2021-2022學年人教版八年級數(shù)學下學期復(fù)習：菱形（題型匯編）解析版

專題07菱形（一題三變）

【思維導(dǎo)圖】

⑥考點題型1:利用餐形的性質(zhì)求角度）

◎考點題型2:利用菱形的性質(zhì)求線段長，

⑥考點題型3:利用菱形的性質(zhì)求面積，

◎考點題型4:利用性質(zhì)證明）

（◎考點題型5:添加一T?條件成為夢形，

◎考點題型1:利用菱形的性質(zhì)求角度

例.（2021?天津四十三中八年級階段練習）如圖，菱形/BCD中，ZA=50°,則NND8的度數(shù)為（）

A.65°B.55°C.45°D.25°

【答案】A

【解析】

【分析】

由菱形得到AB=AD,進而得到NADB=NABD,再由三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】

解：???四邊形ABCD為菱形，；.AD=AB,

.-.zADB=zABD=（180o-zA>2=（180o-50o>2=65°,

故選：A.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形的鄰邊相等，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

變式1.（2020?河北青縣?二模）如圖，已知菱形43CD,ZA=80°,則乙角度是（）

A.60°B.50°C.40°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的對邊平行，得到AB//DC,進而得出AADC=100°,再根據(jù)菱形對角線平分一組對角，得出ZADB

角度.

【詳解】

解：?；AB//DCNADC=100°,

又???菱形對角線平分一組對角，???乙4。3=50。.

故選：B.

【點睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)：對邊平行，對角線平分一組對角，是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?廣東?深圳市龍崗區(qū)百合外國語學校九年級期中）如圖，菱形N8CO中，AC交BD于O,

DELBC于E,連接OE,若zJ8C=140。，則的度數(shù)為（）

D

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得乙乙48C=70。，BO=DO,由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：???四邊形N5CD是菱形，A43c=140。，

.-.AABD=^CBD=IA45C=70°,BO=DO,

■■■DELBC,

：.OE=OD=OB,乙BDE=20°,

：.乙ODE=AOED=20°,

故選：B.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?陜西?咸陽市秦都區(qū)電建學校九年級階段練習）如圖，在菱形N8CD中，ZABC=50°,對角

線/C,BD交于點、O,￡為CD的中點，連接?！?則44OE的度數(shù)是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得NC1HD,^CDO=1^ADC=1^ABC=25°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OE=DE=：CD,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到乙)?！?48。=25。，于是得到結(jié)論.

【詳解】

解：???四邊形48CD是菱形，

11

■■ACLBD,4CDO=-UDC=-UBC=25°,

22

.-.^DOC=90°,

■:點E是CD的中點，

1

：.OE=DE=-CD,

2

.-.^DOE=ACDO=25°,

：./-AOE=/-AOD+zJ)OE=W0+'2.5°=\15°,

故選：C.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型2：利用菱形的性質(zhì)求線段長

例.(2022?全國?八年級)菱形488的周長是8CM,ZJ2C=6O。，那么這個菱形的對角線AD的長是()

A.V3cmB.2#!cmC.1cmD.2cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)得/B=8C=2(cm),OA=OC,OB=OD,ACX.BD,再證A48C是等邊三角形，得4c=4B

=2(cm),則。N=1(cm),然后由勾股定理求出。8=6(cm),即可求解.

【詳解】

解：,?,菱形N8CD的周長為8c%,

:.AB=BC=2(cm),OA=OC,OB=OD,ACLBD,

???ZABC=6O°,

??.△ABC是等邊三角形，

-'-AC=AB=2cm,

??OA—1(cm),

在用A4O5中，由勾股定理得：OB=dAB2_OA2=J22_y=百(cm),

:.BD=2OB=2m(cm),

故選：B.

【點睛】

此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股

定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.

變式1.（2021?廣東清新?九年級期中）在菱形/2CD中，兩條對角線/C=10,BD=24,則此菱形的邊長為

)

A.14B.25C.26D.13

【答案】D

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)和勾股定理即可求得N5的長.

