數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：向量數(shù)量積的運(yùn)算律

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1.有下面四個(gè)關(guān)系式：①0·0=0；②(a·b)c=a(b·c）；③a·b=b·a；④0aA.4B.3C.2解析:只有③是正確的.①錯(cuò)，因?yàn)閿?shù)量積的結(jié)果是數(shù)量而不是向量；②錯(cuò)，因?yàn)閿?shù)量積不滿足結(jié)合律;④錯(cuò)，因?yàn)閷?shí)數(shù)與向量的積結(jié)果應(yīng)是向量.答案：D2.已知e1和e2是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面的向量中與2e2—e1垂直的是（）A。e1+e2B。e1-e2C。e1D。解析：依題意，｜e1｜2=|e2｜2=1，θ=,∴e1·e2=｜e1｜｜e2｜c(diǎn)osθ=.對(duì)于A,（e1+e2)·（2e2—e1)=2e22—e12+e1·e2=;對(duì)于B，(e1-e2)·(2e2-e1）=—2e22—e12+3e1·e2=；對(duì)于C，e1·（2e2—e1）=2e1·e2—e12=0;對(duì)于D，e2·(2e2-e1)=2e22-e1·e2=.∴e1⊥（2e2-e1).答案:C3.已知|a｜=｜b|=5,向量a與b的夾角為，則|a+b|、|a-b|的值分別為___________、___________.解析：依題意得a2=｜a|2=25，b2=|b｜2=25.a·b=|a｜|b|cosθ=5×5×cos=.∴|a+b|=。同理,｜a—b|==5。答案：54.已知|a｜=6，|b|=4，a與b的夾角為60°，則（a+2b）·(a-3b）=___________。解:（a+2b）·（a-3b)=a·a—a·b—6b·b=｜a｜2—a·b—6｜b|2=｜a|2—｜a|｜b｜c(diǎn)osθ-6｜b｜2=62—6×4×cos60°—6×42=-72.答案：—7210分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1.關(guān)于向量a、b,下列命題中正確的是（）A.a—b=a+(—b）B。a—a=0C.|a-b｜＞｜a｜—｜b|D.a∥b存在唯一的λ∈R，使b=λa解析：向量的和與差仍是向量,因此B是錯(cuò)誤的，應(yīng)改為a—a=0.根據(jù)向量減法的三角形法則，當(dāng)非零向量a與b不共線時(shí),|a-b|＞|a｜—｜b｜；當(dāng)a與b同向或a，b中有一個(gè)為0時(shí),|a-b｜=||a｜—｜b｜｜，因此C不正確;D是在判斷兩向量平行時(shí)最常見的錯(cuò)誤，它成立的前提是a≠0。答案：A2.向量m和n滿足|m|=1，｜n｜=2,且m⊥（m-n），則m與n夾角的大小為（）A。30°B。45°C.75°D。135°解析：設(shè)m與n夾角為θ,則由m⊥(m-n),知m·(m-n）=0，m2-m·n=0，∴m·n=m2=|m|2=1?！郼osθ=.∴θ=45°.答案：B3。已知非零向量a、b、c兩兩夾角相等,且|a|=|b｜=｜c(diǎn)｜=1，則｜a+b+c|等于（）A。0B。1C解析：a、b、c兩兩夾角相等有兩種情形:夾角為0°（即三個(gè)向量同向)和夾角為120°.答案：D4.若向量a、b、c滿足a+b+c=0,且｜a｜=3，|b｜=1，|c｜=4，則a·b+b·c+c·a=___________.解析：解法一：根據(jù)已知條件，知|c|=|a|+|b|，c=-a—b，從而可知a與b同向，c與a、b反向.所以有a·b+b·c+c·a=3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3—4—12=-13.解法二：因?yàn)椋╝+b+c)2=a2+b2+c2+2（a·b+b·c+c·a)，所以a·b+b·c+c·a===—13.答案：—135。已知|a|=4，｜b|=5，且a，b夾角為60°。求值：（1)a2-b2；(2）（2a+3b）·（3a-2解:(1)a2—b2=|a|2—|b|2=42—52=-9;(2)（2a+3b)·（3a—2b）=6a2+5a·b6。在△ABC中，若·=·=·，那么點(diǎn)O是△ABC的什么特殊點(diǎn)?解：如圖,由·=·，得·(-)=0，·=0。∴⊥即OB⊥CA。同理,OC⊥AB.⊥BC.∴O為△ABC的垂心。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.