2023年北京中考數(shù)學(xué)重難題型專(zhuān)練：新定義創(chuàng)新型綜合壓軸問(wèn)題（北京專(zhuān)用）【解析版】

2023中考數(shù)學(xué)重難題型押題培優(yōu)導(dǎo)練案(北京專(zhuān)用)

專(zhuān)題01新定義創(chuàng)新型綜合壓軸問(wèn)題

(北京13-22年最后一題+真題10道模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

新定義"型問(wèn)題是指在問(wèn)題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀

懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類(lèi)型

(1)定義新運(yùn)算；(2)定義初、高中知識(shí)銜接"新知識(shí)"；(3)定義新概念.這類(lèi)試題考查考生對(duì)"新定

義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將"新定義"的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，利

用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.

解決此類(lèi)題的關(guān)鍵是(1)深刻理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論；

(2)重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸

納“舉例”提供的分類(lèi)情況；(3)依據(jù)新定義，運(yùn)用類(lèi)比、歸納、聯(lián)想、分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想方法解決題目中需要解決的問(wèn)題。

北京中考最后一題的新定義主要涉及函數(shù)與圓的有關(guān)新定義問(wèn)題，屬于函數(shù)的范疇，已經(jīng)考過(guò)“對(duì)應(yīng)

點(diǎn)”、“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”、“平移距離”“閉距離”、“相關(guān)矩形”、“反稱(chēng)點(diǎn)”、“有界函數(shù)”、“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”等新定義。在

平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中要從細(xì)節(jié)中挖掘出數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，引領(lǐng)學(xué)生找到解決問(wèn)題的思想方法.解答這類(lèi)問(wèn)題的

關(guān)鍵是要讀懂題目提供一的新知識(shí)，理解其本質(zhì)，把它與己學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，把新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為己學(xué)的知

識(shí)進(jìn)行解決.

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準(zhǔn)提分

【例1】(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M(a,6),N.對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P

向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上(6>0)或向下(b<0)平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P',

點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

⑴如圖，點(diǎn)點(diǎn)N在線(xiàn)段。M的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若點(diǎn)P(—2,0),點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”.

①在圖中畫(huà)出點(diǎn)Q；

②連接PQ,交線(xiàn)段ON于點(diǎn)T.求證：NT=

(2)。。的半徑為1,M是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段。M上，且。N=tG<t<l),若P為。。外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為

點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)M在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫(xiě)出PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的差(用含t的式子表示)

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)4t-2

【解析】

【分析】

(1)①先根據(jù)定義和求出點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q求出點(diǎn)0的坐標(biāo)；②延長(zhǎng)

CW至點(diǎn)4(3,3),連接40,禾！J用Z/S證明ZVlQTwAOPT,得到兀4=7。=敖4,再計(jì)算出。4,OM,ON,

即可求出NT=ON-OT=￥=TOM；

(2)連接尸。并延長(zhǎng)至S,使。P=OS,延長(zhǎng)S。至7,使ST=OM,結(jié)合對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出為AP'QT的中

位線(xiàn)，推出NM=^QT,得出SQ=ST-TQ=1^(2-2t)=2t-l,則PQmax-PQmin=(PS+QS)-(PS-QS)

=2QS.

(1)

解：①點(diǎn)0如下圖所示.

?.?點(diǎn)

...點(diǎn)P(-2,0)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P',

；中(一1,1),

?.?點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,N(2,2),

二點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：2x2—(—1)=5,縱坐標(biāo)為：2x2—1=3,

...點(diǎn)Q(5,3),在坐標(biāo)系內(nèi)找出該點(diǎn)即可;

②證明：如圖延長(zhǎng)ON至點(diǎn)4(3,3),連接

AQ//OP,

：.A.AQT=Z.OPT,

在與ANOPT中，

(Z.AQT=乙OPT

{/.ATQ=乙OTP,

IAQ=OP

：.^AQT=/^OPT(AAS),

：.TA=TO=1OA,

'：4(3,3),N(2,2),

OA=V32+32=3vLOM=<12+12=V2-ON=V22+22=2VL

：.TO=^OA=y2,

NT=ON-OT=2&-=浮

：.NT=^OM；

⑵

解：如圖所示，

連接尸。并延長(zhǎng)至S,使OP=OS,延長(zhǎng)S。至7,使ST=OM,

：M(a,b),點(diǎn)P向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上(匕>0)或向下(6<0)平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到點(diǎn)P',

：.PP'=OM=1,

"/點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,

:.NP'=NQ,

又，：OP=OS,

J.OM//ST,

為AP'QT的中位線(xiàn)，

J.NM//QT,NM^QT,

\'NM=OM-ON=l-t,

：.TQ=2NM=2-2t,

：.SQ=ST—TQ=1—(2—2t)=2t—1,

在APQS中，PS-QS<PQ<PS+QS,

結(jié)合題意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS-QS,

???PQmax-PQmin=(PS+QS)—(PS—QS)=2QS=4t—2，

即PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的差為4t—2.

【點(diǎn)睛】

本題考查點(diǎn)的平移，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點(diǎn)間距離，中位線(xiàn)的性質(zhì)及線(xiàn)段的最值問(wèn)題，第2

問(wèn)難度較大，根據(jù)題意，畫(huà)出點(diǎn)。和點(diǎn)P'的軌跡是解題的關(guān)鍵.

