進而可判定C錯誤，D正確.【解析】由函數(shù)，可得，，對于A中，由，令，可得，解得，即所以數(shù)列的通項公式為，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；對于B中，由，則，可得（常數(shù)），所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以B正確；對于C、D中，由，令，即，顯然，且時，不是函數(shù)的零點；當，且時，可得，令，其中，且，可得，令，即，即，解得，且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以當時，有極小值，且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以當時，有極大值，且，所以函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)與沒有公共點，所以函數(shù)在上沒有零點，所以C錯誤；當時，函數(shù)與只有一個公共點，即函數(shù)在上有且僅有一個零點，所以D正確.故選：ABD.【小結】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.結論拓展：與和相關的常見同構模型①，構造函數(shù)或；②，構造函數(shù)或；③，構造函數(shù)或.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知：的圓心坐標為，半徑為r，則________．【答案】0【解析】【分析】首先求圓心和半徑，即可求解值.【解析】，圓心為，半徑，所以，則.故答案為：14.數(shù)列滿足，，則________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)遞推公式變形得到，再根據(jù)等差數(shù)列的定義求數(shù)列的通項公式，變形后求的值.【解析】由題意，易知，由，兩邊取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，則.故答案為：.15.已知函數(shù)在某點處的切線的斜率不大于1，則切點為整點（橫縱坐標均為整數(shù)）的個數(shù)是________．【答案】4【解析】【分析】結合導數(shù)的幾何意義，轉化為，求解集中的整點.【解析】由題意，，即，解得，其中的整點有0,1,2,3，共4個.故答案為：416.已知，是雙曲線C：的左右焦點，過作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為N，直線與雙曲線C交于點，且均在第一象限，若，則雙曲線C的離心率是________．【答案】或【解析】【分析】易得，再根據(jù)雙曲線的定義結合，求出，求出，再在中，利用余弦定理構造的齊次式，即可得解.【解析】因為均在第一象限，所以垂足在漸近線上，，則，由題意可得，所以，又因，所以，即，所以，所以，故，在中，，則，在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或，當時，離心率，當時，離心率，所以雙曲線C的離心率是或.故答案為：或.【小結】方法小結：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記是公差為整數(shù)等差數(shù)列的前n項和，，且，，成等比數(shù)列．（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出公差，由公式即可確定和.（2）根據(jù)已知條件求出，裂項相消法求即可.【小問1解析】設，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.【小問2解析】由知：，故，由所以.18.已知圓M：，圓N經(jīng)過點，，．（1）求圓N的標準方程，并判斷兩圓位置關系；（2）若由動點P向圓M和圓N所引的切線長相等，求動點P的軌跡方程．【答案】（1），兩圓外離（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知圓N是以為直徑的圓，進而可得圓N、圓M的圓心和半徑，進而判斷兩圓位置關系；（2）設，根據(jù)切線長性質結合兩點間距離公式分析求解.【小問1解析】由題意可知：，則圓N是以為直徑的圓，則圓N的圓心，半徑，所以：，又因為圓M的圓心，半徑，可得，即，所以兩圓外離（相離）.【小問2解析】設圓M上的切點為A，圓N上的切點為B，由題意可得：，設，則，整理得，所以點P的軌跡方程為：．19.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在內存在兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）單調遞增區(qū)間為：和，單調遞減區(qū)間為：（2）或【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間；（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，并化簡為，，再討論的取值，結合函數(shù)的單調性，判斷函數(shù)極值點的個數(shù)，從而求解實數(shù)的取值范圍.【小問1解析】當時，，定義域為令，得或，所以的單調遞增區(qū)間為：和，單調遞減區(qū)間為：小問2解析】①當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故只有一個極小值點，與條件矛盾，故舍去．②當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，故有兩個極值點a和，與條件相符．③當時，和上單調遞增，在上單調遞減，故有兩個極值點a和，與條件相符．④當時，，故在上單調遞增，無極值點，舍去．⑤當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故只有一個極大值點，與條件矛盾，故舍去．綜上可得：或20.在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，交于O，，，．（1）求P到平面的距離；（2）求鈍二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，然后作于H，證明面，再求得即得；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【小問1解析】由題知，，，，，由，，，得平面．在正中，作于H，又平面,平面，所以，又AO，BD是平面ABCD內兩相交直線，所以面，所以，點P到平面ABCD的距離為．【小問2解析】建立空間直角坐標系，由（1）知是中點，即，則，，，，，，設平面的法向量為，則，取，得，設平面的一個法向量是，則，取得，設所求鈍二面角的平面角為，則．21.物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應用非常廣泛．其定義是：對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．已知，如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標為，用代替重復上述過程得到，一直下去，得到數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程，并令，得到數(shù)列的遞推公式，即可求解；（2）法一，由（1）可知，，利用錯位相減法求數(shù)列的前項和，代入不等式，參變分離為，轉化為作差判斷數(shù)列的單調性，再求數(shù)列的最大值，即可求解；法二，利用裂項相消法求數(shù)列的前項和，代入不等式，參變分離為，轉化為作商判斷數(shù)列的單調性，再求數(shù)列的最大值，即可求解.【小問1解析】，在點處的切線方程為：令，得，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故【小問2解析】令法一：錯位相減法，，兩式相減得：化簡得：故，化簡得令，則，當時，，即，當時，，即，所以從而整數(shù)；法二：裂項相消法由，設且，則，于是，得，即所以故，化簡得令，則時，，當當時，，即，當時，，即，所以從而整數(shù)【小結】關鍵點小結：本題的關鍵是第一問理解題意，理解與的關系，從而求出數(shù)列的通項公式，后面的問題迎刃而解.22.拋