初中數(shù)學(xué)同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題09構(gòu)造全等三角形的五大方法含答案及解析

專題09構(gòu)造全等三角形的五大方法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、利用“補(bǔ)形法”構(gòu)造全等三角形 3類型二、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形 5類型三、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形 7類型四、利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形 10類型五、利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形 12壓軸能力測評 141用SSS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個(gè)角必須是兩對應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個(gè)邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.4用HL判定兩個(gè)直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.類型一、利用“補(bǔ)形法”構(gòu)造全等三角形“補(bǔ)形法”是指補(bǔ)全圖形的方法，主要是利用條件構(gòu)造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決問題。例．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【變式訓(xùn)練1】．求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段及∠B，以線段為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出的斜邊，使得，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【變式訓(xùn)練3】．已知，如圖ΔABC中，，，的平分線交于點(diǎn)，，求證：.類型二、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形“截長補(bǔ)短”是處理線段間數(shù)量關(guān)系的一種重要的解題方法.當(dāng)題目中出現(xiàn)三條線段間的和差關(guān)系時(shí)(如a=b+c),?？紤]用此法解決.所謂"截",就是將最長的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段c;所謂"補(bǔ)",就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當(dāng)于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長等于a.用截長補(bǔ)短法解決問題的關(guān)鍵,是用"截"或"補(bǔ)"的手段去構(gòu)造線段.例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，為軸正半軸上一點(diǎn)，在第四象限，且，平分，．

(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

【變式訓(xùn)練3】．(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線BD平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段AB，，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請寫出線段AB、CE、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．類型三、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角相等）倍長中線最重要的一點(diǎn)：延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造?！痉椒ㄖv解】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一圖一圖二方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE如圖二結(jié)論：方式2：間接倍長如圖三：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E；如圖四：延長MD到N，使DN=MD，連接CN，例．如圖，為中線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，．求證：．【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【變式訓(xùn)練2】．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以，為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長至，使，連接）類型四、利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時(shí)，若條件較為分散，可考慮利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，可高效突破有關(guān)難題。手拉手模型便是由兩個(gè)同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個(gè)全等三角形旋轉(zhuǎn)而得，這便體現(xiàn)了全等三角形和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系！熟悉手拉手模型2.遇60°，120°構(gòu)全等關(guān)鍵：抓住相等的邊，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，以及旋轉(zhuǎn)后圖形的特征3.遇45°，135°構(gòu)造全等通過全等構(gòu)造，將線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中以上這些，將會在另外專題中講到。例．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練1】．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，交AQ于點(diǎn)F，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．類型五、利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形例．小宇和小明一起進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲：已知，將等腰直角三角板擺放在平面內(nèi)，使點(diǎn)A在的內(nèi)部，且兩個(gè)底角頂點(diǎn)B，C分別放在邊上．

(1)如圖1，小明擺放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，從而直接可以判斷出點(diǎn)A在的角平分線上．請回答：小明能夠直接作出判斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是______．(2)如圖2，小宇調(diào)整了的位置，請判斷平分是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請舉出反例．【變式訓(xùn)練1】．定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．

(1)如圖1所示，是中的遙望角，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系__________；(2)如圖1所示，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，四邊形中，，點(diǎn)E在的延長線上，連，若已知，求證：是中的遙望角．【變式訓(xùn)練2】．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．1．在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長為（

）．A．2 B． C． D．34．如圖，在ΔABC中，，，平分，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)為()A． B． C． D．5．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定6．如圖，在中，．將繞O點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到的位置，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．7．已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．8．在中，，，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①與的位置關(guān)系是______；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出正確的結(jié)論再給出證明．9．已知與都是等腰直角三角形，且．求證：(1)；(2)．10．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，，，點(diǎn)E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準(zhǔn)確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．