【例2】(2021?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,對(duì)于點(diǎn)A和線(xiàn)段BC,給出如下

定義：若將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦8'C'分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱(chēng)線(xiàn)段BC是。。的以

點(diǎn)力為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”.

(1)如圖，點(diǎn)481，0刀2，。2島,。3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線(xiàn)段2c2，B3c3中，。。的以點(diǎn)力為中心的

“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”是;

(2)△4BC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)4(0,。，其中￡力0.若BC是。。的以點(diǎn)4為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，

求t的值；

(3)在△A8C中，AB^1,AC=2.若BC是。。的以點(diǎn)4為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，直接寫(xiě)出。4的最小值和最

大值，以及相應(yīng)的BC長(zhǎng).

【答案】⑴82c2；⑵t=±V3;(3)當(dāng)。4nin=l時(shí)，此時(shí)BC=g；當(dāng)CMmax=2時(shí)，此時(shí)BC=容

【解析】

【分析】

(1)以點(diǎn)/為圓心，分另IJ以4B1/C1/B2/C2/B3/C3為半徑畫(huà)圓，進(jìn)而觀察是否與。。有交點(diǎn)即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC是等邊三角形，且良。是O。的弦，進(jìn)而畫(huà)出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)可進(jìn)行求解；

(3)由BC是。。的以點(diǎn)4為中心劭關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，則可知B1C嘟在O。上，且2B，=4B=1,4。="=2,然

后由題意可根據(jù)圖象來(lái)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意得：

通過(guò)觀察圖象可得：線(xiàn)段B2c2能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。得到O。的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，Bi。,83c3都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)

得至！1;

故答案為B2c2；

(2)由題意可得：當(dāng)8C是。。的以點(diǎn)2為中心的“關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”時(shí)，則有△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)也為

1,當(dāng)點(diǎn)/在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示:

設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為。，連接。夕,易得BCly軸，

1

B'D=DCr=-,

?*-OD=y/0B'2-B'D2=亭AD=y/AB'2-B'D2=亭

OA=V3>

??t=V^；

當(dāng)點(diǎn)/在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：

同理可得此時(shí)的。A=痘,

?*-t=-v^；

(3)由BC是00的以點(diǎn)4為中心的關(guān)聯(lián)線(xiàn)段”，則可知所,(?都在00上，且2B，=4B=1/。=4。=2,則

有當(dāng)以方為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)/為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示

r

由運(yùn)動(dòng)軌跡可得當(dāng)點(diǎn)”也在O。上時(shí)為最小，最小值為1,此時(shí)4。為O。的直徑,

AAAB'C=90°,

：.^AC'B'=30°,

：.BC=B'C=AC-cos30°=遮；

由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)49,。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，OA的值為最大，最大值為2,如圖所示：

連接。（7,9。，過(guò)點(diǎn)。作CQ4于點(diǎn)尸,

0C—1,AC'—0A=2,

設(shè)0P=%,則有ZP=2-%,

???由勾股定理可得：CP2=AC'2-AP2=OC'2-OP2,即22—（2-%）2=1—X2,

解得：久=；,

4

...c,p=逗，

4

3

：.B,P=OB,-OP=^

4

在Rt△中，BC=sjB'P2+CP2=浮

:.BC=圓,

2

綜上所述：當(dāng)。4min=l時(shí)，此時(shí)BC=后當(dāng)。4max=2時(shí)，此時(shí)=孚.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基

本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.（2020?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,A,B為。O外兩點(diǎn)，AB=1.給出

如下定義：平移線(xiàn)段AB,得到。O的弦（48分別為點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線(xiàn)段44長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為

線(xiàn)段AB到。O的“平移距離”.

（1）如圖，平移線(xiàn)段AB到。O的長(zhǎng)度為1的弦P/2和P3P4,則這兩條弦的位置關(guān)系是;在

點(diǎn)21島島島中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于線(xiàn)段AB到OO的“平移距離”；

（2）若點(diǎn)A,B都在直線(xiàn)y=73%+2行上，記線(xiàn)段AB到。O的“平移距離”為心，求心的最小值；

（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,|）,記線(xiàn)段AB到。。的“平移距離”為d2,直接寫(xiě)出d2的取值范圍.

【答案】⑴平行，P3；（2）爭(zhēng)（3）|=d2M等

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離”的定義填空即可;

(2)過(guò)點(diǎn)O作OE±AB于點(diǎn)E,交弦CD于點(diǎn)F,分別求出OE、OF的長(zhǎng)，由乙=0E—。?得到心的最小

值；

(3)線(xiàn)段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A(2,|)為圓心，半徑為1的圓，只需在00內(nèi)找到與之平行,

且長(zhǎng)度為1的弦即可.平移距離期的最大值即點(diǎn)A,B點(diǎn)的位置，由此得出d2的取值范圍.

【詳解】

解：(1)平行；P3；

(2)如圖，線(xiàn)段AB在直線(xiàn)丫=后+2四上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD,CD〃AB,過(guò)點(diǎn)0作

OEJ_AB于點(diǎn)E,交弦CD于點(diǎn)F,0F1CD,令y=0,直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為(-2,0),直線(xiàn)與x軸夾角為

60°,A=2sin60°=V3.

