廣東省深圳市南山區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（含答案）

廣東省深圳市南山區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．拋物線x2A．(1，0) B．(0，1) C．(2，0) D．(0，2)2．若{aA．a(chǎn)，a+b，a+c B．a(chǎn)C．a(chǎn)，a?c，a+c D．b3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2A．12 B．1 C．32 4．已知橢圓C：x23+k+A．(?3，1) B．(1，5) C．5．已知A(2，?3)、B(2，1)，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，A．(?∞，?2]∪[2，C．(?∞，?1]∪[1，6．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AAA．155 B．105 C．3107．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、A．3+12 B．3 C．3+18．著名的斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，又稱兔子數(shù)列，記該數(shù)列為{an}，則a1=1，a2=1，且aA．6 B．5 C．2 D．0二、多選題9．設(shè)圓C：(x?1)2+yA．C的半徑為2 B．l恒過(guò)定點(diǎn)(0C．l可能與C相切 D．當(dāng)k=1時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短10．如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，A．AD1=2C．|DF|=3 D．DF為平面11．已知公差為d的等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，且A．{aB．{SC．當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，D．當(dāng)a2=112．已知橢圓C1：x24+y2=1和C2：x24+y2=λ(λ>1)，點(diǎn)A．C1、C2的離心率相等 C．直線ON、AB的斜率之積為定值 D．四邊形OANB的面積為4三、填空題13．已知a=(1，2，?3)，b=(?214．已知數(shù)列{an}滿足a2=1，且15．已知圓C：x2+y2?2x?2y=0，點(diǎn)P在直線x+y+2=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、16．如圖，在直角△ABC中，AB=1，BC=2，D為斜邊AC上異于A、C的動(dòng)點(diǎn)，若將△ABD沿折痕BD翻折，使點(diǎn)A折至A1處，且二面角A1?BD?C的大小為π3，則線段四、解答題17．已知圓C1的圓心為(?1（1）求C1（2）設(shè)圓C2：(x?2)2+(y?4)2=r18．已知數(shù)列{an}，滿足a1=4（1）求{a（2）設(shè)bn=|an|，T19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AB⊥AD，AD=2BC，已知側(cè)棱（1）證明：CE//（2）若AB=AP=AD=2，求點(diǎn)P到平面BCE的距離．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1（1）求C的方程；（2）設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且AF=721．在四棱柱ABCD?A1B1C（1）證明：AD（2）設(shè)點(diǎn)P在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)，若∠A1AD=π3，且AB=2，記直線22．已知點(diǎn)F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，定點(diǎn)A(1，a)（其中常數(shù)a滿足a2<2p），動(dòng)點(diǎn)（1）求C的方程；（2）過(guò)A作兩條斜率分別為k1、k2的直線l1、l2，記l1與C的交點(diǎn)為B、D，l2與C的交點(diǎn)為E、G，且線段BD、（i）當(dāng)a=0，且k1k2（ii）當(dāng)k1+k

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】x2=4y是焦點(diǎn)位于所以p=2即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)故答案為：B【分析】根據(jù)拋物線定義，可直接得焦點(diǎn)坐標(biāo).2．【答案】A【解析】【解答】對(duì)于A，設(shè)x，y∈R，則xa對(duì)于B，設(shè)x，y∈R，則xa對(duì)于C，設(shè)x，y∈R，則xa+y(a對(duì)于D，設(shè)x，y∈R，則xb故答案為：A.

【分析】根據(jù)空間向量基底的定義，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)判定，即可求解.3．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)镾4=4(a1因此，等差數(shù)列{an}故答案為：B.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和a2=2，求得a34．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)闄E圓C：x23+k+y2故答案為：A.

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的方程和幾何性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，如圖所示：設(shè)直線l交線段AB于點(diǎn)M，設(shè)直線l的斜率為k，且kPA=?1+3當(dāng)點(diǎn)M在從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C（不包括點(diǎn)C）時(shí)，直線l的傾斜角逐漸增大，此時(shí)?1=k當(dāng)點(diǎn)M在從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，直線l的傾斜角逐漸增大，此時(shí)0≤k≤k綜上所述，直線l的斜率的取值范圍是[?1，故答案為：D.

【分析】設(shè)直線l的斜率為k，分別求得kPA=?1，6．【答案】B【解析】【解答】由題意，可得該三棱柱可看作正方體的一半，補(bǔ)形如下圖所示：記AD的中點(diǎn)為F，連結(jié)A1因?yàn)樵谡叫蜛BCD，E，F(xiàn)是所以EF//又A1C1故四邊形A1C1則∠FA1C為直線A設(shè)該正方體的邊長(zhǎng)為2，在Rt△AA1F在Rt△ACF中，CF=A在Rt△ACA1中，在△A1CF故答案為：B.

