初中數(shù)學(xué)同步九年級上冊滬科版《壓軸題》專題04二次函數(shù)與最值的四種類型含答案及解析

專題04二次函數(shù)與最值的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、線段最值 1類型二、周長最值 4類型三、面積最值 6類型四、區(qū)間內(nèi)最值 12壓軸能力測評（10題） 13類型一、線段最值類型二面積最值利用割補法（鉛錘線法）：過動點豎直作切割線，將幾何圖形切割成兩個圖形分別求面積然后求和化簡即可得到相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，配方可得最大面積.類型三在區(qū)間范圍內(nèi)一般步驟：(1)求出對稱軸；(2)將區(qū)間以對稱軸為臨界分情況討論，利用二次函數(shù)的增減性求最值或取值范圍：若M(m,yM),N(n,yN)為拋物線上兩點，且M點在N點左側(cè)①區(qū)間在對稱軸左側(cè)時：如圖①，當a>0時，最大值為yM,最小值為yN;如圖②，當a<0時，最大值為yN,最小值為yM;②對稱軸在區(qū)間內(nèi)時：M點比N點更靠近對稱軸，如圖③，當a>0時，最大值為yN,最小值為頂點縱坐標；如圖④，當a<0時，最大值為拋物線頂點縱坐標，最小值為yN;③區(qū)間在對稱軸右側(cè)時：如圖,當a>0時，最大值為yN,最小值為yM;如圖⑥，當a<0時，最大值為yM,最小值為yN。類型一、線段最值例．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，B，C兩點的坐標分別為（3，0）和（0，3）．（1）直線BC的解析式為________．（2）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式．（3）①頂點D的坐標為________；②當0≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為_______，最小值為__________．（4）若點M是第一象限的拋物線上的點，過點M作x軸的垂線交BC于點N，求線段MN的最大值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，拋物線與軸交、兩點，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)表達式；(2)若P點是線段AC上的一個動點，過P點作軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，且，拋物線圖象經(jīng)過A，B，C三點．(1)求A，C兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)若點P是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點D，當?shù)闹底畲髸r，求此時點P的坐標及的最大值．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達式；(2)設(shè)點，求使的值最小時m的值；(3)若點P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于點Q，求的最大值．類型二、周長最值例．如圖，經(jīng)過原點的拋物線y=2x2+mx與軸交于另一點

(1)求的值和拋物線頂點的坐標；(2)在軸上求一點，使的周長最?。咀兪接?xùn)練1】．如圖，在直角坐標系中，已知點，，頂點在坐標原點的拋物線經(jīng)過點B．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上一動點P，設(shè)點P到x軸的距離為，點P到點A的距離為，試說明；(3)將點B繞點A順時針方向得到點C，拋物線上一動點P，當?shù)闹荛L有最小值時，求點P坐標．【變式訓(xùn)練2】．已知拋物線與x軸交于和B（3，0）兩點，且與y軸交于點C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線頂點M坐標及四邊形ABMC的面積；(3)若點P是對稱軸上一點，求當△APC周長最短時，求點P的坐標．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．類型三、面積最值例．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標；【變式訓(xùn)練1】．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點、、交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點、交拋物線于點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【變式訓(xùn)練2】．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于，，交軸于．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式的一般式；(2)若點為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)一個動點，求點運動過程中，四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．【變式訓(xùn)練3】．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸的交點為兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點．(1)連接，試判斷的形狀，并說明理由；(2)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；類型四、區(qū)間范圍內(nèi)最值例．函數(shù)的最大值和最小值分別為（

）A．4和 B．5和 C．5和 D．和4【變式訓(xùn)練1】．已知二次函數(shù)，當時，y的最小值為，則a的值為（

）A．或4 B．4或 C．或4 D．或【變式訓(xùn)練2】．當時，二次函數(shù)的最小值為15，則的值為（

）A．或8 B．8 C．6 D．或6【變式訓(xùn)練3】．已知二次函數(shù)，當時，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或1．如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是1,0，C點坐標是．(1)求拋物線的解析式；(2)求出點B的坐標以及的面積；(3)若點P為拋物線對稱軸上的一個動點，當周長最小時求出點P的坐標．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標為（5，0），點D的坐標為（1，3）．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點G，使得的面積是的面積的？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，直線與拋物線相交于和，點是線段AB上異于、的動點，過點作軸于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如果設(shè)點的坐標為，則點的坐標可表示為__________；(3)在（2）的條件下，請用含有的式子表示的長，并確定長度的最大值．4．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，點的坐標為，與軸交于點C0,?3，點為拋物線的頂點(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)求的面積5．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)的面積為，的面積為，當時，求點的坐標；6．綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，P是拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為，過點P作軸交x軸于點D，交直線于點，連接，，，與直線交于點F．