由垂徑定理得：0F=工℃2—(92哼

(3)線(xiàn)段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A(2,|)為圓心，半徑為1的圓，只需在。。內(nèi)找到與之平行,

且長(zhǎng)度為1的弦即可；

點(diǎn)A到O的距離為4。=-2+(|)2=

如圖，平移距離電的最小值即點(diǎn)A到。O的最小值：41=|;

y

平移距離d2的最大值線(xiàn)段是下圖AB的情況，即當(dāng)AI,A2關(guān)于0A對(duì)稱(chēng)，且A[B2，AIA2且A]B2=1時(shí)./

B2A2Al=60°,則NOA2Al=30°,

VOA2=1,.\OM=i,A2M哼

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的基本性質(zhì)及與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓

的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?北京?中考真題）在aABC中，D,E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果而上的所有點(diǎn)都在AABC的

內(nèi)部或邊上，則稱(chēng)朝為AABC的中內(nèi)弧.例如，下圖中而是AABC的一條中內(nèi)弧.

D

B-------------------------1C

(1)如圖，在RSABC中，AB=AC=2^2,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).畫(huà)出AABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧

DE,并直接寫(xiě)出此時(shí)畫(huà)的長(zhǎng)；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(0,2),8(0,0),C(4t,0)(t>0),在aABC中，D,E分別是AB,2C的

中點(diǎn).

①若t=(求4ABC的中內(nèi)弧南所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)的取值范圍；

②若在△居(：中存在一條中內(nèi)弧南，使得命所在圓的圓心P在aABC的內(nèi)部或邊上，直接寫(xiě)出t的取值

范圍.

【答案】⑴兀；⑵①P的縱坐標(biāo)為N1或處W9②0<"我.

【解析】

【分析】

(1)由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2,最長(zhǎng)中內(nèi)弧即以DE為直徑的半圓，市的長(zhǎng)即以

DE為直徑的圓周長(zhǎng)的一半；

(2)根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線(xiàn)上,，①當(dāng)t=：時(shí)，要注意圓心P在DE上方的

中垂線(xiàn)上均符合要求，在DE下方時(shí)必須AC與半徑PE的夾角/AEP滿(mǎn)足90°<ZAEP<135°；②根據(jù)題意,

t的最大值即圓心P在AC上時(shí)求得的t值.

【詳解】

解：(1)如圖2,

5

以DE為直徑的半圓弧礪，就是aABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧瓦，連接DE,VZA=90°,AB=AC=2VLD,E

分別是AB,AC的中點(diǎn),；.BC=^=孺=4可十C/X4=2,

____1

，弧。E=-x2TT=7T;

(2)如圖3,由垂徑定理可知，圓心一定在線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)上，連接DE,作DE垂直平分線(xiàn)FP,

作EG_LAC交FP于G,

①當(dāng)t=T時(shí)，C(2,0),：.D(0,1),E(1,1),F(pl),

設(shè)PG，TH)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線(xiàn)段DE上方射線(xiàn)FP上均可，???mNl,

VOA=OC,ZAOC=90°

ZACO=45°,

VDE/7OC

???ZAED=ZACO=45°

作EG_LAC交直線(xiàn)FP于G,FG=EF=|

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方(含點(diǎn)G)直線(xiàn)FP上時(shí)也符合要求;

1

???-

綜上所述，血《/或mNl.

②圖4,設(shè)圓心P在AC上,

???P為AE中點(diǎn)，作PM_LOC于M,則PM=|

VDE/7BC

???ZADE=ZAOB=90°,

??.AE=y/AD2+DE2=712+(2t)2=個(gè)4t2+1

VPD=PE,

???ZAED=ZPDE

ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=90°,

???ZDAE=ZADP

1

AP=PD=PE=—AE

由三角形中內(nèi)弧定義知，PD<PM

AE<3,即V4t2+143,解得：t<V2

t>0

???0<t<V2

【點(diǎn)睛】

此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)計(jì)算，直角三角形性質(zhì)等，給出了“三角形中內(nèi)弧”新定義,

要求學(xué)生能夠正確理解新概念，并應(yīng)用新概念解題.

3.(2018?北京?中考真題)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M,N,給出如下定義P為圖形M上任意一點(diǎn)，

Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M,N間的“閉距離”，

記作dCM,N).

已知點(diǎn)4(一2,6),B(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(點(diǎn)。，△ABC)；

(2)記函數(shù)y=kx(—1WxWl,kKO)的圖象為圖形G,若d(G,△ABC)=1,直接寫(xiě)出k的取值范圍

(3)07的圓心為T(mén)(7,0),半徑為1.若d(OT,AABC)=1,直接寫(xiě)出/的取值范圍.

【答案】(1)2；(2)—lWk<0或0<kWl；(3)t=—4或0Wt<4—2魚(yú)或t=4+2或.

【解析】

【詳解】

分析：(1)畫(huà)出圖形，根據(jù)“閉距離”的概念結(jié)合圖形進(jìn)行求解即可.

(2)分k<0和上>0兩種情況，畫(huà)出示意圖，即可解決問(wèn)題.

(3)畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出,的取值范圍.

