數(shù)學優(yōu)化訓練：空間中的平行關系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2.2空間中的平行關系5分鐘訓練（預習類訓練,可用于課前）1.能保證直線a與平面α平行的條件是（）A。aα，bα,a∥bB。bα,a∥bC。bα，cα,a∥cD.bα,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b，且AC=BD解析:由直線與平面平行的判定定理可知，注意區(qū)別D的說法,我們可以使得AB與平面相交,而且A、C兩點分居平面的兩側，但滿足AC=BD。答案：A2。若平面α∥平面β，直線aα，直線bβ，那么直線a、b的位置關系是()A。垂直B。平行C.異面D.不相交解析：直線a、b可以是平面α、β內的任意兩條直線，它們可以平行，也可以異面，即只能判斷出它們是不相交的，選D。答案：D3.過平面外一點可以作_____________條直線與已知平面平行；過平面外一點可以作_____________平面與已知平面平行.解析：過平面外一點，可以作無數(shù)條直線與已知平面平行，但過平面外一點，只可以作一個平面與已知平面平行答案：無數(shù)一個4.已知a、b是異面直線,且a平面α，b平面β,a∥β，b∥α,則平面α與平面β的位置關系是。解析:若αβ,則α∩β=c?！遖∥β，α∩β=c,∴a∥c.同理b∥α，α∩β=c，∴b∥c。∴a∥b，與a、b是異面直線矛盾.∴α∥β。答案:α∥β10分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中)1.已知α∥β,aα，B∈β,則在β內過點B的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一一條與a平行的直線解析：由于α∥β,aα，B∈β，所以由直線a與點B確定一個平面，這個平面與這兩個平行平面分別相交，并且這兩條交線平行,選D。答案：D2.下列說法中，錯誤的是()A.平行于同一直線的兩個平面平行B。平行于同一平面的兩個平面平行C。一個平面與兩個平行平面相交,交線平行D。一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交解析：平行于同一直線的兩個平面有可能相交.正方體ABCD—A1B1C1D1中,平面ABCD與A1ABB1都與CD平行，但平面ABCD與A1ABB1答案：A3。已知α∥β，O是兩平面外一點，過O作三條直線和平面α交于不在同一直線上的A、B、C三點，和平面β交于A′、B′、C′三點,則△ABC與△A′B′C′的關系是_____________,若AB=a，A′B′=b，B′C′=c，則BC的長是_____________。解析：已知α∥β，則AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，∴△ABC與△A′B′C′相似，對應邊成比例，相似比為，有，解得BC=。答案:相似4。如圖1-2-2—1，A是平面BCD外的一點,G、H分別是△ABC、△ACD的重心.求證：GH∥BD.圖1-2—2—1證明：連結AG、AH,分別交BC、CD于M、N,連結MN,∵G、H分別是△ABC、△ACD的重心，∴M、N分別是BC、CD的中點.∴MN∥BD。又∵,∴GH∥MN.由公理4知GH∥BD.5.如圖1—2—2—2，在三棱錐P—ABC中，點O、D分別是AC、PC的中點，求證:OD∥平面PAB。圖1-2-2-2證明：∵點O、D分別是AC、PC的中點，∴OD∥AP.又∵OD平面PAB,AP平面PAB，∴OD∥平面PAB.6。正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是AB、CC1、AA1、C1D1證明：如圖,取A1B1中點G,連結GE、A1N、A1B.因為NF∥A1B,所以A1、N、F、B共面，且NF∥ME。又GE∥CC1且GE=CC1，所以C1G∥EC.同理A1N∥C1G，所以A30分鐘訓練（鞏固類訓練,可用于課后)1。已知a、b、c是三條不重合的直線,α、β、γ是三個不重合的平面，下面六個命題：①a∥c,b∥ca∥b;②a∥γ，b∥γa∥b；③c∥α，c∥βα∥β；④γ∥α,β∥αβ∥γ;⑤a∥c，α∥ca∥α;⑥a∥γ，α∥γa∥α.其中正確的命題是()A.①④B.①④⑤C.①②③D.②④⑥解析：①平行公理，故①正確；②和同一平面平行的兩直線可相交、平行或異面,故②不正確；③若α∩β=l,c∥l,也可滿足條件，故③不正確；④由平面平行的傳遞性知④正確；⑤當aα時,aα,⑤不正確;⑥當aα時不成立,故選A.答案：A2.