【分析】由題意補(bǔ)形為正方體，設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連結(jié)A1F，CF，EF，證得A1F//C1E，根據(jù)異面直線所成角的定義，得到∠FA7．【答案】C【解析】【解答】如下圖所示，易知點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，連接MF2，所以，由圓的幾何性質(zhì)可得∠F1MF2由雙曲線的定義可得|MF因此，雙曲線C的離心率為e=c故答案為：C.

【分析】連接MF2，得到∠MF1F2=8．【答案】D【解析】【解答】由性質(zhì)（1）可知a22=a2a3?a上述等式全部相加可得a2∵a1=由性質(zhì)（2）可知a365與a5的個(gè)位數(shù)相同，a366與a6的個(gè)位數(shù)相同，且不難知道，所以，a5a6的個(gè)位數(shù)為0，則a因此，a12+故答案為：D.

【分析】根據(jù)性質(zhì)（1）和題意得到a12+a22+a32+?+9．【答案】A,B,D【解析】【解答】對(duì)A，∵(x?1)2+對(duì)B，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(0，對(duì)C，將(0，1)代入圓方程有(0?1)2故直線與圓一定相交；對(duì)D，圓心C(1，0)，設(shè)直線l恒過(guò)定點(diǎn)M(0，1)，則當(dāng)直線l被C截得的弦長(zhǎng)最短，故kCM?k=?1，即1?00?1故答案為：ABD.

【分析】化簡(jiǎn)圓的方程為(x?1)2+y2=22，可判定A符合題意；由x=0時(shí)，代入圓的方程求得y=110．【答案】B,C【解析】【解答】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、則A(2，0，0)、B(2，2，0)、C1(0，2，2)、對(duì)于A選項(xiàng)，AD1=(?2，0對(duì)于B選項(xiàng)，B1D1=(?2，對(duì)于C選項(xiàng)，DF=(2，2對(duì)于D選項(xiàng)，DF?AD1=?4+2≠0故答案為：BC.

【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由AD1=?2EF，可判定A不符合題意；由，則B1D111．【答案】B,D【解析】【解答】對(duì)A，∵S10>0，S即5(a5+a6)>0，11a故{a對(duì)B，設(shè){an}的首項(xiàng)為aSnn=a1+n?1對(duì)C，由A知a6<0，即S6?S5<0則a1>?4d>0，而d<0，當(dāng)Sn對(duì)D，當(dāng)a2=1時(shí)，由A知a5+a即2+7d>01+4d<0，解得d∈(?故答案為：BD.

【分析】由S10>0，S11<0，利用等差數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)得到a5>?a6>0，得到d=a6?a5<0，可判定A不符合題意；由S12．【答案】A,C,D【解析】【解答】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，對(duì)于A選項(xiàng)，e1=4?1對(duì)于B選項(xiàng)，聯(lián)立x0x+4y0y=4由題意可知x024因?yàn)镺N=則點(diǎn)N(2x0，2y對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，橢圓C2的方程為x216則kON=2由已知可得x1216對(duì)于D選項(xiàng)，顯然四邊形OANB為平行四邊形，其面積記為S1，△OAB的面積記為S因?yàn)閤0y0≠0，所以，直線l與y軸必有交點(diǎn)，不妨設(shè)為S2=1由韋達(dá)定理可得x1+x2=2所以，S=43故答案為：ACD.

【分析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，橢圓C1、C2的離心率分別為e1、e2，結(jié)合離心率的定義，可判定A正確；聯(lián)立方程組求得x1+x2=2x0，進(jìn)而求得y1+y2=2y0，根據(jù)13．【答案】-4【解析】【解答】因?yàn)閍=(1，2，?3)，b=(?2，故答案為：-4.

【分析】根據(jù)a//b，得到方程14．【答案】2【解析】【解答】因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a則a2=?1a1+3=1，可得故答案為：2.

