遼寧省丹東市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》加入高中數(shù)學(xué)資料群（QQ群號734924357），獲取更多精品資料上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過點且傾斜角為90°的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可直接寫出所求直線方程.【解析】根據(jù)題意，所求直線方程為：.故選：C2.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【解析】由可得，所以焦點為，故選：B3.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.相交 C.內(nèi)含 D.外離【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出兩個圓的圓心距即可判斷得解.【解析】圓的圓心，半徑，圓，即的圓心，半徑，因此,所以兩個圓相交.故選：B4.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字排成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)共有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】D【解析】【分析】考慮特殊元素（位置）優(yōu)先法解決問題.【解析】因為0不能在首位，所以首位可以有5種選法，個位包含0在內(nèi)也有5種選法，所以滿足條件的兩位數(shù)有個，檢驗可知只有D成立.故選：D5.已知O為坐標(biāo)原點，，是橢圓C：（）的焦點，過右焦點且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用題給條件列出關(guān)于的齊次式，解之即可求得C的離心率.【解析】由，，可得,又由，可得，則，整理得，即，解之得或（舍）故選：A6.在正三棱柱中，，則直線與所成角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取中點D，先證明面，進(jìn)而證得，則直線與所成角為.【解析】取中點D，連接，則,又面，面，則，又，，面，則面，又面，則由，可得，則，則，又，，面，則面，又面，則，則直線與所成角為.故選：C7.將甲、乙、丙、丁4個人全部分配到A，B，C三個地區(qū)工作，其中甲不能去A地區(qū)，且每個地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為（）A.36種 B.24種 C.18種 D.16種【答案】B【解析】【分析】分類討論甲是否單獨去一個地區(qū)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理結(jié)合捆綁法分析求解.【解析】若甲單獨去一個地區(qū)，則不同的分配方案為種；若甲不單獨去一個地區(qū)，則不同的分配方案為種；綜上所述：不同的分配方案為種.故選：B.8.如圖所示，已知二面角-l-的棱上有A，B兩點，，，，，若，，，則直線CD與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在平面內(nèi)，過點，且，證得平面，得到，求得，進(jìn)而求得，過點作，證得，得到即為直線CD與平面所成角，在直角，即可求解.【解析】如圖所示，在平面內(nèi)，過點，且，可得四邊形為平行四邊形，所以，因為，可得，又因為，且，平面，所以平面，即平面，所以平面，因為平面，所以，在直角中，由，可得，在直角中，由余弦定理得，因為，所以，過點作的延長線的垂線，垂足為，即，由平面，且平面，所以平面平面，因為平面平面，因為平面，所以，連接，所以即為直線CD與平面所成角，在直角中，可得，在直角，可得.故選：D.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定與性質(zhì)找到線面角，再結(jié)合余弦定理和三角函數(shù)定義得到線面角的正弦值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知二項式的展開式中，則（）A.含項的系數(shù)為6 B.第5項為常數(shù)項C.各項系數(shù)和為64 D.第3項的二項式系數(shù)最大【答案】ABC【解析】【分析】寫出二項展開式的通項，當(dāng)時可判斷A；當(dāng)時可判斷B；令可求出各項系數(shù)和，進(jìn)而判斷C；根據(jù)，得到二項式系數(shù)最大的是，可判斷D.【解析】二項式展開式的通項為，對于A，令，解得，所以含項的系數(shù)為，故A正確；對于B，令，，故B正確；對于C，令，則，所以各項系數(shù)和為64，故C正確；對于D，由知，二項式系數(shù)最大的是，為第4項，故D錯誤.故選：ABC.10.已知拋物線C：的焦點為F，，A，B是直線PF與C的兩個交點，且，則（）A.直線PF的斜率為 B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義，直線與拋物線的關(guān)系進(jìn)行判斷.【解析】設(shè)，，不妨令.且，()因為.又且，所以，.故B對；所以，故A錯；根據(jù)拋物線定義，得：，故C正確；因為直線AB的方程為：，帶入，整理得：.所以：，故D正確.故選：BCD11.設(shè)為坐標(biāo)原點，，是橢圓：的左右焦點，過的直線交于，兩點，，則（）A.的周長為16 B.的焦距為C.的面積為 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求出和可直接判斷選項A和B；在中利用余弦定理和面積公式可判斷選項C；利用向量表示，可判斷選項D.【解析】橢圓：，，，，，，，對于A，的周長為，故A正確；對于B，，焦距為，故B錯誤；對于C，在中，，即，，解得，，，故C正確；對于D，，，故D正確.故選：ACD.12.已知平行六面體中，底面是正方形，，，，，則（）A. B.C.與平面所成角為 D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意首先得，，，對于A，直接分解向量即可判斷；對于B，由數(shù)量積運算律即可驗算；對于D，由模長公式即可驗算；對于C，首先證明面，從而與平面所成角為，解直角三角形即可驗算C.【解析】設(shè)底面中心為點，由題意，，，所以，對于A，，所以，故A正確；對于B，，而，所以，故B正確；對于D，，故D正確；對于C，因為，且，，所以，即，因為底面是正方形，所以，而，即，又因為，且面，所以面，所以與平面所成角為，而在中，有，所以與平面所成角為，故C錯誤.故選：ABD.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：判斷C選項的關(guān)鍵是首先要通過證明得到面，進(jìn)一步有與平面所成角為，由此即可順利得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________．【答案】75【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式計算可得答案.【解析】．故答案為：75.14.