詳解：(1)如下圖所示：

VB(-2,-2),C(6,-2)

：.D(0,-2)

：.d(。，△ABC)=OD=2

(2)-l<fc<O^cO</c<l

(3)t=—4或0WtW4-2魚(yú)或t=4+2?.

點(diǎn)睛屬于新定義問(wèn)題，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，認(rèn)真分析材料，讀懂“閉距離”的概念是解

題的關(guān)鍵.

4.（2017?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M,給出如下的定義：若在圖形M存在

一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1,則稱(chēng)P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

（1）當(dāng)。O的半徑為2時(shí)，

①在點(diǎn)「1仔0）,2（］亨）,P3（|,0）中，。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是.

②點(diǎn)P在直線(xiàn)y=-x上，若P為。O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

（2）?C的圓心在x軸上，半徑為2,直線(xiàn)y=-x+l與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B.若線(xiàn)段AB上的所有點(diǎn)都

是。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】⑴①P2、P3,②—室xS一弓或日Wx岑；（2）-2<x<l2<x<2V2.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）①由題意得，P只需在以O(shè)為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，由?！?,。。3的值可知。2,

P3為。O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；②滿(mǎn)足條件的P只需在以O(shè)為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，所以P橫坐標(biāo)范圍

是一隨＜x＜一返或返＜x包名

2222

(2).分四種情況討論即可，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A,CA=3時(shí)；當(dāng)圓與小圓相切時(shí)；當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A,AC=1時(shí)；當(dāng)圓過(guò)

點(diǎn)B時(shí)，即可得出.

試題解析：

(1)OP1=l，OP2=l,OP3=l，

點(diǎn)Pl與。的最小距離為|，點(diǎn)P2與。的最小距離為1,點(diǎn)P3與。的最小距離為今

???0的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為P2和23.

②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)直線(xiàn)y=-x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意；

/.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸(x,-x),□

當(dāng)OP=1時(shí)，由距離公式可得，OP=J(x—0)2+(—X一0)2=1,解得x=±￥,當(dāng)op=3時(shí)，由距離公式

可得，OP=J(x—0)2+(—X—0)2=3,/+#=9,解得％=±乎，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為一乎＜X＜-^或當(dāng)＜X＜^2

(2):丫=班+:!與軸、軸的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，令y=0得，-x+l=0,解得x=l,口

令得x=0得，y=0,

；.A(1,0),5(0,1),

分析得：

如圖1,當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)CA=3,

...點(diǎn)C坐標(biāo)為，C(-2,0)□

如圖2,當(dāng)圓與小圓相切時(shí)，切點(diǎn)為D,

；.CD=1,

又?.?直線(xiàn)AB所在的函數(shù)解析式為y=-x+l,

二直線(xiàn)AB與x軸形成的夾角是45。，

RTAACD中，CA=V2，

C點(diǎn)坐標(biāo)為(1-或，0)

C點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為；-2WXcW1-魚(yú)，

如圖3,當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A時(shí)，AC=1,

C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)

如圖4,

當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)B時(shí)，連接BC，此時(shí)BC=3,

在RtaOCB中，由勾股定理得0?=存11=2魚(yú)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2V2.0）.

二C點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為2sxe<2V2;

???綜上所述點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍為一乎<xc<~^或日夕c餐.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有切線(xiàn)，同心圓，一次函數(shù)等，能正確地理解新定義，正

確地進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

5.（2016?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（/，月），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（%2,及），

且小片冷，月力及，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱(chēng)該矩形為

點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”的示意圖.

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）.

①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,1）求點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積;

②點(diǎn)C在直線(xiàn)x=3上，若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線(xiàn)AC的表達(dá)式;

（2）。。的半徑為,/二，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,3）.若在。O上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為

正方形，求m的取值范圍.

【答案】（1）①2；②y=x—l或y=-x+l；（2）l<m<5或者—5WmW-l.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）①易得S=2；

②得到C的坐標(biāo)可以為（3,2）或者（3,-2）,設(shè)AC的表達(dá)式為y=kx+b,將A、C分別代入AC的表達(dá)

式即可得出結(jié)論；

（2）若OO上存在點(diǎn)N,使MN的相關(guān)矩形為正方形，則直線(xiàn)MN的斜率k=±l,即過(guò)M點(diǎn)作k=±l的直

線(xiàn)，與。O相切，求出M的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.

試題解析：（1）①S=2xl=2；

②C的坐標(biāo)可以為（3,2）或者（3,-2）,設(shè)AC的表達(dá)式為y=kx+b,將A、C分別代入AC的表達(dá)式得到

C二上嚼或｛4受江6,解得：｛，=匕或｛"普1，則直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y=x—1或y=—x+l；

（2）若。。上存在點(diǎn)N,使MN的相關(guān)矩形為正方形，則直線(xiàn)MN的斜率k=±l,即過(guò)M點(diǎn)作k=±l的直

線(xiàn)，與。。有交點(diǎn)，即存在N,當(dāng)k=—1時(shí)，極限位置是直線(xiàn)與。O相切，如圖人與l，直線(xiàn)A與。O切于

點(diǎn)N,ON=V2，ZONM=90°,與y交于Pi（0,-2）.（m1；3）,/.3-（-2）=0-

：.Mr（-5,3）；同理可得M2（-1，3）；

當(dāng)k=l時(shí)，極限位置是直線(xiàn)b與〃（與。O相切），可得“3（1，3）,“4（5,3）.