【詳解】

解：???四邊形/BCD是菱形，AC=IO,BD=24,

B

：.AB=BC=CD=AD,AC1BD,OB=OD=-BD=U,OA=OC=~AC=5,

22

在RtAABO中，AB=^OB2+OA2=7122+52=13,

故選：D.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出43=13是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?廣東佛山?九年級期中）菱形N8CD中，對角線NC,8。相交于點O,￡為的中點.若菱

形4BCD的周長為32,則OE的長為（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到N8=3C=CD=AD,。是NC的中點，再由菱形的周長為32,則AD=8,然

后證明OE是恒臺。的中位線，即可得到OE=；/D=4.

【詳解】

解：???四邊形N3CD是菱形，對角線NC,8。相交于點O,

；.AB=BC=CD=AD,。是NC的中點，

?.?菱形/BCD的周長為32,

??.4。=8,

,；E為4B邊中點、,

???OE是MBD的中位線，

.-.OE=-AD=4,

2

故選A.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握菱形的性質(zhì).

變式3.（2022?全國?八年級）如圖，四邊形4BCD為菱形，對角線NC,2。交于點。，E為4D的中點,

若?！?3.5,則菱形N3CD的周長等于（）

A.14B.28D.35

【答案】B

【解析】

【分析】

利用菱形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出AD=8,即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：???四邊形N2CD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ACA.BD,

???E為4D邊中點，

：.OE是RtAAOD的斜邊中線，

：.AD=WE=1,

菱形/BCD的周長=4x7=28；

故選B.

【點睛】

此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

◎考點題型3：利用菱形的性質(zhì)求面積

例.（2021?全國?八年級期中）如圖，菱形/BCD的對角線NC、8。相交于點O,AC=6,BD=3,EF為

過點。的一條直線，則圖中陰影部分的面積為（）

Jg/D

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可證出ACR?三A4E。，可將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為A50C的面積，根據(jù)菱形的面積公式計算

即可.

【詳解】

解：???四邊形/OC8為菱形，

OC=OA,AB//CD,AFCO=ZOAE,

■：ZFOC=NAOE,

ACFO^AAEO（ASA）,

,?°ACFO-3AOE，

S&CFO+S^BOF=SaBOC,

：.SKnr=—x--ACBD=—x—x6x8=6

"B℃4242

故選：B.

【點睛】

此題考查了菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，全等三角形的判定，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為A50c的面積為

解題關(guān)鍵.

變式1.（2021?重慶市巴川中學校八年級期末）如圖，菱形N8CD的面積為24cm2,對角線AD長6cm,點

。為8。的中點，過點/作/E18C交C8的延長線于點￡,連接。￡,則線段?！甑拈L度是（）

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)得出8O=6cm,由菱形的面積得出/C=8cm,再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：???四邊形N8CD是菱形,

:.BD1AC,

???8D=6cm,Sg^ABCD=^-ACxBD^24cm2,

.?./C=8cm,

■■■AE1BC,

.-.AAEC=90°,

■■-0E=^-AC=4cm,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?北京豐臺?八年級期末）在菱形/BCD中，對角線NC,8。相交于點。，如果/C=6,BD

8,那么菱形/BCD的面積是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】

利用菱形的面積公式即可求解.

【詳解】

解：菱形/BCD的面積=胃=24,

22

故選：C.

【點睛】

本題考查菱形的面積公式，菱形的面積等于對角線乘積的一半.

變式3.（2022?廣東順德?九年級期末）若菱形的兩條對角線長分別為10和24,則菱形的面積為（）

A.13B.26C.120D.240

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：；菱形的兩條對角線長分別為10和24,

菱形的面積為g*10x24=120,

故選：C.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的面積公式.

◎考點題型4：利用性質(zhì)證明

例.（2022?遼寧沈河?九年級期末）如圖，四邊形N8CD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.當%是矩形時，々8C=90。B.當口/BCD是菱形時，ACLBD

C.當口/BCD是正方形時，AC=BDD.當口/BCD是菱形時，AB=AC

【答案】D

【解析】

【分析】

由矩形的四個角是直角可判斷A,由菱形的對角線互相垂直可判斷B,由正方形的對角線相等可判斷C,由

菱形的四條邊相等可判斷D,從而可得答案.