【分析】根據(jù)題意，得到a2=?1a115．【答案】12【解析】【解答】如圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得PB⊥BC，PA⊥AC，由切線長(zhǎng)定理可得|PA|=|PB|，又因?yàn)閨AC|=|BC|，|PC|=|PC|，所以，Rt△PAC≌Rt△PBC，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+(y?1)2=2所以，|PA|=|PC|當(dāng)PC與直線x+y+2=0垂直時(shí)，|PC|取最小值，且|PC|min所以，|PA|min所以，S四邊形PACB=2S因此，∠ACB=2∠ACP=2(90故答案為：120

【分析】由圓的幾何性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理，證得Rt△PAC≌Rt△PBC，再求得|PC|min=22，得到|PA|min=16．【答案】2【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)A1在平面A1BD內(nèi)作A1M⊥過(guò)點(diǎn)C在平面BCD內(nèi)作CN⊥直線BD，垂足為點(diǎn)N，如下圖所示：∵A1C記∠A1BD=α，則α∈(0，π2)因?yàn)槎娼茿1?BD?C的大小為π3，則NC、M∵NC且|MN所以，|=si即|A1C|≥2因此，線段A1C長(zhǎng)度的最小值為故答案為：2.

【分析】過(guò)點(diǎn)A1在平面A1BD內(nèi)作A1M⊥直線BD，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C在平面BCD內(nèi)作CN⊥直線BD，垂足為點(diǎn)N，求得A1M?MN=NC?MN=0，記∠A1BD=α，得到∠NBC=17．【答案】（1）解：由題意可知，圓C1的半徑為|O所以，C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(（2）解：易知，圓C2的圓心為C2(根據(jù)兩圓相交可知，|r-1|<|C解得4<r<6，即r的取值范圍是4<r<6【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得圓的半徑為|OC1|=1，進(jìn)而的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)兩圓相交，得到|r18．【答案】（1）解：由題可知，?n∈N*，都有∴數(shù)列{a設(shè){an}∴（2）解：由(1)可知an=5?n，令an∴當(dāng)n>5時(shí)，an當(dāng)n≤5時(shí)，an∴=2(=2×【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到an+2?an+1=an+1?an，得到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，根據(jù)a1=419．【答案】（1）證明：設(shè)F為PA的中點(diǎn)，連接BF，EF，∵E是PD的中點(diǎn)，∴EF//∵AD=2BC∴EF//∴四邊形EFBC是平行四邊形，∴CE//又∵BF?平面ABP，CE?∴CE//平面ABP（2）解：由于側(cè)棱AP⊥平面ABCD，AB，AD?面∴AP⊥AB，AP⊥AD，∵AB⊥AD，則以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在的直線為x軸，y軸，∵AD=2，∴BC=1∴P(0，0，2)∴BC=(1，設(shè)平面BCE的法向量n=則有n?BC=0令y=1，則n=∴點(diǎn)P到平面BCE的距離d=|【解析】【分析】（1）設(shè)F為PA的中點(diǎn)，連接BF，EF，證得四邊形EFBC是平行四邊形，得到CE//BF，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得CE//平面ABP；

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BCE的一個(gè)法向量n20．【答案】（1）解：由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其漸近線方程為y=±abx可得b2將P(3，2)代入可得所以雙曲線C的方程為y2（2）解：由（1）可知，上焦點(diǎn)F(設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，聯(lián)立y2?x所以x又AF=7BF，即(?x所以x1+x2=8所以直線l的斜率為±【解析】【分析】（1）由雙曲線漸近線方程得到b2=3a2，再將P代入雙曲線的方程，求得a，b的值，即可求得雙曲線的方程；

（2）設(shè)直線l的斜率為k，得到直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立方程組求得x1+x21．【答案】（1）證明：連接A1∵平面ADD1A1⊥平面ABCD∴CD⊥平面ADD∵A1D?平面AD∵A1D與A∵CD∩A1D=D，∴AD1⊥平面A1CD∴AD（2）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1則A(∴設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(即(2?m)x?y?3z=0∴sinθ=|n又0≤m≤2，∴m=1，即【解析】【分析】（1）連接A1D，利用面面垂直的性質(zhì)，證得CD⊥平面ADD1A1，得出AD1⊥CD，再由AD1⊥A1D，根據(jù)線面垂直的判定定理得到AD122．【答案】（1）解：易知拋物線C的準(zhǔn)線l的方程為x=?p過(guò)點(diǎn)P作PA'⊥l，垂足為點(diǎn)A所以，|PF|+|PA|=|PA'|+|PA|≥|AA'|=1+p所以，1+p2=2，可得p=2，拋物線C（2）解：若l1與x軸平行，則l1與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，k1設(shè)直線l1的方程為x?1=m1(y?a)，直線易知k1=1m1（i）因?yàn)閍=0，且k1k2=?1，所以，不妨設(shè)B(x1，y1)、Δ=16m12+16>0恒成立，由韋達(dá)定理可得所以，點(diǎn)M(2m12所以，S==22+當(dāng)且僅當(dāng)m1所以，△AMN面積的最小值為4