數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：平面向量基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.2.1平面向量基本定理5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1。下列各組向量中，一定能作為基底的是（)A。a=0，b≠0B。a=3e,b=—3e（e≠0）C。a=2e1-e2,b=e1+2e2(e1,e2不共線）D.a=e1+e2,b=-2e1-2e2(e1，e2不共線)解析：由平面向量基本定理知，a、b應(yīng)不共線，∴選C.答案：C2.O為平面上任一點(diǎn)，=x+y,若A,B，C三點(diǎn)共線,則必有（）A。x+y=1B.x-y=1C.x=-yD.x，y為任意實(shí)數(shù)解析：A、B、C三點(diǎn)共線，則=（1-t）+t，知x+y=1—t+t=1。答案：A3。M為線段AB的中點(diǎn),O為平面上任一點(diǎn)，=x+y，則有x=____________，y=____________。解析：由線段AB的中點(diǎn)的向量表達(dá)式知x=y=.答案：4.已知四邊形ABCD中，=+,設(shè)=a,=b,用a，b表示=____________.解：由=+知,四邊形ABCD為平行四邊形,∴=-=a—b.答案:a-b10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1。如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底,那么，下列命題正確的是（）A.若實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0B。空間任一向量a都可以表示為a=λ1e1+λ2e2,其中λ1，λ2∈RC.λ1e1+λ2e2不一定在平面α內(nèi)，其中λ1,λ2∈RD。對(duì)于平面a內(nèi)任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1,λ2有無(wú)數(shù)對(duì)解析：利用平面向量基本定理。答案：A2.已知ABCDEF為正六邊形，且=a，=b，則等于（)A.（a-b）B.(b—a)C.a+bD。（a+b)解析：∵==a，∴=+=b+a，∴==（a+b).答案：D3。向量e1，e2不共線，則a=e1—2e2,b=λe1+4e2共線的條件是（）A。λ=0B.λ=C。λ=-2D.λ=2解析：要使a∥b,即存在k使e1-2e2=k(λe1+4e2），∴解得答案：C4.已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A、C）,則等于(）A。λ（+)，λ∈（0,1)B.λ(+），λ∈(0，)C。λ（-），λ∈(0，1）D.λ(—），λ∈(0，）解析：如圖，由向量的運(yùn)算法則=+及點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，所以與同向，且|｜＜||，故=λ（+)，λ∈（0，1）.答案：A5.若2x+y=a,x-2y=b,其中a，b為已知向量，則x=____________,y=____________.解析：可解方程組即得答案：（a+b）a—b6.若A，B，C三點(diǎn)共線，+λ=2，則λ=____________.解析:由=-λ+2，且A,B,C三點(diǎn)共線知-λ+2=1，∴λ=1。答案:130分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1。設(shè)=(a+5b），=-2a+8b，=3（a—b），那么下面各組中三點(diǎn)一定共線的是（)A.A，B，CB.A，B，DC。A，C，DD。B，C,D解析：=a+5b，=（a+5b)，∴=，∴∥，且AB,BD有共同點(diǎn)B?！郃,B，D共線.答案：B2。e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，下列四組向量中,不能作為一組基底的是()A.e1+e2和e1-e2B.3e1-2e2和4e2-6e1C。e1+2e2和e2+2e1D.e2和e1+e2解：由題意，知e1，e2不共線，所以易看出B中4e2—6e1=—2（3e1—2e2），即3e1-2e2與4e2—6e1共線。答案：B3.如圖2—2—1,已知△ABC中，N，M，P順次是AB的四等分點(diǎn),=e1,=e2，則下列正確的是()圖2-2—1A。=e1+e2,=B。=e1-e2，=C。=，=(e1+e2)D.=（e1-e2），=e1+e2解析：N為AB中點(diǎn)，即得=(+）=（e1+e2），而M又為AN中點(diǎn)，=（+）=(e2+e1+e2)=e1+e2，∴A正確。B中應(yīng)是=e1+e2，C中=（e1-e2），D中=e1—e2.答案：A4。已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA,AB的中點(diǎn)，且=a，=b，=c，則：①=(b+c);②=a+b；③=（b+c)。其中正確的有______________個(gè)。（）A。0B.1C解析:①=-a=—(-b—c)=(b+c）;②=+=a+b；③=(+)=（c-b）?！啖佗谡_。答案：C5。如圖2—2-2,已知=a，=b，且|a｜=｜b｜，O點(diǎn)關(guān)于線段AB的對(duì)稱點(diǎn)為S，則等于()圖2—2—2A.a-bB.2（a+b)C。b-aD。a+b解析:由|a｜=|b｜知，｜｜=||，∴OS垂直平分AB,四邊形OBSA為平行四邊形,∴=a+b。答案：D6。（2006高考湖南卷,文10）如圖2-2—3，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界）,且=x+y，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，y)可以是(）圖2-2—3A.（）B。(）C.（)D.（）解析:=a+b(a,b∈R+,0＜b＜1)=aλ+b（λ＞0)=aλ（—）+b=-aλ+（aλ+b）=x+y,則x=-aλ＜0，y=aλ+b，∴x+y=b∈（0，1).∴選C。答案:C7。設(shè)e1,e2為一組基底,a=—e1+2e2,b=e1—e2，c=3e1—2e2,用a，b為基底將c表示為c=pa+qb，則實(shí)數(shù)p，q的值分別為_(kāi)___________與____________.解析：c=pa+qb,即3e1-2e2=（—pe1+2pe2)+（qe1—qe2）=(q—p）e1+(2p—q）e2,∴答案：148。若=3e1，=-5e2，且|｜=｜|,=，則四邊形ABCD是____________。解析：∵=，∴AB∥CD,且|｜=|｜.∴四邊形ABCD為等腰梯形.答案：等腰梯形9。起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a，b，3a-λb的終點(diǎn)在一條線上，則λ=_____________解析：設(shè)=a,=b，=3a-λb=3-λ，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴3+（—λ）=1?！唳?2.答案：210。已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB,AC，BC的中點(diǎn)，求證：四邊形BDEF為平行四邊形。證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴=，=，=—=（—)=。又F是BC的中點(diǎn)?！?.∴=.所以DE∥BF且DE=BF,即四邊形BDEF為平行四邊形。11.已知向量a=—e1+3e2+2e3,b=4e