數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：向量平行的坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4。3向量平行的坐標(biāo)表示5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前）1。（高考全國卷Ⅲ,文1)已知向量a=(4,2)，向量b=(x，3)，且a∥b，則x等于（)A.9B。6C。5解析：由a∥b的條件：4×3-2x=0∴x=6。答案：B2。已知向量=（6，1)，=（x，y)，=（—2，-3），當(dāng)∥時(shí),則實(shí)數(shù)x、y應(yīng)滿足的關(guān)系是_____________.解析:==—（++)=—［（6，1）+（x，y）+(-2,-3）］=（-x-4,-y+2），=（x，y).當(dāng)∥時(shí),x（-y+2)—y（—x—4）=0，化簡得y=x。所以當(dāng)∥時(shí)，x、y應(yīng)滿足y=x。答案：y=x3。已知a=（2，—1），b=（x,2)，c=（-3，y），且a∥b∥c.求x、y的值.解：由a∥b得4+x=0,∴x=—4.由a∥c得2y—3=0，∴y=.∴x=-4，y=.4。已知a=(1，2），b=（—3，2），當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a-3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向?解法一:ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k—3，2k+2），a—3b=（1，2)-3(—3，2）=（10，-4)。當(dāng)ka+b與a-3b平行時(shí),存在唯一實(shí)數(shù)λ，使ka+b=λ（a—3b）。由（k—3，2k+2)=λ(10，-4)，∴解得k=,λ=.當(dāng)k=時(shí)，ka+b與a—3b平行，這時(shí)ka+b=a+b.∵λ=＜0，∴a+b與a-3b反向.解法二：由解法一知ka+b=（k—3，2k+2），a—3b=(10，—4），∵（ka+b）∥（a—3b），∴（k—3)×（-4）-10×（2k+2）=0.解得k=，此時(shí)ka+b=（-3,+2）=（）=（10，—4）=（a-3b）.∴當(dāng)k=時(shí),ka+b與a—3b平行并且反向。10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1.下列選項(xiàng)中所給向量共線的有（）A。(1，5），(5，-5)B.(2，-3），（，）C.(1，0)，(0，1）D。（1，-3)，（8，)解析:由平面向量共線的條件,只需將所給坐標(biāo)代入公式，看“x1y2—x2y1=0"是否成立即可.答案：B2.與a=(12，5)平行的單位向量為（)A.（）B.(）C.(）或()D.(±,±)解析:利用平行與單位向量兩個(gè)條件,即可求得.答案:C3。已知｜a|=10,b=（3,4）,a∥b，則向量a=_______________.解析:首先設(shè)a=(x，y），然后利用｜a｜=10,a∥b,列出含x、y的兩個(gè)等式解出x、y。答案:（6，8)或（-6，-8）4.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=（3，2）,b=(-1,2），c=（4，1）.（1）求3a+b—2（2）求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m和n；（3)若（a+kc)∥（2b—a），求實(shí)數(shù)k；(4)設(shè)d=（x,y)滿足（d-c)∥(a+b)且|d—c｜=1，求d。解：（1）3a+b-2c=3(3，2）+(-1,2)—2（4，1)=（9,6)+（—1，2)—（8，2)=（（2)∵a=mb+nc,m、n∈R，∴（3，2)=m（-1,2)+n(4,1)=(—m+4n，2m+n）.∴（3）∵（a+kc）∥（2b—a）且a+kc=(3+4k，2+k)2b—a=(—5，2），∴（3+4k）×2-（-5）×(2+k）=0?！鄈=.（4）∵d—c=（x-4，y—1），a+b=（2,4)，且（d-c)∥（a+b)且|d—c|=1,∴解得∴d=（）或d=()。5.