以下等式中恒成立的有（）①｜a·b｜=|a|｜b|②（a·b)2=a2·b2③|a|=④a2—2b2=(a-b)·(a+b）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D。4個(gè)解析：對(duì)于①,|a·b|=｜a｜｜b|｜c(diǎn)osθ|≤|a|｜b|，僅當(dāng)θ=0°或180°時(shí)或b=0或a=0時(shí)等號(hào)成立；對(duì)于②，實(shí)質(zhì)上是依據(jù)乘法結(jié)合律進(jìn)行的變形，對(duì)于向量的內(nèi)積運(yùn)算不適用；③和④均符合運(yùn)算法則，故只有③④正確。答案：B2.若a+b=c，a-b=d,且c⊥d，則一定有()A.a=bB。｜a｜=｜b｜C.a⊥bD.｜a|=|b|且a⊥b解析：∵c⊥d，∴（a+b)·（a-b)=0.∴a2—b2=0，即|a|=｜b|，故應(yīng)選B。答案：B3.（2006高考浙江卷，文2)設(shè)向量a,b，c滿足a+b+c=0,a⊥b，|a｜=1,｜b|=2,則｜c(diǎn)|2等于(）A。1B。2C解析：｜c(diǎn)|2=|a+b｜2=a2+b2+2a·b=｜a｜2+|b|2答案:D4.已知a,b是非零向量，滿足(a—2b)⊥a,（b—2a）⊥b,則a與bA。B.C.D.解析：由（a—2b)⊥a，（b-2a)⊥b∴a·(a-2b)=0，b·（b—2a∴a2=2a·b，b2=2a·∴2|a||b|cosθ=｜a｜2=｜b｜2。cosθ=，∴θ=。答案：B5。在菱形ABCD（如圖2—3—1）中，下列關(guān)系式不正確的是（）圖2-3—1A.∥B。（+)⊥(+)C。(-)·(—）=0D?！?·解析：A顯然正確；B：+=,+=，∵菱形對(duì)角線垂直,∴⊥?！郆正確；C：—=，-=，同B一樣，正確。D：·=|||｜c(diǎn)os∠BAD，=｜｜||cos(π—∠BAD）=-｜||｜c(diǎn)os∠BAD=-｜|｜｜?！郉錯(cuò)誤.答案：D6。A、B、C、D為平面上四個(gè)互異點(diǎn)，且滿足(+—2）·（-）=0，則△ABC的形狀是（)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D。等邊三角形解析：由(+—2）·(—)=0，知［(—)+(-）]·（—)=0，（+）·(-)=0，即2=2?！鄚｜=｜｜。答案：B7。已知:a·b=，|a|=4，則b在a方向上的射影數(shù)量為_____________.解析：|a｜|b|cos〈a，b〉=,又|a|=4,∴|b｜c(diǎn)os〈a，b〉=.答案：8。設(shè)O、A、B、C為平面上的四個(gè)點(diǎn),=a，=b，=c,且a+b+c=0，a·b=b·c=c·a=-1,則|a｜+｜b|+|c|=_____________.解析：∵a·(a+b+c）=a·0=0，a·a+a·b+a·c=0，a·a-1-1=0,∴｜a|=.同理｜b｜=｜c(diǎn)|=，即｜a|+｜b｜+|c｜=。答案：9。已知|a｜=4,｜b|=3,a與b的夾角為120°，且c=a+2b，d=2a+kb（1)c⊥d；(2)c∥d？解:設(shè)c與d的夾角為θ,則由已知得c·d=(a+2b）·（2a+kb）=2a2+（4+k)a·b+2k=2×42+（4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k，｜c(diǎn)|=｜a+2b｜=，|d|=|2a+kb|=.∴cosθ=.(1）要使c⊥d，只要cosθ=0，即6k+4=0.∴k=。(2)要使c∥d，只要cosθ=±1，即=±(6k+4），解得k=4.綜上，當(dāng)k=時(shí)，c⊥d；當(dāng)k=4時(shí),c∥d。10。已知a，b為非零向量，當(dāng)a+tb（t∈R）的模取到最小值時(shí)，(1)求t的值；(2）已知a與b共線同向，求證：b⊥（a+tb）。(1)解：令m=|a+tb|，θ為a，b的夾角，則m2=｜a｜2+2ta·b+t2｜b|2=t2|b｜2+2t｜a｜|b|cosθ+|a|2=|b|2（t+cosθ）2+|a|2sin2θ，∴當(dāng)t=cosθ時(shí)，｜a+tb|有最小值|a|sinθ.（2)證明：∵a與b共線且同向，故cosθ=1，∴t=.∴b·（a+tb）=a·b+t|b|2=|a｜｜b|-｜a｜|b｜=0?！郻⊥（a+tb）.11.設(shè)a⊥b，且｜a｜=2，｜b｜=1，又k,t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，（1)若x=a+(t—3)