(1)求A，B，C三點的坐標及直線的函數(shù)表達式；(2)當?shù)拿娣e等于面積的時，求點P的坐標；7．如圖，若要建一個矩形場地，場地的一面靠墻，墻長，另三邊用籬笆圍成，籬笆總長，設(shè)垂直于墻的一邊為，矩形場地的面積為

(1)S與x的函數(shù)關(guān)系式為，其中x的取值范圍是；(2)當矩形場地的面積最大時，求矩形場地的長與寬，并求出矩形場地面積的最大值．8．張大爺要圍城一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另一邊用總長為32米的籬笆恰好圍成．圍成的花圃是如圖所示的矩形．設(shè)邊的長為x米，矩形的面積為S平方米．(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(2)當x為何值時，S有最大值？并求出其最大值．9．已知拋物線與軸交于、兩點，其中點在點的右側(cè)，與軸交于點．(1)求點、的坐標；(2)點為拋物線上一點且在第一象限內(nèi)，求面積的最大值；10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過、兩點，其頂點為，連接，點是線段上一個動點（不與、重合）．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點的坐標；(2)過點作軸于點，連接．求面積的最大值．

專題04二次函數(shù)與最值的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 4類型一、線段最值 4類型二、周長最值 11類型三、面積最值 17壓軸能力測評 26類型一、線段最值類型二面積最值利用割補法（鉛錘線法）：過動點豎直作切割線，將幾何圖形切割成兩個圖形分別求面積然后求和化簡即可得到相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，配方可得最大面積.類型三在區(qū)間范圍內(nèi)一般步驟：(1)求出對稱軸；(2)將區(qū)間以對稱軸為臨界分情況討論，利用二次函數(shù)的增減性求最值或取值范圍：若M(m,yM),N(n,yN)為拋物線上兩點，且M點在N點左側(cè)①區(qū)間在對稱軸左側(cè)時：如圖①，當a>0時，最大值為yM,最小值為yN;如圖②，當a<0時，最大值為yN,最小值為yM;②對稱軸在區(qū)間內(nèi)時：M點比N點更靠近對稱軸，如圖③，當a>0時，最大值為yN,最小值為頂點縱坐標；如圖④，當a<0時，最大值為拋物線頂點縱坐標，最小值為yN;③區(qū)間在對稱軸右側(cè)時：如圖,當a>0時，最大值為yN,最小值為yM;如圖⑥，當a<0時，最大值為yM,最小值為yN。類型一、線段最值例．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，B，C兩點的坐標分別為（3，0）和（0，3）．（1）直線BC的解析式為________．（2）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式．（3）①頂點D的坐標為________；②當0≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為_______，最小值為__________．（4）若點M是第一象限的拋物線上的點，過點M作x軸的垂線交BC于點N，求線段MN的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）①；②4，-5；（4）【分析】（1）設(shè)直線BC的解析式為，把點B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；（2）把點B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解；（3）①將拋物線解析式化為頂點式，即可求解；②根據(jù)拋物線的頂點式，可得當時，有最大值4，再由二次函數(shù)的增減性，即可求解；（4）設(shè)點，則，可得，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)直線BC的解析式為，把點B（3，0）和C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為；（2）把點B（3，0）和C（0，3）代入得：，解得：，∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；（3）①，∴點；②∵，∴當時，有最大值4，∴在直線的左側(cè)時，隨的增大而增大；在直線的右側(cè)時，隨的增大而減小，當時，，當時，，∴當0≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為4，最小值為-5；（4）設(shè)點，則，∴，∴當時，的值最大，最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，拋物線與軸交、兩點，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)表達式；(2)若P點是線段AC上的一個動點，過P點作軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．【答案】(1)，y=﹣x﹣1(2)【分析】（1）將A、B的坐標代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求出C點的坐標，再由待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式．（2）PE的長實際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點的橫坐標為x，用x分別表示出P、E的縱坐標，即可得到關(guān)于PE的長、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PE的最大值．【詳解】（1）解：將A（﹣1，0），B（3，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為．將C點的橫坐標x=2代入，得y=-3，∴C（2，-3）；設(shè)直線AC的解析式為，把點A（﹣1，0），C（2，-3）代入得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1；（2）解：設(shè)P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），則P（x，﹣x﹣1），F(xiàn)（x，）；∵P點在E點的上方，∴PF=（﹣x﹣1）﹣（）=，∴當x=時，PF的最大值為．【點睛】此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，且，拋物線圖象經(jīng)過A，B，C三點．(1)求A，C兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)若點P是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點D，當?shù)闹底畲髸r，求此時點P的坐標及的最大值．【答案】(1)(2)(3)，的最大值為【分析】（1）根據(jù)，即可求解；（2）設(shè)拋物線的表達式為：，再把點代入，即可求解；（3）先求出直線的表達式，然后過點P作y軸的平行線交于點H，根據(jù)，可得，設(shè)點，則點，可得的長，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：∵點B的坐標為，∴，∵，∴，∴點；（2）解：設(shè)拋物線的表達式為：，把點代入得：，解得：，故拋物線的表達式為：；（3）解：∵直線過點，∴可設(shè)其函數(shù)表達式為：，將點代入得：解得：，故直線的表達式為：，過點P作y軸的平行線交于點H，∵，，∵軸，，∴，∵，∴，設(shè)點，則點，∴，∵，∴有最大值，當時，其最大值為，此時點．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及一次函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖象的面積計算等，其中（3），用函數(shù)關(guān)系表示，是本題解題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

