新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題17 空間幾何體的結(jié)構(gòu)和內(nèi)切 外切球問題 （原卷版）

專題17空間幾何體的體積和內(nèi)切外切球問題【考點專題】1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形含義①有兩個面互相平行且全等，其余各面都是平行四邊形．②每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.4.多面體的表面積、側(cè)面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．5．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l6.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【方法技巧】1．多面體與球接、切問題求解策略(1)截面法：過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．(2)補形法：“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，則利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接問題的常用結(jié)論(1)長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個面的棱錐)的高為h，底面外接圓半徑為x，則該幾何體外接球半徑R滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在幾何體底面上的投影，即為底面外接圓的圓心．(4)球(半徑為R)與正方體(棱長為a)有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體，此時2R＝a；二是球與正方體的十二條棱相切，此時2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方體，此時2R＝eq\r(3)a.【核心題型】題型一：利用三視圖求直視圖的體積問題1．（2023·四川·校聯(lián)考一模）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個四棱臺的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．72．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知某個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：mm），可得這個幾何體的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型二：利用三視圖求直視圖的面積問題4．（2022·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則構(gòu)成該多面體的面中最大的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下圖為某四面體的三視圖，則該幾何體的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021秋·江西撫州·高三?？计谀┮粋€幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積SKIPIF1<0（

）A．26 B．36 C．48 D．35題型三：幾何體的體積的求法7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個鱉臑的體積是1，則原長方體的體積是（

）A．8 B．6 C．4 D．38．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟嵌玫剑鐖D，將棱長為6的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面截角得到所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）對食道和胃粘膜有刺激性的粉末或顆粒，或口感不好、易于揮發(fā)、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入氣管的藥需要裝入膠囊，既保護了藥物藥性不被破壞，也保護了消化器官和呼吸道．在數(shù)學(xué)探究課中某同學(xué)設(shè)計一個“膠囊形”的幾何體，由一個圓柱和兩個半球構(gòu)成，已知圓柱的高是底面半徑的4倍，若該幾何體表面積為SKIPIF1<0，則它體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：幾何體的表面積求法10．（2023春·廣東惠州·高三校考階段練習(xí)）河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺．已知一個“方斗”的上底面與下底面的面積之比為SKIPIF1<0，高為2，體積為SKIPIF1<0，則該“方斗”的側(cè)面積為（

）A．24 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個全等的正三角形.已知該多面體的棱BF與平面ABCD所成的角為45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該屋頂?shù)谋砻娣e為（

）A．100 B．SKIPIF1<0 C．200 D．SKIPIF1<012．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體ABCD外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型五：幾何體的內(nèi)切（外切）球問題13．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐SKIPIF1<0的五個頂點都在球面O上，底面ABCD是邊長為4的正方形，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，則球面O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，若三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）我國古代《九章算術(shù)》將底面為矩形的棱臺稱為芻童．若一芻童為正棱臺，其上、下底面分別是邊長為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的正方形，高為1，則該芻童的外接球的表面積為（

）A．16π B．18π C．20π D．25π【高考必刷】一、單選題16．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）某藥廠制造一種藥物膠囊，如圖所示，膠囊的兩端為半球形，半徑SKIPIF1<0，中間可視為圓柱，若該種膠囊的表面積為SKIPIF1<0，則該種膠囊的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0是正三角形且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四棱臺SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為4的正方形，其余各棱長均為2，設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．（2023·湖南·模擬預(yù)測）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄，現(xiàn)測量一個Trullo的屋頂，得到母線SA長為6米（其中S為圓錐頂點，O為圓錐底面圓心），C是母線SA的靠近點S的三等分點．從點A到點C繞圓錐頂側(cè)面一周安裝燈帶，若燈帶的最短長度為SKIPIF1<0米，則圓錐的SO的體積為（

）A．SKIPIF1<0立方米 B．SKIPIF1<0立方米 C．SKIPIF1<0立方米 D．SKIPIF1<0立方米20．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知三棱錐SKIPIF1<0的四個頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第三卷中記載著一個確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即SKIPIF1<0（V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，S表示平面圖形的面積，SKIPIF1<0表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）.已知Rt△ACB中，SKIPIF1<0，則△ACB的重心G到AC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．223．（2023·遼寧阜新·校考模擬預(yù)測）已知矩形ABCD中，AB=8，取AB、CD的中點E、F，沿直線EF進行翻折，使得二面角SKIPIF1<0的大小為120°，若翻折后A、B、C、D、E、F都在球SKIPIF1<0上，且球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則AD=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0的表面積等于SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023春·河南·高三洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在很多人的童年中都少不了折紙的樂趣，而現(xiàn)如今傳統(tǒng)意義上的手工折紙與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，并產(chǎn)生了許多需要縝密論證的折紙問題.有一張直角梯形紙片ABCD,ADSKIPIF1<0BC，∠A=90°，AD=1，BC=2，E為AB的中點，將△ADE和△BCE分別沿DE，CE折起，使得點A，B重合于P，構(gòu)成三棱錐P-CDE，且三棱錐P-CDE的底面和側(cè)面PCD均為直角三角形.若三棱錐P-CDE的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題26．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機械工程專家，機構(gòu)運動學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運動學(xué)》對機械元件的運動過程進行了系統(tǒng)的分析，成為機械工程方面的名著.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體SKIPIF1<0的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為SKIPIF1<0B．勒洛四面體被平面SKIPIF1<0截得的截面面積是SKIPIF1<0C．勒洛四面體表面上交線SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0D．勒洛四面體表面上任意兩點間的距離可能大于227．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N分別為BC，CD的中點，將正方形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，以下結(jié)論中正確的是（

）A．異面直線AC與BD所成的角為定值B．三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D．三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<028．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0內(nèi)，直線SKIPIF1<0與該長方體的每一條棱所成的角都相等，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．點SKIPIF1<0的軌跡長度為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值D．SKIPIF1<0與該長方體的每個面所成的角都相等29．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0與正方體的內(nèi)切球SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為球心）交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則下列說法正確的是（

）A．線段SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0B．過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點的平面截正方體SKIPIF1<0所得的截面面積為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0D．設(shè)SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的范圍是SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0截正方體所得截面的面積為定值31．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知三棱錐SKIPIF1<0的所有棱長均相等，其外接球的球心為O．點E滿足SKIPIF1<0，過點E作平行于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與棱SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，平面SKIPIF1<0經(jīng)過球心OB．四邊形SKIPIF1<0的周長隨SKIPIF1<0的變化而變化C．當(dāng)SKIPIF1<0時，四棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值D．設(shè)四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<032．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點（含邊界），若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0C．線段SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0三、填空題33．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意糧食滿園、稱心如意、十全十美，下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，該升斗外形是一個正四棱臺，上、下底邊邊長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，忽略其壁厚，則該升斗的容積為_________SKIPIF1<0．34．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）正四面體SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0中點為O，平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0所得半徑為SKIPIF1<0的圓與SKIPIF1<0相切，則球SKIPIF1<0的表面積為______.35．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0