專題09構(gòu)造全等三角形的五大方法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、利用“補(bǔ)形法”構(gòu)造全等三角形 3類型二、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形 10類型三、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形 18類型四、利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形 27類型五、利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形 38壓軸能力測評 451用SSS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個(gè)角必須是兩對應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個(gè)邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.4用HL判定兩個(gè)直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.類型一、利用“補(bǔ)形法”構(gòu)造全等三角形“補(bǔ)形法”是指補(bǔ)全圖形的方法，主要是利用條件構(gòu)造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決問題。例．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【分析】（1）延長BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段及∠B，以線段為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出的斜邊，使得，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；（2）根據(jù)圖形和命題的已知事項(xiàng)寫出已知，根據(jù)命題的未知事項(xiàng)寫出求證，再寫出證明過程即可．【詳解】（1）解：如圖所示，線段為所求作的線段；（2）已知：如圖，是直角三角形，，．求證：．解法一：如圖，在上截取一點(diǎn)，使得，連接．∵，，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，．∵，∴．∴．∴．∵，∴．解法二：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接．∵，，∴，，∵，，，∴．∴．∴是等邊三角形．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角及命題的證明過程的書寫格式，掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)，且滿足，且是常數(shù)，直線平分，交x軸于點(diǎn)D．（1）若的中點(diǎn)為M，連接交于點(diǎn)N，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)A作，垂足為E，猜想與間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析．【分析】（1）由已知條件可得，進(jìn)而得，由直線平分及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，再由三角形的外角定理，分別求得，根據(jù)角度的等量代換，即可得，最后由等角對等邊的性質(zhì)即可得證；（2）如圖，延長交軸于點(diǎn)，先證明，得，再證明，即可得．【詳解】（1），，，，直線平分，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，．（2），證明：如圖，延長交軸于點(diǎn)，直線平分，，，，又，（ASA），，，，即，，又，（ASA），，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的定義，非負(fù)數(shù)之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性質(zhì)，三角形外角定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，熟練掌握以上知識，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．已知，如圖ΔABC中，，，的平分線交于點(diǎn)，，求證：.【答案】見解析.【分析】延長BD交CA的延長線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出結(jié)論即可．【詳解】證明：如圖，延長交的延長線于，平分【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．類型二、利用“截長補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形“截長補(bǔ)短”是處理線段間數(shù)量關(guān)系的一種重要的解題方法.當(dāng)題目中出現(xiàn)三條線段間的和差關(guān)系時(shí)(如a=b+c),?？紤]用此法解決.所謂"截",就是將最長的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段c;所謂"補(bǔ)",就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當(dāng)于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長等于a.用截長補(bǔ)短法解決問題的關(guān)鍵,是用"截"或"補(bǔ)"的手段去構(gòu)造線段.例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，為軸正半軸上一點(diǎn)，在第四象限，且，平分，．

(1)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)32【分析】（1）證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)．證明，可得結(jié)論；（3）證明四邊形是正方形，再證明四邊形的面積正方形的面積即可．【詳解】（1），，，，平分，，，，，，故答案為：；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)．

平分，，，，，，∴，；（3），，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和性質(zhì)求得．再由角平分線定義可得，，最后由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到結(jié)論；（2）作的平分線交于，證明，再由全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）在四邊形中，，又∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴．在中，．（2）．如圖，作的平分線交于．則．