【詳解】

解：當口48co是矩形時，乙12C=90。，正確，故A不符合題意；

當勿B(yǎng)CD是菱形時，ACVBD,正確，故B不符合題意；

當口4BCD是正方形時，AC=BD,正確，故C不符合題意；

當口48。）是菱形時，AB=BC,故D符合題意；

故選D

【點睛】

本題考查的是矩形，菱形，正方形的性質(zhì)，熟練的記憶矩形，菱形，正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?全國?八年級課時練習）菱形A8CD中，對角線/C、AD交于點O,給出下列結(jié)論：①

ZABC=ZACB,@ZABC=2ZDBC,③OT+=/笈，其中正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分每一組對角，判斷即可.

【詳解】

解：如圖:

①/ABC=NACB,錯誤，不符合題意；

@ZABC=2ZDBC,正確，符合題意；

③OA'OB?=AB?,正確，符合題意；

所以正確的有兩個，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟知菱形對角線互相垂直平分，每一條對角線平分每組對角是解本題的關(guān)

鍵.

變式2.（2021?海南?？?八年級期末）如圖，在菱形/BCD中，E是。。的中點，AELCD,連接NC,則

N/CD等于（）

A.30°B.50°C.60°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到4。=。，然后根據(jù)三線合一定理得到即可得到A4CD是等邊三角形，從

而求解.

【詳解】

解：???四邊形/BCD是菱形,

：.AD=CD,

為CD的中點，AELCD,

：.AC=AD,

：.AC=AD=AC,

.■.AACD是等邊三角形，

.-.zJCD=60°,

故選C.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相

關(guān)知識進行求解.

變式3.（2021?河南西華?八年級期末）已知四邊形/5CZ）是菱形，下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.AB=CDB.AC=BD

C.AC1.BDD.當//8C=90。時，它是正方形

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)，對選項逐個判斷即可.

【詳解】

解：A、菱形的四個邊相等，AB=CD,選項正確，不符合題意；

B、菱形的對角線不一定相等，選項錯誤，符合題意：

C、菱形的對角線互相垂直，ACLBD,選項正確，不符合題意；

D、有一個角為直角的菱形為正方形，即可判定，選項正確，不符合題；

故選B

【點睛】

此題考查了菱形的性質(zhì)以及正方形的判定，熟練掌握菱形的有關(guān)性質(zhì)以及正方形的判定是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型5：添加一個條件成為菱形

例.（2021?廣東順德?九年級期中）在&#xRM3;4BCD中，添加以下哪個條件能判斷其為菱形（）

A.ABA.BCB.BC1CDC.CDVACD.AC1BD

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，結(jié)合選項找到對角線互相垂直即可求解.

【詳解】

A>■■■ABLBC,

???ZJ8C=90°,

又???四邊形/BCD是平行四邊形，

???四邊形N8CD是矩形；故選項A不符合題意；

B、C選項，同A選項一樣，均為鄰邊垂直，口43。。是矩形；故選項B、C不符合題意；

D、,??四邊形4BCD是平行四邊形，

又?.?/C13D,

???四邊形ABCD是菱形；故選項D符合題意

故選D

【點睛】

本題考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?遼寧黑山?九年級期中）如圖，下列條件能使平行四邊形N5CD是菱形的為（）

①ACLBD；②48/0=90。；③AB=BC；@AC=BD.

A.①③B.②③

C.③④D.①

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的判定定理以及所給條件證明平行四邊形/BCD是菱形，菱形的判定方法有三種：①定義：一組

鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.據(jù)

此判斷即可.

【詳解】

解：①％BCD中，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判定口/BCD是菱形；故①正

確；

②口/8CD中，48/0=90。，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定o48CD是矩形，而不能判

定53CZ）是菱形；故②錯誤；

③口N2CD中，AB=BC,根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定M2CD是菱形；故③正確；

④D4BCD中,/C=3D,根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定口/58是矩形，而不能判定

口4BCD是菱形;故④錯誤.

故正確的為①③

故選：A.

【點睛】

此題考查了菱形的判定與矩形的判定定理.此題難度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.

變式2.2021?遼寧?沈陽市杏壇中學九年級階段練習）下列選項中能使平行四邊形/BCD成為菱形的是（）

A.AB=CDB.AB=BCC.乙BAD=90°D.AC=BD

【答案】B

【解析】

【分析】

分別根據(jù)選項所給條件結(jié)合菱形的判定方法逐一進行判斷即可求解.