已知點關(guān)于直線l：的對稱點為B，則B的坐標(biāo)為__．【答案】【解析】【分析】列出關(guān)于B的坐標(biāo)的方程組，解之即可求得B的坐標(biāo).【解析】設(shè)，則中點坐標(biāo)為，則有，解之得，則B的坐標(biāo)為故答案為：15.已知直線l：與圓C：交C于A，B兩點，點P是圓C上的動點，若使的面積是的面積的3倍，則點P的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，再由三角形面積關(guān)系確定點到直線的距離，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)即得.【解析】圓C：的圓心，則點到直線的距離，由的面積是的面積的3倍，得點到直線的距離為，而圓半徑，即點到直線的距離，因此點是垂直于直線的圓的直徑距離較遠(yuǎn)的端點，則直線斜率為，方程為，由，解得或，而點到直線的距離為，點到直線的距離為，所以點P的坐標(biāo)為.故答案為：16.已知，是雙曲線C：（，）的焦點，圓O：與C的一條漸近線交于點P（P在第一象限），若，則C的離心率___________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立漸近線與圓的方程可得點的坐標(biāo)，再由勾股定理列出方程，化為離心率的齊次式，代入計算，即可得到結(jié)果.【解析】因為雙曲線C：，則其漸近線方程為，且圓O：與C的一條漸近線交于點P（P在第一象限），則，解得，且P在第一象限，則，即，設(shè)雙曲線的右頂點為，則，連接，則軸，且，由勾股定理可得，化簡可得，同時除可得，解得或（舍），則C的離心率.故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知圓C經(jīng)過點，，且圓心C在x軸上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過B且與圓C相切的直線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因為B點在圓上，所以切線和BC垂直，利用兩直線垂直的關(guān)系求切線斜率，再用點斜式寫出切線方程.【17題解析】設(shè)所求圓C的方程為()，依題意得，解得.所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【18題解析】設(shè)過B且與圓C相切的直線的斜率為k，直線BC的斜率為，因為，所以.所以所求的切線方程為：，即.18.已知橢圓：，直線不經(jīng)過原點也不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（1）求的取值范圍：（2）當(dāng)時，求證：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由方程表示橢圓，列出不等式組求參數(shù)范圍即可；（2）設(shè)，坐標(biāo)并代入橢圓方程，利用點差法即可證明結(jié)論.【小問1解析】因為方程是橢圓，則滿足，解得，且，所以的取值范圍為；【小問2解析】當(dāng)時，橢圓方程為，設(shè)與交于，，中點，所以有，，將，兩點坐標(biāo)代入橢圓中得，兩式作差得，即，因為直線的斜率，直線的斜率，所以，直線的斜率與直線的斜率乘積為定值.19.如圖，在三棱錐中，平面⊥平面，，，是等邊三角形，O為的中點，M為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用兩個平面垂直的性質(zhì)定理即可證得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法即可求得直線與平面所成角的正弦值．【小問1解析】是等邊三角形，O為的中點，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．【小問2解析】連接，因為，，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)得，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，設(shè)直線PC與平面PAM所成角為，，所以直線PC與平面PAM所成角的正弦值為．20.已知點A在直線l：上，動點P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，且（1）求點P的軌跡方程E；（2）過點的直線與E交于兩點M，N，OM⊥ON，求的值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由可得，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）解法一：由OM⊥ON可得，表示出直線的方程，即可得到，再由弦長公式，即可得到結(jié)果；解法二：設(shè)MN：，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，再由弦長公式，即可得到結(jié)果.【小問1解析】設(shè)點，則，，，由，可得，即，點P的軌跡方程E為．【小問2解析】解法一：設(shè)，，由OM⊥ON，知，由，可得．直線MN：，即，點代入可得．則直線為，即直線斜率，于是．解法二：由題意可知MN不垂直于y軸，可設(shè)MN：，代入可得，因為，設(shè)，，設(shè)，．由OM⊥ON，可得，即，可得，可得，即，．于是．21.如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，是的中點，是與的交點．（1）在線段上否存在點，使得平面，并說明理由；（2）若二面角的正弦值為，求線段的長．【答案】（1）存在點，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面平行證明線面平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量解法求解即可.【小問1解析】存在點，當(dāng)時，面．證明：取的中點，連接，，，設(shè)，是的中點，為的重心，，直三棱柱，是的中點，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，，分別為，的中點，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面.故在線段上存在點，當(dāng)時，面；【小問2解析】直三棱柱，，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題設(shè)得，，，，，，設(shè)平面的法向量，且，所以，可取，易知平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，，所以，二面角的正弦值為，，解得，故.22.已知雙曲線C：（，）離心率為，右焦點為．（1）求C的方程；（2）記C的左右頂點分別為，，過的直線與C交于M，N兩點，M在第一象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用題給條件求得的值，進(jìn)而求得C的方程；（2）設(shè)出M，N兩點坐標(biāo)，利用設(shè)而不求的方法求得點P的坐標(biāo)，進(jìn)而證得點P在定直線