已知a=（x1，y1),b=（x2，y2)且a≠0，b≠0，ab。求證：a+ba—b。證明：∵a+b=（x1+x2，y1+y2），a-b=（x1-x2，y1-y2）,假設(shè)a+b∥a-b，則(x1+x2）(y1—y2）-（y1+y2)（x1-x2）=0,即x1y1+x2y1—x1y2—x2y2-x1y1—x1y2+x2y1+x2y2=0,2（x2y1-x1y2）=0,x1y2—x2y1=0.∵a≠0，b≠0，∴a∥b與已知矛盾，故a+ba—b。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1。已知A、B、C三點(diǎn)共線，且A（3,—6)、B（-5,2)，若C點(diǎn)橫坐標(biāo)為6,則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A.—13B.9C解析：設(shè)C（6,y）,則∥.又=(—8，8)，=(3,y+6）,∴—8（y+6）—3×8=0?！鄖=-9.答案：C2。與a=（—5，4）不平行的向量是（)A.（-5k，4k）B.（）C。(—10,2）D.（5k，-4k）解析：∵A、B、D都滿足x1y2-x2y1=0，∴選C.答案：C3。已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2，—2）、(4，3），向量p的坐標(biāo)為（2k-1，7）,且p∥,則k的值是()A。B。C.D.解析:∵A（2，-2）,B(4，3），∴=(2，5）.又p∥，∴14-5（2k-1）=0，即k=.答案:B4。若a=（3，4）,b∥a且b的起點(diǎn)為(1，2），終點(diǎn)為（x，3x）,則b=_____________。解析：∵b=（x，3x）-（1,2)=（x—1,3x-2），且b∥a，∴3（3x—2）—4（x—1）=0.∴x=。∴b=（）.答案：（）5.已知點(diǎn)M(x，y）在向量=（1，2)所在的直線上，則x、y所滿足的條件為______________.解析：∵M(jìn)在所在的直線上，∴∥.又=(x，y），=（1，2），∴2x-y=0，即y=2x。答案：y=2x6。若a=(-1，x）與b=（-x，2）共線且方向相同，則x=______________。解析：∵a與b共線，-2+x2=0，∴x=±。當(dāng)x=時(shí)，a=（-1，），b=(，2）=，∴a與b同向.當(dāng)x=時(shí)，a=(-1,），b=（,2）=(1，)=（-1，)，∴a、b反向.答案：7。已知兩點(diǎn)A（1,1）、B（4，5)，則與共線的方向向量e的坐標(biāo)是________________。解析：由單位向量的定義和共線向量定理，知的單位向量e=λ,所以|e|=｜λ||｜.所以｜λ｜=，得解法一。另外所求向量e受兩個(gè)條件約束，其一是單位向量，即|e｜=1，其二是與共線,即=μe。由此可建立e的坐標(biāo)的方程組,得解法二.解法一：由題意知e=±。又=（3，4），故e的坐標(biāo)為（）或(）.解法二：設(shè)e=（x,y）,則由題意可得x2+y2=1。①又e與共線，故存在實(shí)數(shù)μ使=μe,即消去μ，得y=.代入①可得e的坐標(biāo)為（）或（)。答案:（)或（)8。已知a=（3，2），b=(2，-1）,若λa+b與a+λb(λ∈R）平行,求λ的值。解:λa+b=λ(3，2）+（2，—1）=（3λ+2，2λ-1），a+λb=（3,2）+λ（2,—1）=（3+2λ,2-λ)。由題意知（3λ+2）（2-λ)-（3+2λ)（2λ—1）=0，化簡得λ2=1，即λ=±1.9.已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，0）、B（4，3）、C（2,4)、D（0，2）.試證明四邊形ABCD是梯形.證明：∵=(4,3）—（1,0）=(3，3），=（0，2）—（2，4）=（-2，-2)，∴=，故與共線,即∥。∴AB∥CD?！?（0，2）—（1，0）=(—1，2）,=（2,4）—(4，3）=(-2，1），又∵（—1)×1-2×（-2）≠0，∴AD不平行于BC.∴四邊形ABCD是梯形.10。已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0）、(3,-1）、(1,2)，=,BF=.求證:∥.證明：設(shè)E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y