【詳解】

解：???四邊形48CD是平行四邊形，

/、當N2=CD時，不能判定平行四邊形/BCD是菱形，故本選項不符合題意；

B、當N8=8C時，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得到平行四邊形是菱形，故本選項

符合題意；

C、當乙酸。=90。時，平行四邊形/BCD是矩形，故本選項不符合題意；

D、當NC=AD時，平行四邊形48co是矩形，故本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了菱形的判定，熟練掌握有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?山東?青島市城陽第九中學九年級階段練習）如圖，要判定口是菱形，需要添加的條件

是（）

A.AB^ACB.BC=BDC.AC=BDD.AC1BD

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的判定方法即可解決問題.

【詳解】

解：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形和對角線垂直的平行四邊形是菱形，可知選項D正確,

故選：D.

【點睛】

本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

◎考點題型6：證明四邊形是菱形

例.（2021?遼寧東港?九年級期中）如圖，在口48。中，對角線/C,BD交于點、O,￡是8。延長線上一點,

日△/（?￡是等邊三角形.

（1）求證：四邊形A8CD是菱形；

（2）若乙AED=2乙EAD,AB=a,求四邊形/BCD的面積.

【答案】（1）見解析；（2）正方形/BCD的面積為/

【解析】

【分析】

(1)由等邊三角形的性質(zhì)得EO1/C,即8ZXMC,再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可得出

結(jié)論；

(2)證明菱形/BCD是正方形，即可得出答案.

【詳解】

(1)證明：???四邊形N3CD是平行四邊形，

：.AO=OC,

???A4CK是等邊三角形，

.-.EO1AC(三線合一)，

即BD1AC,

:.口ABCD是菱形；

(2)解：???△/CE是等邊三角形，

.■■^EAC=60°

由(1)知，EOLAC,AO^OC

；.UEO=4OEC=30°,△/OE是直角三角形，

■.Z-AED=2/.EAD,

.,"40=15°,

；“AO=KEAO-AEAD=45°,

“ABCD是菱形，

；/BAD=24DAO=90°,

二菱形ABCD是正方形，

二正方形48co的面積=482=屋.

【點睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，證

明四邊形ABCD為菱形是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?全國?八年級)如圖，在口，8。中，點E,尸分別在線段BC,/D上，連接NE,CF,

AE//CF,BE+AE=AD,求證：四邊形NEC尸是菱形.

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得NO=3C，AD//BC,然后再依據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形NEC廠是平行

四邊形，對邊的等式進行等量代換得出4E=EC,最后依據(jù)菱形的判定定理即可證明.

【詳解】

證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

AD=BC,AD//BC,

■：AE//CF,

.?.四邊形AECF是平行四邊形，

BE+AE=AD,

；.BE+AE=AD=BC=BE+EC.

AE=EC,

二.四邊形/EC廠是菱形.

【點睛】

題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定定理，熟練掌握各個判定定理，融會貫通綜合運用是

解題關(guān)鍵.

變式2.(2022?全國?八年級)如圖，△5ND是由△8EC在平面內(nèi)繞點8旋轉(zhuǎn)60。而得，MAB1BC,BE=

CE,連接DE.

(1)求證：4BDE三4BCE；

(2)試說明四邊形N2即為菱形.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=CB,NABD=NEBC,NABE=60°,然后根據(jù)垂直可得出

4DBE=ZCBE=30°,繼而可根據(jù)S4s證明NBDE=NBCE；

(2)根據(jù)(1)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，NBDE=\BCE=NBDA,繼而得出四條棱相等，證得四邊形/BED

為菱形.

【詳解】

(1)證明：；A84。是由ASEC在平面內(nèi)繞點3旋轉(zhuǎn)60。而得，

DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,

ABLBC,

:.ZABC=90°,

NDBE=ZCBE=30°,

在NBDE和NBCE中,

DB=CB

{ZDBE=ZCBE,

BE=BE

\BDE=NBCE(SAS).

(2)四邊形N8EA為菱形；

由(1)得ABDE=MCE,

「ABN。是由ASEC旋轉(zhuǎn)而得，

ABAD=NBEC,

BA=BE,AD=EC=ED,

又?；BE=CE,

AB=BE=ED=AD,

四邊形"BED為菱形.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定，涉及知識點較多，

難度較大.

變式3.(2021?遼寧本溪?九年級期中)在口/BCD中，AE平分NBAD,交8c于點￡,BF平分NABC,交

AD于點尸，4E與BF交于點、O,連接斯、OC.