(1)求拋物線及直線的函數(shù)表達式；(2)設(shè)點，求使的值最小時m的值；(3)若點P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作軸交于點Q，求的最大值．【答案】(1)拋物線為，直線AC為(2)(3)的最大值為．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；（2）作直線，作點D關(guān)于直線的對稱點，得坐標為，連結(jié)交直線于點M，此時三點共線時，最小，即最小，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)關(guān)系式，進而求出求出m的值；（3）設(shè)，則，表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值．【詳解】（1）解：由拋物線過點得，解得，∴拋物線為；設(shè)直線為過點，得，解得，∴直線為；（2）解：∵，∴，令，則，解得或，即拋物線與x軸的另一個交點為，作直線，作點D關(guān)于直線的對稱點，得坐標為，如圖，

連接交直線于點M，此時三點共線時，最小，即最小，設(shè)直線的關(guān)系式為：，把點和代入得，得，，∴直線NM的函數(shù)關(guān)系式為：，當時，，∴；（3）解：如圖，

∵軸交于點Q，∴設(shè)，則，∴，∵，∴有最大值，最大值為．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)待定系數(shù)法，利用函數(shù)關(guān)系式求最值，利用對稱知識求最值，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．類型二、周長最值例．如圖，經(jīng)過原點的拋物線y=2x2+mx與軸交于另一點

(1)求的值和拋物線頂點的坐標；(2)在軸上求一點，使的周長最?。敬鸢浮?1)，頂點的坐標是(2)點的坐標為【分析】（1）將點代入拋物線解析式即可求解；（2），因為定值，故求的最小值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=2x2+mx∴，解得，∴，∴拋物線頂點的坐標是.（2）解：∵，為定值∴當?shù)闹底钚r，的周長最小如圖，作點關(guān)于軸對稱的點，連接交軸于點，點即為所求.