因此m的取值范圍為l<m<5或者一5WmW—1.

考點(diǎn)：一次函數(shù)，函數(shù)圖象，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

6.(2015?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為r,尸是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)

于。C的反稱(chēng)點(diǎn)的定義如下若在射線(xiàn)CP上存在一點(diǎn)P,滿(mǎn)足CP+CP=2r,則稱(chēng)P為點(diǎn)P關(guān)于。C的反稱(chēng)

點(diǎn)，如圖為點(diǎn)尸及其關(guān)于。。的反稱(chēng)點(diǎn)P的示意圖.

特別地，當(dāng)點(diǎn)P與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP=0.

(1)當(dāng)。。的半徑為1時(shí).

①分別判斷點(diǎn)M(2,1),N(|,0),T(1,V3)關(guān)于。。的反稱(chēng)點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)尸在直線(xiàn)產(chǎn)-x+2上，若點(diǎn)尸關(guān)于。。的反稱(chēng)點(diǎn)P存在，且點(diǎn)P不在x軸上，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值

范圍；

(2)。。的圓心在x軸上，半徑為1,直線(xiàn)廠(chǎng)■■爭(zhēng)+2機(jī)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)N,B,若線(xiàn)段上存在

點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸關(guān)于。C的反稱(chēng)點(diǎn)P在。C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】(1)①見(jiàn)解析；②0〈尤<2；(2)圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是2SxW8.

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)反稱(chēng)點(diǎn)的定義畫(huà)圖得出結(jié)論；@-：CP<2r=2,CP2<4,P(x,—x+2),CP2=x2+(—x+

2)2—2x2—4x+4<,2x2~4x<0,x(x—2)<0,0<x<2,把x=2和x=0代入驗(yàn)證即可得出，P(2,0),

P'(2,0)不符合題意P(0,2),P(0,0)不符合題意，Z,0<x<2

(2)求出4,2的坐標(biāo)，得出。/與05的比值，從而求出/。48=30。，設(shè)C(x,0)

①當(dāng)C在。4上時(shí)，作S_L43于〃，HlJCH<CP<2r^2,：.AC<4,得出C點(diǎn)橫坐標(biāo)近2.(當(dāng)x=2時(shí),

C點(diǎn)坐標(biāo)(2,0),〃點(diǎn)的反稱(chēng)點(diǎn)M(2,0)在圓的內(nèi)部)；②當(dāng)C在/點(diǎn)右側(cè)時(shí)，C到線(xiàn)段48的距離為

NC長(zhǎng)，NC最大值為2,；.C點(diǎn)橫坐標(biāo)爛8,得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)解：@M(2,1)關(guān)于。O的反稱(chēng)點(diǎn)不存在，

N(|,0)存在，關(guān)于。。的反稱(chēng)點(diǎn)存在，反稱(chēng)點(diǎn)N6,0)

T(L何存在，關(guān)于。O的反稱(chēng)點(diǎn)存在，反稱(chēng)點(diǎn)7(0,0).

②2r=2,OP2<4,P(x,—x+2),

。尸2=N+(一無(wú)+2)2=2/—4X+4S4

2x2—4x<0,x(x—2)<0,

/.0<x<2,當(dāng)x=2時(shí)，P(2,0),P'(2,0)不符合題意

當(dāng)x=0時(shí)，P(0,2),P'(0,0)不符合題意，

.,.0<x<2

(2)解：由題意得：A(6,0),B(0,2V3)，

?,送=后

：.ZOAB=30°,

設(shè)C(x,0)

①當(dāng)。在上時(shí)，作CH_L/8于〃，則C77WCPW2r=2,：.AC<4,。點(diǎn)橫坐標(biāo)史2.

(當(dāng)x=2時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)(2,0),〃點(diǎn)的反稱(chēng)點(diǎn)發(fā)(2,0)在圓的內(nèi)部)

②當(dāng)C在/點(diǎn)右側(cè)時(shí)，C到線(xiàn)段48的距離為ZC長(zhǎng)，/C最大值為2,點(diǎn)橫坐標(biāo)爛8

綜上所述：圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍2WxW8.

考點(diǎn)：定義新運(yùn)算；一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；圓的有關(guān)性質(zhì)，解直角三角形；

7.(2014?北京?中考真題)對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M>0,對(duì)于任意的函數(shù)值y,都滿(mǎn)足

-M<y<M,則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿(mǎn)足條件的M中，其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如,

下圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

(1)分別判斷函數(shù)y=；(刀>。)和丫=尤+1(—4<%三2)是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

(2)若函數(shù)y=—%+《力力>a)的邊界值是2,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍；

(3)將函數(shù)y=/(—1<%<加，m20)的圖象向下平移租個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t,當(dāng)TH在什么

范圍時(shí)，滿(mǎn)足為Y1?

