浙江省臺州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)2024.01一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．直線的斜率等于A． B．1 C．2 D．2．若雙曲線的離心率為2，則實數(shù)A．2 B． C．4 D．163．若空間向量，則與的夾角的余弦值為A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的前項和為.若，則其公差為A． B． C．1 D．25．如圖，在平行六面體中，記，則A． B． C． D．6．人們發(fā)現(xiàn)，任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述運算，必會得到1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：對于數(shù)列,（為正整數(shù)），若，則所有可能的取值的和為A．16 B．18 C．20 D．417．已知拋物線的焦點為,,兩點在拋物線上，并滿足,過點作軸的垂線，垂足為，若，則A． B．1 C．2 D．48．在空間四邊形中，，則下列結(jié)論中不一定正確的是A． B．C． D．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知數(shù)列和是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是A．是等比數(shù)列 B．一定不是等差數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．一定不是等比數(shù)列10．已知且，曲線，則下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時，曲線是橢圓B．當(dāng)時，曲線是雙曲線C．當(dāng)時，曲線的焦點坐標(biāo)為D．當(dāng)時，曲線的焦點坐標(biāo)為11．如圖，在四面體中，分別是,,的中點，,相交于點，則下列結(jié)論中正確的是A．平面B．C．D．若分別為,的中點，則為的中點12．已知，，，則下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，有2個元素C．若有2個元素，則D．當(dāng)時，有4個元素三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．點到直線的距離為

.14．已知橢圓的左右焦點分別為.為橢圓上的點，若，，則橢圓的離心率等于

.15．已知數(shù)列的前項和為.當(dāng)時，的最小值是

.16．已知拋物線和.點在上（點與原點不重合），過點作的兩條切線，切點分別為，直線交于兩點，則的值為

.四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題共10分）已知圓經(jīng)過原點及點.（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過原點的直線與圓相交于兩點，若，求直線的方程.18．（本小題共12分）已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為.已知成等差數(shù)列，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和.19．（本小題共12分）在長方體中，.從①②這兩個條件中任選一個解答該題.①直線與平面所成角的正弦值為；②平面與平面的夾角的余弦值為.（Ⅰ）求的長度；（Ⅱ）是線段（不含端點）上的一點，若平面平面,求的值.20．（本小題共12分）如圖，圓的半徑為4，是圓內(nèi)一個定點且，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，點在圓上運動.（Ⅰ）求點的軌跡；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：直線與點形成的軌跡相切.21．（本小題共12分）某游樂園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏東為的筆直公路，其中.摩天輪近似為一個圓，其半徑為，圓心到地面的距離為，其最高點為.點正下方的地面點與公路的距離為.甲在摩天輪上，乙在公路上.（為了計算方便，甲乙兩人的身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計）（Ⅰ）如圖所示，甲位于摩天輪的點處時，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（Ⅱ）當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動時，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？22．（本小題共12分）已知雙曲線的實軸長為，直線交雙曲線于,兩點，.（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知點，過點的直線與雙曲線交于,兩點，且直線與直線的斜率存在，分別記為.問：是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.【參考答案】數(shù)學(xué)2024.01一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．C2．A3．C4．D5．A6．B7．B8．D二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．AC10．ABD11．ACD12．ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．114．15．416．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（Ⅰ）解：設(shè)原點為，易知，線段的中點為圓心，圓心坐標(biāo)為.線段的長為圓的直徑，，半徑.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………5分（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為,令，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解得或，則，不符合題意.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，將其轉(zhuǎn)化為一般式方程,圓心到直線的距離為,則,得，化簡得或，即直線的方程為或.…………10分18．（Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得：，即,，得，解得或.由于不符合題意，因此.由得，，即，.所以.…………6分（Ⅱ）由題意得，，則，則，則，則，.…………12分19．（Ⅰ）解：如圖，以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)，則,設(shè)平面的法向量.取，，，則.若選擇條件①，，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得.即.若選擇條件②，易知平面的法向量為,設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得.…………6分（Ⅱ）由題（Ⅰ）得，，，，，.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量.取，，則又，，設(shè)平面的法向量.令，，則.平面平面，,即,解得，所以.…………12分20．（Ⅰ）解：，，.因為.所以與兩個定點,的距離的和等于常數(shù)（大于）,由橢圓的定義得，點的軌跡是以為焦點，長軸長等于4的橢圓.…………6分注：若點的軌跡表述不當(dāng)，則酌情扣分.（Ⅱ）以線段的中點為坐標(biāo)原點，以過點,的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的定義得：，即；，即.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)時，點的坐標(biāo)為和.當(dāng)點的坐標(biāo)為時，已知點的坐標(biāo)為，線段的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程，聯(lián)立方程得，整理得，可得.所以直線與點形成的軌跡只有1個交點，即直線與點形成的軌跡相切.當(dāng)點的坐標(biāo)為時，同理可證.注：選擇點的其中1個位置證明即可…………12分21．（Ⅰ）解：如圖所示，設(shè)公路所在直線為，過點作的垂線，垂直為.因為圓的半徑為，圓心到地面的距離為，所以.從甲看乙的最大俯角與相等，由題意得。，則.…………6分（Ⅱ）如圖所示，設(shè)甲位于圓上的點處，直線垂直于且交圓于點，射線可以看成是射線繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度得到.過點正下方的地面點向作垂線，垂足為.當(dāng)取得最大值時，即為從乙看甲的最大仰角.山題意得：其中，表示點和點構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線的斜率取得最小值時，取最大值.因為點在單位圓上，所以當(dāng)直線與單位圓相切時，斜率取得最大值或最小值，設(shè)過點的直線方程為：，即，解得，則直線的斜率最小值為，代入可得取最大值是.…………12分22．（Ⅰ）解：由已知得.將代入方程，得,由得