設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線的解析式為.∴點的坐標為.【點睛】本題考查拋物線與圖形周長問題．將“的周長最小”轉(zhuǎn)化為“的值最小”是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在直角坐標系中，已知點，，頂點在坐標原點的拋物線經(jīng)過點B．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上一動點P，設(shè)點P到x軸的距離為，點P到點A的距離為，試說明；(3)將點B繞點A順時針方向得到點C，拋物線上一動點P，當?shù)闹荛L有最小值時，求點P坐標．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式：，把代入即可得到k的值即可；（2）設(shè)P點坐標為，過P作軸于F，軸于H，則有，又，，在中，利用勾股定理得到，既有結(jié)論；（3）過點B作軸于E，過點C作軸于D，易證，得到，，得到C點坐標為，則的周長，則的周長，要使最小，則C、P、H三點共線，P點坐標為．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式：∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得，所以拋物線的解析式為：；（2）設(shè)P點坐標為，過P作軸于F，軸于H，如圖，∵點P在拋物線上，∴，∴，∵，，在中，，∴；（3）解：過點B作軸于E，過點C作軸于D，如圖，∵點B繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)得到點C，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴C點坐標為；作直線，過C點作的垂線，交拋物線于P點，則P即為所求的點．∵，，∴，∴的周長，要使最小，則C、P、H三點共線，∴此時P點的橫坐標為3，把代入，得到，即P點坐標為．【點睛】本題考查了點在拋物線上，點的橫縱坐標滿足二次函數(shù)的解析式和頂點在原點的二次函數(shù)的解析式為：；也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及兩點之間線段最短．【變式訓(xùn)練2】．已知拋物線與x軸交于和B（3，0）兩點，且與y軸交于點C（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線頂點M坐標及四邊形ABMC的面積；(3)若點P是對稱軸上一點，求當△APC周長最短時，求點P的坐標．【答案】(1)(2)9(3)（1，2）【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)，即可求解；（3）連接BC與對稱軸交于點P，連接AP，當B、P、C三點共線時，PA+PC有最小值，此時△APC周長最短，直線BC與對稱軸的交點即為所求點P．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，把點C（0，3）代入得：，解得：a=-1，∴拋物線解析式為；（2）解：，∴點M的坐標為（1，4），如圖，過點M作MN⊥x軸于點N，則點N的坐標為（1，0），∵B（3，0），∴BN=2，MN=4，ON=1，∵點，C（0，3），∴OC=3，OA=1，∴，，，∴；（3）解：連接BC與對稱軸交于點P，連接AP，∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴AP=BP，∴PA+PC=PB+PC≥BC，即當B、P、C三點共線時，PA+PC有最小值，最小值為BC的長，此時△APC周長最短設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，當x=1時，y=2，∴點P的坐標為（1，2）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此拋物線的解析式和對稱軸．(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；對稱軸為x＝(2)存在，P的坐標為（，﹣）【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）連接PB，由拋物線的對稱性得：PA＝PB，可得【詳解】（1）解：設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，∵該拋物線過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：解得：

∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∵拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣2＝﹣∴拋物線的對稱軸為x＝．（2）解：存在，理由如下：連接PB由拋物線的對稱性得：PA＝PB∴△PAC的周長PA+PC+AC＝PB+PC+AC，∴當B、P、C三點共線時，PB+PC最小，即當B、P、C三點共線時，△PAC的周長最小，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，將點B（4，0），點C（0，﹣2）代入，得，解得：，即直線BC的解析式為y＝x﹣2．令x＝，則有y＝﹣2＝﹣，即點P的坐標為（，﹣）．∴在此拋物線的對稱軸上存在點P，使△PAC的周長最小，此時點P的坐標為（，﹣）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、面積最值例．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標；【答案】(1)(2)，【分析】本題考查了二次函數(shù)的總和運用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題；（1）由一次函數(shù)的解析式可求出點和點坐標．再代入拋物線解析式中即可求出和的值，即得出拋物線解析式；（2）過作EG軸，交直線于，設(shè)，)，則，)，則可用表示出EG的長，最后利用三角形面積公式即可求出的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得出答案；【詳解】（1）當x=0時，，，當時，，解得：x=6，，把和代入拋物線中得：，解得：，拋物線的解析式為：；（2）如圖，過作EG軸，交直線于，設(shè))，則)，，，，，有最大值，此時；【變式訓(xùn)練1】．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點、、交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點、交拋物線于點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【答案】(1)(2)面積最大值為，此時點【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式求解、二次函數(shù)與面積問題，掌握點的坐標－線段長度－圖形面積的轉(zhuǎn)化是解決第二問的關(guān)鍵．（1）由對稱軸可得點的坐標，再由二次函數(shù)的交點式即可求解；（2）設(shè)點，求出直線的解析式，可分別得出，根據(jù)即可建立函數(shù)關(guān)系式求解．【詳解】（1）解：∵點的坐標為，對稱軸是直線，∴點的坐標為，∴二次函數(shù)的解析式為：（2）解：令，則∴點的坐標為設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，∴直線的解析式為：，設(shè)點，則∴∵，∴當時，面積最大，最大值為，此時點【變式訓(xùn)練2】．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于，，交軸于．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式的一般式；(2)若點為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)一個動點，求點運動過程中，四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為；(2)當點的坐標為時，四邊形的面積最大，最大值為4．【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何圖形的綜合．（1）運用待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式即可求解；（2）如圖，連接，作軸交于點，可求出直線的解析式，設(shè)點的坐標為，的坐標為，用含的式子表示四邊形的面積，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象交軸于點，，交軸于點，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）解：如圖，連接，作軸交于點，

