數(shù)學優(yōu)化訓練：向量的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.5向量的應用5分鐘訓練（預習類訓練,可用于課前）1。已知三個力F1=(3，4），F(xiàn)2=(2，-5）,F3=(x，y）的合力F1+F2+F3=0.求F3的坐標.解:由題設F1+F2+F3=0，得(3,4)+（2，—5)+(x，y)=(0，0)，即∴F3=（—5，1）.2。在四邊形ABCD中,·=0,且=,則四邊形ABCD是()A。梯形B。菱形C。矩形D.正方形思路解析:由·=0得AB⊥BC，又=，∴AB與DC平行且相等。從而四邊形ABCD是矩形.答案：C10分鐘訓練（強化類訓練，可用于課中）1.某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛,感到風從正北方向吹來；而當速度為2a時，感到風從東北方向吹來。試求實際風速和方向。解：設a表示此人以每小時a千米的速度向東行駛的向量，無風時此人感到風速為—a，設實際風速為v,那么此時人感到的風速為v—a。設=—a，=—2a.∵+=，∴=v—a。這就是感到由正北方向吹來的風速?！?=，∴=v—2a.于是當此人的速度是原來的2倍時所感受到由東北方向吹來的風速就是.由題意知∠PBO=45°,⊥BO,BA=AO，可知△POB為等腰直角三角形，∴PO=PB=a，即｜v｜=a.∴實際風速是a的西北風.2.已知兩恒力F1=（3，4）、F2=（6,-5)作用于同一質點,使之由點A(20,15）移動到點B（7,0）。試求:（1）F1、F2分別對質點所做的功；(2)F1、F2的合力F對質點所做的功。思路解析:設物體在力F作用下位移為s，則所做的功為W=F·s。解：=(7，0)—（20,15)=（—13，—15)。(1）W1=F1·=（3,4)·(-13，—15)=-99（焦耳），W2=F2·=(6，-5）·(-13，—15）=—3（焦耳）.(2)W=F·=(F1+F2）·=［（3，4）+(6,—5）］·(-13,-15）=(9，-1)·（—13，-15）=-102（焦耳)。3。（2005上海)直角坐標平面xOy中，若定點A(1，2)與動點P（x,y）滿足·=4，則點P的軌跡方程是_________________。思路解析:設點P的坐標是(x,y），則由·=4知x+2y=4x+2y—4=0.答案：x+2y—4=04。如圖2—5-1所示，已知AC、BD是梯形ABCD的對角線，E、F分別為BD、AC的中點,求證:EF圖2證明：設=a，=b.∵∥，∴=λ=λb。則=-=b-a.∵E為BD的中點，∴==（b—a）?！逨為AC的中點，∴=+=+=+(—)=(+）=(-）=(λb-a)?！?—=（λb-a)—（b-a)=（λ-）b=［（λ-）·].∴∥，即EF∥BC。5。如圖2-5—2所示，已知四邊形ABCD是菱形,AC和BD是它的兩條對角線.求證：AC圖2思路解析:對于線段的垂直,可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件.而對于這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的條件。證法一:∵=+,=—，∴·=（+)·（-)=｜｜2-｜|2=0?！郃C⊥BD.證法二：以BC所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設B(0，0)，A(a，b)，C（c，0），則由|AB|=|BC|得a2+b2=c2?！?—=（c，0)-（a，b）=（c—a，—b），=+=(a，b)+（c，0）=（c+a，b)，∴·=c2-a2-b2=0?！唷停碅C⊥BD.志鴻教育樂園少年風范約翰是個聰穎的孩子，成績不算很好，但凡事都有獨特的見解。一次,老師請一位心理學家來考他，那位專家單刀直入地問道：“《羅密歐與朱麗葉》是誰的作品？"“我怎么會知道呢!”約翰愛理不理地答道，“像我這樣的年紀，是不會看莎士比亞的作品的。"30分鐘訓練（鞏固類訓練，可用于課后）1。