(1)求證：四邊形42所是菱形；

(2)若點￡為8c的中點，且3c=8,ZABC=60°,求OC的長.

【答案】(1)見解析；(2)277

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義，等邊對等角可得/8=/尸，AB=BE,進而可得

/尸=BE,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

(2)過。作于X,證明△/8E是等邊三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)求得。旦￡〃,在龍中，勾股

定理求得的,在RMOHC中，勾股定理即可求得OC的長.

【詳解】

(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

AD//BC,

ZAFB=ZFBE,

???BE平分NABC,

ZABF=ZFBE,

ZABF=NAFB,

AB=AF,

同理=

*，?AF-BE,

???四邊形N2即是平行四邊形，

???四邊形/8E尸是菱形；

(2)解：過。作OH_LBC于X,

ZOHE=90°,

為2c的中點，

.-.BE=CE=-BC=4,

2

AB=BE,ZABC=60°,

.?.△A8E是等邊三角形,

BE=AE=4,NAEB=60°,

ZEOH=90°一NAEB=30°,

???四邊形/BE尸是菱形，

OE=—AE=—x4=2,

22

.-.EH=-OE=-x2=l,

22

在RtZXO/ffi'中，

OH=yJOE2-EH2=A/22-12=退，

在RtAOXC中，

OC=yloH2+HC2=+（4+1）2=277.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

◎考點題型7：利用菱形的性質(zhì)與判定求角度

例.(2020?山東?萬杰朝陽學校八年級期中)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,如果

ZABO=40°,則NDC0=()

C.50°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直平分可知，ZCOD=90°,ZDCO+ZCDO=90°,利用ABIICD,通過等角代

換，計算即可求出.

【詳解】

由題意知，菱形ABCD的對角線互相垂直平分可得：ZDOC=90°,zCDO+zDCO=90°,

???AB||CD,

.??ZABO=ZCDO=40°,

.■.Z.DCO=90°-40°=50°,

故選：C.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形中兩個銳角互余，掌握菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?江蘇?南京外國語學校八年級期中）如圖，在菱形/BCD中，AC,相交于O,

乙43c=70。，E是線段49上一點，則N8EC的度數(shù)可能是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)，得NAOB=90。，ZABO=35°,從而得：ZBAO=55°,進而可得：55°<ZBEC<90°,即可得

到答案.

【詳解】

??,在菱形48C。中，

:.ACLBD,即：ZAOB=90°,

.-.ZBEC<90°,

ZABC=70°,

.-.ZABO=-Z^BC=-x70°=35°,

2J2

.-.ZBAO=55°,

NBEC=ZBAO+ZABE,

.-.ZBEC>55°,

即：55。</BEC<90。.

故選B.

【點睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)定理以及三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?河北邢臺?二模）如圖，四邊形/BCD為菱形，若C￡為邊ZB的垂直平分線，用/NDB的度

數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】

連接NC,證明AIBC為等邊三角形，得到^5C=60。，根據(jù)菱形性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：連接NC,

???四邊形為菱形，

??AB=BC,

,；CE為邊AB的垂直平分線，

：.BC=AC,

-'-AB=BC=AC,

,.△ABC為等邊三角形，

：./-ABC=60°,

???四邊形/BCD為菱形，

'.^ADB=-ZADC=-ZABC=30°.

22

故選:c

B

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明A42C為等邊三角形是解題關(guān)

鍵.

變式3.（2021?江蘇蘇州?九年級專題練習）如圖，在AA8C中，AB=AC,ABAC=40°,將AA5C繞點A

逆時針方向旋轉(zhuǎn)得A4E尸，其中，E,F是點B,C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，BE，。尸相交于點。.若四邊形

4BDF為菱形,則NC/E的大小是（）

A.90°B.75°C.60°D.45°

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可得ABIICF,可得NACF=40。，根據(jù)AB=AC=AF,可得NAFC=40。，即NCAF=100。且NEAF=40。，則

可求NCAE的大小.

【詳解】

?■?ABDF是菱形

???ABIICF,AB=AF

.?.Z.BAC=ZACF=4O°,AF=AC

.-,ZACF=ZAFC=4O°

.??zCAF=100°

???將4ABC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得AAEF

.-?zEAF=zBAC=40o

.-,ZEAC=ZCAF-ZEAF=6O°

故選：c.