設(shè)直線的解析式為，將點和點的坐標代入，∴，解得，∴，∴設(shè)點的坐標為，的坐標為，∴，∴，∴當時，四邊形的面積取得最大值，此時，∴，∴當點的坐標為時，四邊形的面積最大，最大值為4．【變式訓(xùn)練3】．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸的交點為兩點，與軸交于點，頂點為，其對稱軸與軸交于點．(1)連接，試判斷的形狀，并說明理由；(2)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，的面積記為，求的最大值及此時點的坐標；【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2)最大值為，此時點的坐標為【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求解；（2）過點P作軸交于點H，則，可得當最大時，S最大，根據(jù)題意可以得到直線的函數(shù)解析式，然后設(shè)點P的坐標為，則點H的坐標為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到的最大值，以及此時點P的坐標．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：如圖，

∵，∴點D的坐標為，∵點，，∴，，，∴，∴是直角三角形；（2）解：如圖，過點P作軸交于點H，則，

∴當最大時，S最大，設(shè)直線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)點P的坐標為，則點H的坐標為，∴，∴，∴當時，有最大值，最大值為，此時點的坐標為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．類型四、區(qū)間范圍內(nèi)最值例．函數(shù)的最大值和最小值分別為（

）A．4和 B．5和 C．5和 D．和4【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：中，對稱軸，故在對稱軸處求出最小值，當時，，當時，，時，，故選C．【變式訓(xùn)練1】．已知二次函數(shù)，當時，y的最小值為，則a的值為（

）A．或4 B．4或 C．或4 D．或【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在指定的范圍內(nèi)準確求出函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當時，，解得；當時，在，，解得．【詳解】解：的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為，當時，在，函數(shù)有最小值，∵y的最小值為，∴，∴；當時，在，當x=?1時，函數(shù)有最小值，∴，解得；綜上所述：a的值為4或，故選：B．【變式訓(xùn)練2】．當時，二次函數(shù)的最小值為15，則的值為（

