2025屆湖北省孝感市漢川市第二中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆湖北省孝感市漢川市第二中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則集合真子集的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點(diǎn)，，使得，且的中點(diǎn)在軸上，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．14．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．45．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸不可能為（）A． B． C． D．6．若，，，則（）A． B．C． D．7．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．8．若，則()A． B． C． D．9．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．10．一個(gè)陶瓷圓盤(pán)的半徑為，中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋，向盤(pán)中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計(jì)圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.14711．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．12．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知為實(shí)數(shù)，向量，，且，則____________．14．已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)__________．15．（5分）國(guó)家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國(guó)青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開(kāi)展2019年全國(guó)青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng)，活動(dòng)期間進(jìn)入答題專(zhuān)區(qū)，點(diǎn)擊“開(kāi)始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是，則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差是____________．16．在正方體中，已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長(zhǎng)為2，則的最小值為；其中說(shuō)法正確的是____________（寫(xiě)出所有說(shuō)法正確的編號(hào)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.18．（12分）2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年，是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際，學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題，參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率；（2）若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是，答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題，用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫(xiě)出甲公司員工在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).20．（12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

解出集合，再由含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用，含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)中點(diǎn)在軸上，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，，（）.對(duì)分成三類(lèi)，利用則，列方程，化簡(jiǎn)后求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)，，（），若，則，由，所以，即，方程無(wú)解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因?yàn)?，所以函?shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于較難的題目.3、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點(diǎn)為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意取最值的條件.5、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則.綜上所述，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當(dāng)，即時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.8、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．9、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，無(wú)意義，故排除A；又，則，故排除D；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以不單調(diào)，故排除C；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類(lèi)問(wèn)題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】

求得直線的方程，畫(huà)出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn))，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí)，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．12、B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】

由，，且，得，解得，則，則．14、【解析】

由于直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，因此過(guò)，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得，從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率．注意對(duì)稱(chēng)性，問(wèn)題應(yīng)該有兩解．【詳解】直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，，過(guò)，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義知，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，從而．設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)，如圖，則，，同理，則，解得，，由對(duì)稱(chēng)性還有滿足題意．，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來(lái)是解題關(guān)鍵．15、2【解析】

由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差．16、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點(diǎn)P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過(guò)作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.則:，，所以，設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過(guò)作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，則，所以，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）根據(jù)，求導(dǎo)，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負(fù)，求導(dǎo)，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，則，所以是的增函數(shù)，故，即.因?yàn)樗?，①?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，則若，則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則若，則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當(dāng)時(shí)，，使得，即，但當(dāng)時(shí)，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù))在上單調(diào)遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.18、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為．【解析】

（1）甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題包含兩個(gè)事件：一個(gè)抽到2道B類(lèi)題，一個(gè)是抽到3個(gè)B類(lèi)題，計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【詳解】（1）令“甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題”為事件，則抽到2道類(lèi)題有種取法，抽到3道類(lèi)題有種取法，∴；（2）的所有可能值分別為，，，，，∴的分布列為：0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式．19、（1）平均數(shù)為360，眾數(shù)為330；（2）見(jiàn)詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加，再除以總的天數(shù)10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)．從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多，故為眾數(shù)；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）利用（1）（2）的結(jié)果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.（2）設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機(jī)變量，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計(jì)甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元)由（2）估計(jì)乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi)為(元).【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）依題