【答案】(1)y=：(%>0)不是有界函數(shù)，y=%+1(—4V%42)是有界函數(shù)，邊界值是3；(2)-1<h<3；

(3)或

【解析】

【分析】

(1)分析題意，結(jié)合已知中有界函數(shù)的定義可進(jìn)行判斷；

(2)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得y=-x+1的增加性,再結(jié)合自變量的取值范圍和題意可得｛-24：1<2,

解此不等式組可得b的取值范圍；

(3)要分情況討論，易判斷巾>1不符合題意，故小《1；結(jié)合已知函數(shù)解析式可得函數(shù)過(guò)點(diǎn)(一1,1)和

(0,0),以此求得其平移后的點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得?41—或一1《一由此即可求得小的取值范圍.

【詳解】

解：（1）結(jié)合已知根據(jù)有界函數(shù)的定義可知y=*x>0）不是有界函數(shù)，y=x+1（—4<x42）是有界函數(shù),

邊界值是3；

（2）y=—%+1中一1V0,y隨式的增大而減小，

???當(dāng)％=。時(shí)，y=—a+1=2,故a=—1.

當(dāng)％=b時(shí)，y=—b+1,

根據(jù)題意可得：｛-24］箕1<2，

***3>b>-1；

（3）若6>1,函數(shù)向下平移m個(gè)單位后，％=0時(shí)，函數(shù)值小于一1,此時(shí)函數(shù)的邊界值力大于1,與題意不

符，故血《1.

當(dāng)％=—1時(shí)，y=1,即過(guò)（一1,1）,

當(dāng)％=0時(shí),ymin=0,即過(guò)（0,0）,

將（-L1），（0,0）都向下平移加個(gè)單位，得到（一1,1一瓶），（0,-m）,

根據(jù)題意可得：1—血=力或一m=3

—或一14一?71《天

???

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時(shí)要熟悉平移變換的

性質(zhì).

8.（2013?北京?中考真題）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和。C,給出如下定義：若。C上存在兩個(gè)點(diǎn)

A,B,使得NAPB=60。，則稱(chēng)P為。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)D（8,1）,E（0,一2）,F（范,0）

（1）當(dāng)。O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)D,E,F中，。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是；

②過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)交y軸正半軸于點(diǎn)G,使NGFO=30。，若直線(xiàn)上的點(diǎn)P（m,n）是。0的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的

取值范圍；

（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍.

【答案】（1）①D,E?0<m<V3（2）r>l

【解析】

【詳解】

解：

（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得出E點(diǎn)是。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，進(jìn)而得出F、D,與00的關(guān)系：

如圖1所示，過(guò)點(diǎn)E作。O的切線(xiàn)設(shè)切點(diǎn)為R,

VE0=2,.,.ZOER=30°.

根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得出00的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn)，使得組成的角等于30°.

；.E點(diǎn)是。O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

VDC|,E（0,-2）,F（2V3，0）,

；.OF>EO,DO<EO.

.??D點(diǎn)一定是。0的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在。O上不可能找到兩點(diǎn)使得組成的角度等于60。.故在點(diǎn)D、E、F中,

OO的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D,E.

②由題意可知，若P要?jiǎng)偤檬?。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，需要點(diǎn)P到。C的兩條切線(xiàn)PA和PB之間所夾的角為60。.

由圖2可知NAPB=60。，貝i]/CPB=30。，

連接BC,則PC=V^=2BC=2r,

sinzCPB

.?.若P點(diǎn)為。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心的距離d滿(mǎn)足0<d<2r.

由(1),考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，

點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP=2xl=2,

過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線(xiàn)OH,垂足為H,

則tan/OGF=螺=乎=V3-

二ZOGF=60°.

OH=OGsin60°=V3.sinzOPH=零=§.

/.ZOPH=60°.可得點(diǎn)Pi與點(diǎn)G重合.

過(guò)點(diǎn)P2作PzMLx軸于點(diǎn)M,可得NP20M=30。，

.,.OM=OP2COS30°=V3.

二若點(diǎn)P為。O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則P點(diǎn)必在線(xiàn)段PiP2±.

.,.0<m<V3.

(2)若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線(xiàn)段EF的

中點(diǎn).

即恰好E、F點(diǎn)為。K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN李F=2,此時(shí)，r=l.

若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r>l.

【模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

I.（2022?北京朝陽(yáng)?二模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。。的半徑為1,48=1,且3兩點(diǎn)中至少有一

點(diǎn)在。。外.給出如下定義平移線(xiàn)段N3,得到線(xiàn)段49（4,9分別為點(diǎn)4,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若線(xiàn)段49上

所有的點(diǎn)都在0。的內(nèi)部或。。上，則線(xiàn)段44長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線(xiàn)段N8到。。的“平移距離”.

（1）如圖1,點(diǎn)41，%的坐標(biāo)分別為（-3,0）,（—2,0）,線(xiàn)段到。。的"平移距禺"為_(kāi)_，點(diǎn)人2，口2

的坐標(biāo)分別為（一，V3）,多遮），線(xiàn)段人2&到。。的“平移距離”為—；

（2）若點(diǎn)/,2都在直線(xiàn)y=Bx+2值上，記線(xiàn)段48到。。的“平移距離”為4,求d的最小值;

(3)如圖2,若點(diǎn)/坐標(biāo)為(1,原),線(xiàn)段N8到。。的“平移距離”為1,畫(huà)圖并說(shuō)明所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)8形

成的圖形(不需證明).