）A．或8 B．8 C．6 D．或6【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出當時的值是解題的關(guān)鍵．利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出當時的值，結(jié)合當時函數(shù)有最小值15，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：當時，有，解得：，．當時，函數(shù)有最小值15，或，或，故選：A．【變式訓(xùn)練3】．已知二次函數(shù)，當時，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或【答案】D【分析】依據(jù)題意，由，故拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下，又當時，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，進而分類討論計算可以得解．【詳解】解：由題意，∵，∴拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下．①當時，即，∵時，y隨x的增大而增大，∴當時，取最小值為；當時，取最大值為；又∵，∴∴，不合題意．②當時，∵時，y隨x的增大而減小，∴當時，取最大值為；當時，取最小值為；又∵，∴，∴，不合題意．③當時，即.∴當時，取最大值為若當時，取最小值為；∴，∴（舍去）或．當時，取最小值為；∴，∴，∴（舍去）或．綜上，或．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，一元二次方程的解法，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．1．如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是1,0，C點坐標是．(1)求拋物線的解析式；(2)求出點B的坐標以及的面積；(3)若點P為拋物線對稱軸上的一個動點，當周長最小時求出點P的坐標．【答案】(1)(2)，(3)【分析】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）將點A，C代入解析式中即可得到拋物線的解析式；（2）解即可求出B點坐標，的高是C點的縱坐標，計算結(jié)果即可．（3）因為的長度不變，要使周長最小，就是最小，而A，B關(guān)于對稱軸對稱，所以就是的最小值，此時D點就是與拋物線對稱軸的交點．先用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求出拋物線的對稱軸，即可求出交點．【詳解】（1）（1）將代入y=ax2+bx+3中得解得∴拋物線的解析式為（2）解：令解得∴點B的坐標．∴∴的面積．（3）設(shè)直線的解析式為將代入得解得∴直線AC的解析式為拋物線的對稱軸為因為的長度不變，要使周長最小，就是最小，而A，B關(guān)于對稱軸對稱，所以就是的最小值，此時P點就是與拋物線對稱軸的交點．當時，∴點P的坐標為∴拋物線的對稱軸上存在點，使的周長最小．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標為（5，0），點D的坐標為（1，3）．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點G，使得的面積是的面積的？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，G的坐標為或．【分析】（1）依題意，利用二次函數(shù)的頂點式即可求．（2）先求線段所在的直線解析式，求利用點到直線的公式，即可求與的高，利用三角形面積公式即可求．【詳解】（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為將點B代入得，得∴二次函數(shù)的表達式為：（2）存在點G，當點G在x軸的上方時，設(shè)直線交x軸于P，設(shè)P（t，0），作于E，于F．由題意：，∵，∴∴，∴，解得，∴直線DG的解析式為，由，解得或，∴G．當點G在x軸下方時，如圖2所示，∵∴當點G在的延長線上時，存在點G使得，此時，的直線經(jīng)過原點，設(shè)直線的解析式為，將點D代入得，故，則有整理得，，得（舍去），當時，，故點G為．綜上所述，點G的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，要學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．3．如圖，直線與拋物線相交于和，點是線段AB上異于、的動點，過點作軸于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如果設(shè)點的坐標為，則點的坐標可表示為__________；(3)在（2）的條件下，請用含有的式子表示的長，并確定長度的最大值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）已知在直線上，可求得的值，拋物線圖象上的、兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）可設(shè)出點橫坐標，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出、的縱坐標，（3）可設(shè)出點橫坐標，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出、的縱坐標，進而得到關(guān)于與點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值．【詳解】（1）解：，在直線上，，，)，在拋物線上，∴解得∴拋物線的解析式為（2）設(shè)動點的坐標為，則點的坐標為，故答案為：（3）解：，∵，∴當時，線段最大為【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識.善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件.4．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，點的坐標為，與軸交于點C0,?3，點為拋物線的頂點(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)求的面積【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點A和點D坐標，再根據(jù)解析求解即可．【詳解】（1）解：將，代入得，解得∴二次函數(shù)的解析式為：；（2）解：將配方得頂點式∴頂點，在中，當時，解得或，∴，∴，∴．5．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)的面積為，的面積為，當時，求點的坐標；【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題．（1）將，代入，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖形得到：，即．運用三角形的面積公式求得點的縱坐標，然后由二次函數(shù)圖像上點的坐標特征求得點的橫坐標即可；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）∵，∴∴．令，則，∴．

∵，，∴，，∴，∴．設(shè)，∴，∴或，∴或【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，以及三角形面積公式等知識點．6．綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，P是拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為，過點P作軸交x軸于點D，交直線于點，連接，，，與直線交于點F．

(1)求A，B，C三點的坐標及直線的函數(shù)表達式；(2)當?shù)拿娣e等于面積的時，求點P的坐標；【答案】(1)，，，直線的函數(shù)表達式為(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，兩點之間的距離，用到了三角形相似和方程思想，（1）對于函數(shù)，分別令，求，，三點的坐標，利用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達式；（2）過作軸，由平行得到，根據(jù)相似的性質(zhì)和得到，再結(jié)合兩點之間距離建立方程求點；【詳解】（1）解：當時，，，令得或，，，設(shè)直線為，代入得，，，，，直線的函數(shù)表達式為；（2）過作軸交于點，