用力F推動一物體G，使其沿水平方向運動s，F(xiàn)與垂直方向的夾角為θ，則F對物體G所做的功為()A.F·s·cosθB.F·s·sinθC。|F｜·s·cosθD.|F｜·s·sinθ思路解析：根據(jù)力對物體做功的定義，W=F·s·cos（90°—θ）=F·s·sinθ。答案：B2.一船從某河一岸駛向另一岸，船速為v1、水速為v2,已知船可垂直到達對岸，則()A.｜v1|＜|v2|B。｜v1｜＞｜v2｜C.｜v1｜≤｜v2|D.|v1|≥|v2|思路解析：只有當船速大于水速時，船速在水速方向的分速度能夠和水速抵消，船才能垂直到達對岸.答案:B3.平面上有兩個向量e1=(1,0）,e2=(0，1)，今有動點P從P0（-1，2）開始沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為|e1+e2|.另一點Q從Q0（-2,-1)出發(fā)，沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為｜3e1+2e2|.設P、Q在t=0秒時分別在P0、Q0處，則當PQ⊥P0Q0時，t=_________________。思路解析：∵P0（-1，2），Q0(-2，-1），∴=(-1,—3）.又∵e1+e2=（1，1），∴｜e1+e2|=.∵3e1+2e2=（3，2)，∴｜3e1+2e2｜=.∴當t時刻時，點P的位置為（-1+t，2+t),點Q的位置為（-2+3t，-1+2t）.∴=(—1+2t，-3+t).∵PQ⊥P0Q0,∴（-1）·（—1+2t）+（—3)·（—3+t）=0.∴t=2。答案:24。已知A(—1，-1）、B(1，3）、C(2,5)，求證:A、B、C三點共線。證明：∵=(2，4),=(1,2)，∴=2.∴∥,且與有公共點B.∴A、B、C三點共線。5.設a、b、c是兩兩不共線的三個向量。（1)如果a+b+c=0，求證:以a、b、c的模為邊,必構成一個三角形；（2）如果向量a、b、c能構成一個三角形,問它們應該有怎樣的關系?思路解析:運用向量加法的三角形法則及多邊形法則即可解答.解:(1）如圖，作=a,=b，=c。按向量加法的多邊形法則有=++=a+b+c=0。∴B與D重合,故向量a、b、c能構成一個三角形.（2)設向量a、b、c能構成一個三角形ABC,根據(jù)向量加法的三角形法則，有+=，即++=0.∵a=—，b=—,c=—，∴a、b、c有下列四種關系之一即可:①a+b—c=0，②a+b+c=0,③a-b-c=0,④a—b+c=0。6。用向量法證明三角形的三條高線交于一點.思路解析：本題主要考查向量在幾何中的應用.通常情況下，用向量作工具證明幾何問題時，往往要先設一些向量作為基本向量。證明:如右圖,AD、BE、CF是△ABC的三條高，設BE、CF交于點H.方法一:設=a，=b，=h，則=h—a，=h—b，=b-a，∵⊥，⊥,∴(h-a)·b=0,(h-b）·a=0?！啵╤—a)·b=(h—b)·a。化簡得h·(b—a）=0.∴⊥.∴AH與AD重合，即AD、BE、CF交于一點。方法二:設=a，=b，=c，則=b-a，=c-a，=b-c，∵⊥，⊥，∴b·(c—a)=0，c·(b-a）=0?！郻·(c—a)=c·(b—a）.∴a·b=a·c，即a·(b-c)=0.∴⊥，故AD、BE、CF交于一點.7.如圖2—5—3所示,△ABC三邊長為a、b、c，以A為圓心,r為半徑作圓，PQ為直徑,試判斷P、Q在什么位置時,圖2思路解析：先構造向量表示和,然后運用向量的運算建立目標函數(shù),再利用向量的數(shù)量積a·b≤｜a|｜b｜求解。解：∵+=，+==—,∴·=（-）·（—-)=-2+·+·—·=-r2+·+·(-）=·+·—r2=cbcos∠BCA+·—r2?！遰、a、b、c,∠BAC均為定值,故當且僅當·有最大值時,·有最大值.而當與同向共線時，其夾角為0°，有·=ra.∴當∥，且與反向時，·有最大值bccos∠BAC+ar-r2.8.如圖2—5-4所示，已知A、B、C是不共線的三點，O是△ABC內的一