【答案】⑴2,日

⑵亨

(3)見(jiàn)解析，MN

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)及線(xiàn)段到圓的“平移距離”定義可分別求得；

(2)如圖1,可求得直線(xiàn)/與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則可求得/與x軸所夾的銳角，將直線(xiàn)/向右平移得到直線(xiàn)

h，當(dāng)直線(xiàn)人經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為夕，則可得△。4方是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1；作力4,直線(xiàn)

I于點(diǎn)4線(xiàn)段到。。的“平移距離總是44的長(zhǎng)度，從而可求得最小值d.

(3)如圖2,連接04交。。于點(diǎn)3,設(shè)。。交x軸正半軸于點(diǎn)E,連接BE,作3關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。，

連接3。、OD,則易得△(?"、△OAD都是等邊三角形，由點(diǎn)8是CM中點(diǎn)，可求得點(diǎn)8、。的坐標(biāo)，由8

到/的平移及已知可求得點(diǎn)。、E平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，則M、N在以點(diǎn)/為圓心1為半徑的圓

上，此時(shí)可得點(diǎn)2形成的圖形.

(1)

當(dāng)線(xiàn)段出為向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，線(xiàn)段/由/上的點(diǎn)除/I點(diǎn)位于。。上外，其余點(diǎn)全部位于。。內(nèi)部,

則線(xiàn)段AjB,到。。的“平移距離”為點(diǎn)Aj平移的距離2；

如圖，當(dāng)線(xiàn)段上已向下平移到上萬(wàn)2'時(shí)，線(xiàn)段七夕2‘上的點(diǎn)除七'、兩點(diǎn)位于。。上外，其余點(diǎn)全部位于

。。內(nèi)部，設(shè)企'%'與了軸交于點(diǎn)C,

=/z%，=3282=OA2—1,

...由勾股定理得："="廿_42￡2=112_?=爭(zhēng)

,點(diǎn)a2,%的坐標(biāo)分別為(一pV3)>(g，W，

.?.小是向下平移的距離為：遮―苧=容

則線(xiàn)段出層到。。的“平移距離”為爭(zhēng)

(2)

如圖1,直線(xiàn)/的表達(dá)式為y=舊刀+2b，4點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0).

在丫=+2V^中,令y=0,得x=-2；令x=0,得y=2V^,

則直線(xiàn)/與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,2V3).

.?.直線(xiàn)/與x軸所夾銳角為60。.

將直線(xiàn)/向右平移得到直線(xiàn)h，當(dāng)直線(xiàn)"經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為方.

VOA'=OB',Z.B'A'0=60°,

△。4所是等邊三角形，

：.A'B'=1.

二當(dāng)點(diǎn)4,8在直線(xiàn)/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段到。。的“平移距離加總是44的長(zhǎng)度.

作44,直線(xiàn)/于點(diǎn)/,此時(shí)44的長(zhǎng)度當(dāng)即為d的最小值

（3）

如圖2,連接。4交。。于點(diǎn)8,設(shè)。。交x軸正半軸于點(diǎn)E,連接8E,作3關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。，連接

BD、OD,

由點(diǎn)/坐標(biāo)知：tanN40E=^=V^,

二ZAOE=60°,

'：OB=OE=\,

...△O2E是等邊三角形，

：.BE=\.

由N/OE=60。，則射線(xiàn)OA與y軸正半軸的夾角為30°,

,由對(duì)稱(chēng)性知，/BOD=60。,

:.AOBD是等邊三角形，

：.BD=\,且8。_1_了軸.

由題意知點(diǎn)/平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為S點(diǎn)。、E分別是線(xiàn)段的端點(diǎn)3平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且是兩個(gè)邊界點(diǎn)，

?.?點(diǎn)8是CM的中點(diǎn)，

.?碇闈,

皿4,到

由于3點(diǎn)向右平移半個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移當(dāng)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)/,則點(diǎn)。、E按此平移分別得到點(diǎn)"（0,

V3）＞N空），

二以點(diǎn)4為圓心，1為半徑畫(huà)圓，可知點(diǎn)M,N在＜3/上.

所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)5形成的圖形為MN.

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓的綜合題，考查了平移變換，一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2.（2022?北京北京?二模）在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，。。的半徑為1.對(duì)于線(xiàn)段PQ給出如下定義：若線(xiàn)段

PQ與O。有兩個(gè)交點(diǎn)M，N,且PM=MN=NQ,則稱(chēng)線(xiàn)段PQ是。。的“倍弦線(xiàn)”.

(1)如圖，點(diǎn)48,C,。的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線(xiàn)段力B,AD,CB,CD中，O。的倍弦線(xiàn)”是；

⑵O。的“倍弦線(xiàn)”P(pán)Q與直線(xiàn)尤=2交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E縱坐標(biāo)'E的取值范圍；

(3)若。。的“倍弦線(xiàn)”P(pán)Q過(guò)點(diǎn)(1,0),直線(xiàn)y=x+b與線(xiàn)段PQ有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出6的取值范圍.