【點睛】

此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題.

◎考點題型8：利用菱形的性質(zhì)與判定求線段長

例.（2021?廣東南海?九年級階段練習）如圖，四邊形N8CD中，ADWBC,zC=90°,AB=AD,連接AD,乙BAD

的角平分線交2。、3c分別于點。、E,若EC=3,CD=4,則3。的長為（）

C.275D.375

【答案】C

【解析】

【分析】

連接DE,因為AELBD,AD\\BC,可證四邊形/BED為菱形，從而得到BE、8C的長，進而解答

即可.

【詳解】

在直角三角形CDE中，EC=3,CD=4,根據(jù)勾股定理，得DE=5.

■：AB=AD,/￡平分ZBAD

：.AEVBD,BO=OD,

???/E垂直平分乙BAE=3AE.

:.DE=BE=5.

"ADWC,

-t-Z-DAE=Z-AEB,

；/BAE=UEB,

；,AB=BE=5,

；.BC=BE+EC=8,

.??四邊形是菱形,

由勾股定理得出BD=ylBC2+DC2="+8?=475，

BO=-BD=2y/5,

2

故選：C.

【點睛】

本題考查勾股定理的運用以及菱形的判定和性質(zhì)，題目難度適中，根據(jù)條件能夠發(fā)現(xiàn)圖中的菱形是

關(guān)鍵.

變式1.（2021?重慶八中九年級階段練習）如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形

ABCD,若測得點4C之間的距離為6cm,點8,。之間的距離為8cm,則紙條的寬為（)

B.4.8cmC.4.6cmD.4cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意作/R13C于R,ZS1CD于S,根據(jù)題意先證出四邊形/BCD是平行四邊形，再由NR=NS得平行四

邊形是菱形，再根據(jù)勾股定理求出N5,最后利用菱形/5CD的面積建立關(guān)系得出紙條的寬/我的

長.

【詳解】

解：作/RLBC于尺，4slic。于S,連接/C、AD交于點O.

由題意知：AD\\BC,ABWCD,

四邊形/BCD是平行四邊形,

???兩個矩形等寬,

'-AR=AS,

?；AR?BC=AS?CD,

.?.BC=CD,

???平行四邊形是菱形，

???ACtBD,

在RfAAOB中，

OA=3cm,OB=4cm,

???AB=J32+42=5cm,

???平行四邊形/BCD是菱形，

??AB=BC=5cm,

菱形/BCD的面積即gx6x8=5/R,

24

解得：AR==4.8cz?z.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查菱形的判定以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形以及

菱形的面積等于對角線相乘的一半.

◎考點題型9：利用菱形的性質(zhì)與判定求面積

例.（2021?遼寧甘井子?八年級期中）如圖，菱形的對角線NC,8。相交于點O,48=5,AO=4,

則此菱形的面積是（）

A.12B.15C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得NC=2NO,BA2BO,由勾股定理求出80的長，最后根據(jù)菱形的面積公式求解即可.

【詳解】

解：???四邊形/3CD是菱形

-.AC=2AO,BD=2BO,

AB-5,AO=4,

BO=^AB2-AO2=3

■.AC=8,BD=6

菱形的面積」x8x6=24

22

故選：C

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得

BO.

變式1.（2021?安徽長豐?八年級期末）如圖，在面積為S的菱形N8CD中，對角線NC,8。相交于點O,

E,F,G分別是BC,OB,0c的中點，則四邊形EFOG的面積為（）

A.—SB.—SC.—SD.

481216

【答案】B

【解析】

【分析】

連接OE,依據(jù)菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，即可得到"FO,ZEGO.,NFOG都是直角，即可得到四

邊形OFEG是矩形；再根據(jù)菱形的面積即可得到矩形OFEG的面積.

【詳解】

解：如圖所示，連接OE,

「四邊形ABCD是菱形，

."OC=90。,

又是3c的中點，

：.OE=BE=CE,

又小，G分別是80,CO的中點，

.?.EF1OB,EG1OC,

???四邊形OGE尸是矩形,

?菱形ABCD的面積為S,

：.-ACxBD=S,即/CxBD=2S,

2

???四邊形EFOG的面積=OGxOF=-OCx-OB=