湖北省襄州一中棗陽(yáng)一中等四校重點(diǎn)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

湖北省襄州一中棗陽(yáng)一中等四校重點(diǎn)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為（）A．4 B． C． D．2．若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．3．已知為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．4．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．5．將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．6．已知，則（）A．5 B． C．13 D．7．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則8．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．9．已知集合，，，則的子集共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)10．已知i是虛數(shù)單位，則1+iiA．-12+32i11．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．12．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為________14．已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿足二面角C-AB-O的大小為60°15．若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.16．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過(guò)千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）2345671011該產(chǎn)品的年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺(tái)數(shù)（臺(tái)）2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果：，，，，注：年返修率=（1）從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）的線性回歸方程（精確到0.01）.附：線性回歸方程中，，.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面積的最大值．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).20．（12分）某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過(guò)一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計(jì)寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對(duì)岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對(duì)岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點(diǎn)P）在棧道AB的何處時(shí)，觀測(cè)EF的視角(∠EPF)最大？請(qǐng)?jiān)冢?）的坐標(biāo)系中，寫出觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（12分）已知如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，AEBD于E，延長(zhǎng)AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。（Ⅰ）求證：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比（只需寫出結(jié)果，不要求過(guò)程）．22．（10分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點(diǎn)，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時(shí)，因?yàn)椋谶f增，所以的最大值.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值．【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解，所以，于是轉(zhuǎn)化為，顯然不是不等式的解，當(dāng)時(shí)，，所以可變形為．令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，，故，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問(wèn)題的解法，涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．3、D【解析】，則故選D.4、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，，所以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時(shí)，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；③若，則，則，此時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.5、D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．6、C【解析】

先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于，當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí)，不滿足，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，但，錯(cuò)誤；對(duì)于，由，知：，又，，正確；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無(wú)最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減；當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.9、B【解析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以集合則所以的子集共有故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合中有元素時(shí)，集合子集的個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。11、A【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)求導(dǎo)，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點(diǎn)斜式，屬于簡(jiǎn)單題目.12、D【解析】

根據(jù)題意得，設(shè)與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，設(shè)與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設(shè)，令，的值即為所有項(xiàng)的系數(shù)之和。【詳解】設(shè)，令，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為。【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式所有項(xiàng)的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地，對(duì)于，展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為，注意與“二項(xiàng)式系數(shù)之和”區(qū)分。14、4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,?O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上，在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60o＝O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題．15、【解析】

由知x＞0，故.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.16、【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為：，令，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為.

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是，能通過(guò)展開式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先判斷得到隨機(jī)變量的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計(jì)算得到相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值，可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出；然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線方程．【詳解】（1）由數(shù)據(jù)可知，，，，，五個(gè)年份考核優(yōu)秀．由題意的所有可能取值為，，，，，，，．故的分布列為：所以．（2）因?yàn)?，所以去掉年的?shù)據(jù)后不影響的值，所以．又去掉年的數(shù)據(jù)之后，所以，從而回歸方程為：．【點(diǎn)睛】求線性回歸方程時(shí)要涉及到大量的計(jì)算，所以在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性，對(duì)于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要合理利用．本題考查概率和統(tǒng)計(jì)的結(jié)合，這也是高考中常出現(xiàn)的題型，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得到，故，得到答案.（2）計(jì)算，再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），則，即，故，，故.（2），故，故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，故，，故△ABC面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，面積公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.19、（1）（2）與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和【解析】

（1）先把曲線化成直角坐標(biāo)方程，再化簡(jiǎn)成極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為；(2)聯(lián)立可得：，與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的互化，也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析，，x[0，1]；（2）P(，)時(shí)，視角∠EPF最大．【解析】

（1）以A為原點(diǎn)，l1為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系，設(shè)出方程，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可求方程；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，表示出，利用基本不等式求解的最大值，從而可得觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，l1為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系由題意知：B(1，0.5)，設(shè)拋物線方程為代入點(diǎn)B得：p＝1，故方程為，x[0，1]；（2）設(shè)P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，記∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，則：，當(dāng)且僅當(dāng)即，即，即時(shí)取等號(hào)；故P(，)時(shí)視角∠EPF最大，答：P(，)時(shí)，視角∠EPF最大．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，構(gòu)建合適的模型是求解的關(guān)鍵，涉及最值問(wèn)題一般利用基本不等式或者導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，AE⊥BD于E，能證明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積