【答案】⑴4B,CD；

(2)—V5WYEWV5：

(3)-V2-2<b<2V2+l

【解析】

【分析】

(1)依次連接線(xiàn)段力B,AD,CB,CD,通過(guò)“倍弦線(xiàn)”的定義判斷即可；

(2)通過(guò)〃、N均在圓上，可以求得必V的取值范圍，進(jìn)而可以求出P0的取值范圍，結(jié)合圖形，就可以

求出點(diǎn)E縱坐標(biāo)VE的取值范圍；

(3)先畫(huà)出尸、。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，分別求出直線(xiàn)y=x+b與兩個(gè)圓相切時(shí)對(duì)應(yīng)的尸、S坐標(biāo)，進(jìn)而就可

以去就出b的取值范圍.

(1)

解：如圖，連接分別交O0于點(diǎn)E、F,連接分別交O。于點(diǎn)G、H,連接CD分別交O0于點(diǎn)K、

F,連接C8,

???C2與。。沒(méi)有交點(diǎn)，故CB不符合題意；

觀察圖像，AG豐DH,故/￡>不符合題意；

???ZE=EF=FB=2,；.線(xiàn)段45是O。的“倍弦線(xiàn)”；

CK=KF=FD=奩，.?.線(xiàn)段CD是。。的“倍弦線(xiàn)”,

故O。的“倍弦線(xiàn)”是AB,CD；

⑵

由題意，可得PQ=3MN,

?：M、N在圓上,

：.MN<2,

：.PQ<6,

如圖，當(dāng)OP=3且點(diǎn)尸在直線(xiàn)x=2上時(shí),

\'0H=2,

???PH=70P2一。。2=<32_22=V5-

：.P1H^P2H=^>

結(jié)合圖形，點(diǎn)￡的縱坐標(biāo)取值范圍為一遍三丫后3通；

(3)

由題意可得，P、0的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是以M為圓心，1為半徑的圓和以N為圓心，2為半徑的圓，如圖所示,

當(dāng)直線(xiàn)y=x+b與圓N相切時(shí)，如圖中的直線(xiàn)RP,切點(diǎn)為。，

連接N0,?.?直線(xiàn)R尸與ON相切，^NQR=90°,

因?yàn)镽、尸在直線(xiàn)丫=刀+6上，；.NORP=45。，

叢QRN是等腰直角三角形，

過(guò)點(diǎn)。作QE1久軸垂足為E,貝ikNQE=乙ENQ=45°,

設(shè)EQ=EN=a,則EQ2+后解=NQ2,即a2+a2=22,解得a=&(負(fù)值舍去),

OE=ON+NE=?+1,

則Q(—五—1,五),將其代入、=%+6中，解得6=2五+1,

直線(xiàn)RP的解析式為y=x+2或+1,

當(dāng)x=0時(shí)，解得、=2魚(yú)+1,

故P(0,2?+1),

當(dāng)直線(xiàn)y=x+b與圓M相切時(shí)，如圖中的直線(xiàn)S少，切點(diǎn)為7,

連接“7,?.,直線(xiàn)S少與OM相切，NMTW=90。，

因?yàn)镾、沙在直線(xiàn)y=x+b上，：.^OWS=45°,

.?.△7%是等腰直角三角形，

過(guò)點(diǎn)7作7F1x軸垂足為F,則NFMT=ZFTM=45°,

設(shè)MF=FT=a,則“產(chǎn)+口2=“72,即小+小=了,解得。=￥（負(fù)值舍去），

???"=0M+MF=2+亭

則7（2+乎，一孝），將其代入y=x+6中，解得b=—2或—2,

二直線(xiàn)SW的解析式為y=x-V2-2,

當(dāng)久=0時(shí)，解得、=一四一2,

故S（o,-四一2）,

綜上，6的取值范圍為一四—2WbW2四+1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形的新定義問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)，圓的切線(xiàn)性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵在于正確作出輔助線(xiàn)，理解“倍弦線(xiàn)”的定義是解題

的關(guān)鍵.

3.（2022?北京大興?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P和直線(xiàn)y=l,給出如下定義：若點(diǎn)尸在直

線(xiàn)y=l上，且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角是45。，則稱(chēng)點(diǎn)P為直線(xiàn)y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

（1）若在直線(xiàn)％=1上存在直線(xiàn)y=1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”尸.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

y八

2-

1>=1

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

（2）過(guò)點(diǎn)P（2,l）作兩條射線(xiàn)，一條射線(xiàn)垂直于x軸，垂足為出另一條射線(xiàn)、交x軸于點(diǎn)2,若點(diǎn)P為直線(xiàn)y=l

的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

yf

2-

i>=i

-3-2-1O12345K

-1-

-2-

(3)以點(diǎn)。為圓心，1為半徑作圓，若在。。上存在點(diǎn)N,使得NOPN的頂點(diǎn)尸為直線(xiàn)y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.則

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a的取值范圍是.

【答案】

(2)B(l,0)或B(3,0).

(3)-l<a<l.

【解析】

【分析】

(1)在直線(xiàn)x=l上存在直線(xiàn)y=1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P(pán),可得點(diǎn)尸為兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，從而可得答案；

(2)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；

(3)如圖，過(guò)(一1,0),(1,0)作圓的兩條切線(xiàn)，當(dāng)P(—時(shí)，NOPN=45。，根據(jù)三角形的外角的性

質(zhì)可得：NOQN<4OPN=45。,再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得答案.

(1)

解：在直線(xiàn)x=l上存在直線(xiàn)y=l的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”尸