已知下列敘述：①一條直線和另一條直線平行，那么它就和經過另一條直線的任何平面平行;②一條直線平行于一個平面，則這條直線與這個平面內所有直線都沒有公共點，因此這條直線與這個平面內的所有直線都平行；③若直線l與平面α不平行，則l與α內任一直線都不平行;④與一平面內無數(shù)條直線都平行的直線必與此平面平行.其中正確的個數(shù)是（)A。0B.1C.2解析：一條直線和另一條直線平行，那么它就在經過這兩條直線的平面內,①錯；一條直線平行于一個平面，這個平面內的直線可能與它異面，②錯；選項③④中，直線有可能在平面內.答案：A3.平面α∥平面β，AB、CD是夾在α和β間的兩條線段，E、F分別為AB、CD的中點，則EF與α（)A.平行B。相交C。垂直D.不能確定解析:連結AD并取AD的中點M,連結EM與FM，則可得出EM∥平面β且FM∥平面α，故平面EFM∥平面α，∴EF與α平行.答案：A4.經過平面外兩點與這個平面平行的平面（)A。只有一個B.至少有一個C?？赡軟]有D.有無數(shù)個解析：若經過這兩點的直線與這個平面相交，則經過這兩點的任何一個平面與這個平面都相交；若經過這兩點的直線與這個平面平行，則經過這兩點的平面與這個平面可能相交也可能平行。答案：C5。對于直線m、n和平面α，下面命題中的真命題是()A。如果mα,nα,m、n是異面直線,那么n∥αB.如果mα，nα,m、n是異面直線，那么n與α相交C。如果mα，n∥α，m、n共面,那么m∥nD.如果m∥α，n∥α,m、n共面，那么m∥n解析：如果mα,n∥α,m、n共面，根據(jù)線面平行性質定理,則m∥n，在A中,n與α可能相交,在B中，n與α可能異面.D。m∥n，不一定,可能相交或異面.答案：C6.下列說法正確的是（）A.直線l平行于平面α內的無數(shù)條直線，則l∥αB.若直線a在平面α外,則a∥αC。若直線a∥b，直線bα，則a∥αD。若直線a∥b，bα，那么直線a就平行于平面α內的無數(shù)條直線解：∵直線l雖與平面α內無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內，∴l(xiāng)不一定平行于α,從而排除A。∵直線a在平面α外，包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行,從而排除B?！咧本€a∥b，bα，則只能說明a和b無公共點，但a可能在平面α內，∴a不一定平行于α,從而排除C?！遖∥b，bα,則aα或a∥α,∴a可以與平面α內的無數(shù)條直線平行.∴選D。答案：D7.α、β、γ是三個兩兩平行的平面,且α與β之間的距離是3，α與γ之間的距離是4，則β與γ之間的距離是______________。解析:β與γ位于α的兩側時，β與γ間的距離等于7;β與γ位于α同側時,β與γ間的距離等于1.答案：1或78。P是平行四邊形ABCD所在平面外一點,Q是PA的中點，則直線PC和平面BDQ的關系為______________.解析：連結AC、BD交于點O，可證得PC∥OQ，∴PC∥平面BDQ.答案：PC∥平面BDQ9.如圖1—2—2—3所示，平面α∥平面β,△ABC、△A′B′C′分別在α、β內，線段AA′、BB′、CC′共點于O，O在α、β之間，若AB=2，AC=1,∠BAC=60°，OA∶OA′=3∶2，則△A′B′C′的面積為______________。圖1-2—2-3圖1-2—2—4解析：可證明AB∥A′B′，同理BC∥B′C′，CA∥C′A′且方向相反.∴△ABC∽△A′B′C′,它們的三內角相等..S△ABC=×2×1×，∴S△A′B′C′=.答案：10.如圖1-2-2—4,已知α∩β=a，β∩γ=b,γ∩α=c，a∥b。求證:a∥c.證明：∵bγ，aγ，a∥b,∴a∥γ.又∵aα,α∩γ=c，∴a∥c。11。如圖1-2—2—5,已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形,AB=2，AF=1,M是線段EF的中點.求證：AM∥平面BDE.圖1—2-2—5解析：注意到AC與BD互相平分，且EF∥AC，因而可考慮構造平行四邊形。證明：記AC與BD的交點為O，連結OE，∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形?！郃M∥OE.又∵OE平面BDE，AM平面BDE,∴AM∥平面BDE。12.如圖1-2-2—6，P是△ABC所在平面外的一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心。圖1—2—2-6（1）求證:平面A′B′C′∥平面ABC;(2）求△A′B′C′與△ABC的面積之比。(1)證明:連結PA′、PC′，并延長交BC、AB于M