在和中，，．∴．同理，．∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

【答案】見解析【分析】運(yùn)用截長補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)一步證得，所以，得證結(jié)論．【詳解】在上取點(diǎn)F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；運(yùn)用截長補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形求證線段相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線BD平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段AB，，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請寫出線段AB、CE、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）方法1：在上截取，連接，證明，得出，，進(jìn)而得出，則，等量代換即可得證；方法：延長AB到，使，連接，證明，得出，，進(jìn)而得出，則，等量代換即可得證（2）AB，，BD之間的數(shù)量關(guān)系為．方法1：在BD上截取，連接，由知，得出，為等邊三角形，證明，得出，進(jìn)而即可得證；方法：延長CB到，使，連接，由知，則，是等邊三角形，證明，得出，進(jìn)而即可得證；（3）線段AB、CE、之間的數(shù)量關(guān)系為，連接BD，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，和，得出，進(jìn)而即可得證．【詳解】解：（1）方法1：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；方法：延長AB到，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；（2）AB，，BD之間的數(shù)量關(guān)系為．方法1：理由如下：如圖，在BD上截取，連接，由知，，，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，．方法：理由：延長CB到，使，連接，由知，，是等邊三角形，，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，；（3）線段AB、CE、之間的數(shù)量關(guān)系為．連接BD，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．類型三、利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點(diǎn)，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角相等）倍長中線最重要的一點(diǎn)：延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構(gòu)造。【方法講解】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一圖一圖二方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE如圖二結(jié)論：方式2：間接倍長如圖三：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E；如圖四：延長MD到N，使DN=MD，連接CN，例．如圖，為中線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．延長至點(diǎn)，使，連接．結(jié)合題意可證明，得到，．由，可得，結(jié)合，得到，即可求解．【詳解】解：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接．為的中線，．在和中，，，，．，．，，，．【變式訓(xùn)練1】．（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）由已知得出，即為的一半，即可得出答案；（2）延長至點(diǎn)M，使，連接，可得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；（3）延長交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①，延長到點(diǎn)E，使，連接，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：延長至點(diǎn)M，使，連接，如圖②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，延長交于點(diǎn)G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分線，∴∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系，作輔助線—倍長中線法、全等三角形的判定與性質(zhì)，角的關(guān)系等知識點(diǎn)，所以本題的綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以，為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系．【答案】（1），；（2）見解析；（3），【分析】（1）延長至，使，連接，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”求解即可；（2）延長至點(diǎn)，使，連接，利用“”證明，易得，可知為的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)可得，然后由三角形的三邊關(guān)系可證明結(jié)論；（3）延長于，使得，連接，延長交于，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，再證明，可得，，進(jìn)而可證明．【詳解】解：（1）如圖1，延長至，使，連接，∵為邊上的中線，，，∴，在和中，，∴，∴，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，∵，∴，∴，故答案為：，；（2）如圖2中，延長至點(diǎn)，使，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3）結(jié)論：，，如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角形中線、垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長至，使，連接）【答案】見解析【分析】延長至，使，連接．先證明．得到，，再利用外角性質(zhì)及等式的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，最后即可得到．【詳解】證明：如圖，延長至，使，連接．∵是的中線，∴．在與中，，∴．∴，．∵，∴．∵，，，∴．在與中，，∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．類型四、利用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時(shí)，若條件較為分散，可考慮利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，可高效突破有關(guān)難題。手拉手模型便是由兩個(gè)同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個(gè)全等三角形旋轉(zhuǎn)而得，這便體現(xiàn)了全等三角形和旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系！熟悉手拉手模型2.遇60°，120°構(gòu)全等關(guān)鍵：抓住相等的邊，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，以及旋轉(zhuǎn)后圖形的特征3.遇45°，135°構(gòu)造全等通過全等構(gòu)造，將線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中以上這些，將會在另外專題中講到。例．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點(diǎn)G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)，證明見解析【分析】（1）延長到點(diǎn)G．使．連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）延長至M，使，連接．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．，由全等三角形的性質(zhì)得出，即，則可得出結(jié)論；（3）在上截取，使，連接．證明．由全等三角形的性質(zhì)得出．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．延長到點(diǎn)G．使．連接，∵，∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖②中，延長至M，使BM=DF，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴．∵，∴．∴，即．在與中，，∴．∴，即，∴；（3）解：結(jié)論：．證明：如圖③中，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴，

∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【變式訓(xùn)練1】．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練2】．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由見解析．【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等，將EF轉(zhuǎn)換為GE，證得EF=BE+DF，（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，用（1）中方法，可證得DF=BG，GE=EF，則EF=GE=BE-BG=BE-DF【詳解】解：（1）如圖，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，在與中，；（2）（1）中結(jié)論EF=BE+FD仍成立，理由如下，證明：如圖，延長CB到M，使BM=DF，在與中即在與中即；（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，理由如下，證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，在與中．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，三角形全等的判定與性質(zhì)，本題中通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確全等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，交AQ于點(diǎn)F，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析；（2）BE+DF=EF，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可．（2）延長FE到H,使EH=EF，根據(jù)題意證明△ABH≌△ADF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形（2）BE+DF=EF．證明：延長FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．類型五、利用“作垂線法”構(gòu)造全等三角形例．小宇和小明一起進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲：已知，將等腰直角三角板擺放在平面內(nèi)，使點(diǎn)A在的內(nèi)部，且兩個(gè)底角頂點(diǎn)B，C分別放在邊上．

(1)如圖1，小明擺放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，從而直接可以判斷出點(diǎn)A在的角平分線上．請回答：小明能夠直接作出判斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是______．(2)如圖2，小宇調(diào)整了的位置，請判斷平分是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請舉出反例．【答案】(1)角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，都在這個(gè)角的平分線上．(2)成立，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，都在這個(gè)角的平分線上，由此即可得出結(jié)論；（2）成立，過點(diǎn)A作，，構(gòu)造全等三角形即可證明，從而得出結(jié)論成立．【詳解】（1）解：因?yàn)?，，根?jù)角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，都在這個(gè)角的平分線上，所以點(diǎn)A在的角平分線上故答案為：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，都在這個(gè)角的平分線上．（2）結(jié)論：平分仍然成立；證明：如解圖3，過點(diǎn)A作，，

∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，在和中，∴∴，又∵，，∴平分，故（1）結(jié)論正確．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、角平分線判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．

(1)如圖1所示，是中的遙望角，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系__________；(2)如圖1所示，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，四邊形中，，點(diǎn)E在的延長線上，連，若已知，求證：是中的遙望角．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)見解析【分析】（1）運(yùn)用角平分線的定義，以及三角形外角的性質(zhì)，推導(dǎo)得到，，進(jìn)而可得；（2）過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)M，作交于點(diǎn)N，作交的延長線于點(diǎn)H，由角平分線的性質(zhì)定理和判定定理可得，根據(jù)可得；（3）過D作交于點(diǎn)M，過D作交的延長線于點(diǎn)N，先證四邊形是矩形，再證，最后證得平分，平分即可．【詳解】（1）解：是中的遙望角，平分，平分，，，，，又，，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)M，作交于點(diǎn)N，作交的延長線于點(diǎn)H，

平分，，，，同理，，，，平分，即，，；（3）證明：如圖，過D作交于點(diǎn)M，過D作交的延長線于點(diǎn)N，

，，，，四邊形是矩形，，即，，，，在和中，，，，，，平分，，，，，，，，，平分，平分，是中的遙望角．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)及判定，三角形外角的定義和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【答案】（4，1）【分析】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C坐標(biāo)可得OA、OC的長，根據(jù)同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，，∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，1）．故答案為：（4，1）【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．1．在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長至，使，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，即為的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長至，使，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．“遇中線，加倍延”構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．證△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三邊關(guān)系求出AE的范圍即可解決問題．【詳解】解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據(jù)勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股定理求出BP．4．如圖，在ΔABC中，，，平分，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)為()A． B． C． D．【答案】B【分析】在AC上截取AE=AN，先證明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．當(dāng)B、M、E共線，BE⊥AC時(shí)，BM+ME最小，可求出∠NME的度數(shù)，從而求出∠BMN的度數(shù)．【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN，∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME與△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME，當(dāng)B、M、E共線，BE⊥AC時(shí)，BM+ME最小，∴MN⊥AB∵∠BAC=68°∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，∴∠BMN=180°-112°=68°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短問題，解題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造全等三角形，把BM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用垂線段最短解決問題．5．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，連接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再證明△BCE≌△BFE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出三條線段之間的關(guān)系.【詳解】解：如圖所示，在AB上截取AF＝AD，連接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分