甘肅省蘭州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué)

高一第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測卷數(shù)學(xué)考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的定義域是A.(0,1] B.C. D.4.若，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.5.如果，那么函數(shù)的圖象在A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限6.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)是奇函數(shù)7已知函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列敘述中正確的是（）A.B.若集合是全集的兩個子集，且，則C.命題“”的否定是“”D.命題“”的否定是“”10.下列計算正確的是（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得圖象12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在實數(shù)，函數(shù)無最小值B.對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點C.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.對任意，都存在實數(shù)，使關(guān)于的方程有3個不同的實根三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________．14.青少年視力是社會普遍關(guān)注問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)的滿足.已知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為______.15.寫出一個同時具有下列三個性質(zhì)的函數(shù)：___________.①函數(shù)為指數(shù)函數(shù)；②單調(diào)遞增；③.16.對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知（1）求的值；（2）若是第三象限角，化簡，并求值.18.已知.（1）求證：；（2）若，求的最小值.19.已知函數(shù)是的一個零點.（1）求；（2）當(dāng)時，求的值域.20.“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”是2023年杭州亞運會吉祥物，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文?自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.某中國企業(yè)可以生產(chǎn)杭州亞運會吉祥物“宸宸”“琮蹤”“蓮蓮”，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，投資成本x（百萬元）與利潤y（百萬元）的關(guān)系如下表：（百萬元）2412（百萬元）0.412.8當(dāng)投資成本不高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.（1）當(dāng)投資成本不高于12（百萬元）時，選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)投資成本高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）滿足關(guān)系，結(jié)合第（1）問的結(jié)果，要想獲得不少于一千萬元的利潤，投資成本（百萬元）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：）21.已知函數(shù)，且的圖象過點.（1）求的值及的定義域；（2）求在上的最小值；（3）若，比較與的大小.22.已知函數(shù)．（1）若是偶函數(shù)，求值；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．2023~2024學(xué)年高一第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測卷數(shù)學(xué)考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集的定義求解即可【解析】因為，，所以，故選：C2.“”是“”A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【解析】當(dāng),則,則即充分性成立;當(dāng),時,不成立,即必要性不成立,即“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【小結(jié)】本題考查了充分必要條件的定義,考查不等式性質(zhì),難度容易.3.函數(shù)的定義域是A.(0,1] B.C. D.【答案】D【解析】【解析】由題意知，則函數(shù)的定義域是.故選D.4.若，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)t的范圍，判斷，解一元二次不等式可得答案.【解析】因為，所以，即,所以,即，解得.故選：D5.如果，那么函數(shù)的圖象在A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C第二、三、四象限 D.第一、二、四象限【答案】B【解析】【解析】∴y=的圖象過第一、第二象限,且是單調(diào)增函數(shù),經(jīng)過(0,1)，的圖象可看成把y=的圖象向下平移?b(?b>1)個單位得到的，故函數(shù)圖象經(jīng)過第一、第三、第四象限，不經(jīng)過第二象限，故選B.6.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項判斷即得.【解析】對于A，由于，，因此，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，B錯誤；對于C，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；對于D，由于，因此函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D錯誤.故選：C7.已知函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】利用給定的函數(shù)關(guān)系，依次代入計算即得.【解析】函數(shù)，所以.故選：A8.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，借助媒介數(shù)比較大小即得.【解析】由，得，由，得，即，而，所以.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列敘述中正確的是（）A.B.若集合是全集的兩個子集，且，則C.命題“”的否定是“”D.命題“”的否定是“”【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系可判斷選項A，B；根據(jù)全稱量詞命題的否定形式可判斷選項C，D.【解析】對于選項A：因為，所以，故A正確；對于選項B：B錯誤，可舉特例說明，如，則，所以,故B錯誤；全稱量詞命題的否定是：，故選項C正確；選項D錯誤.故選：AC.10.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用指數(shù)冪和對數(shù)的運算法則即可求解.【解析】對于選項A，，故選項A正確；對于選項B，，故選項B不正確；對于選項C，，故選項C正確；對于選項D，，故選項D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的三角函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的解析式為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，逐項判定，即可求解.【解析】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，可得，再根據(jù)五點作圖法，可得，解得，所以，對于A中，當(dāng)，可得，所以不是函數(shù)的對稱中心，所以A錯誤；對于B中，當(dāng)時，可得，即函數(shù)的最小值，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以B正確；對于C中，當(dāng)，可得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在函數(shù)在先減后增，所以C不正確；對于D中，將函數(shù)該圖象向右平移個單位，可得的圖象，所以D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在實數(shù)，函數(shù)無最小值B.對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點C.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.對任意，都存在實數(shù)，使關(guān)于的方程有3個不同的實根【答案】ABD【解析】【分析】取特值結(jié)合單調(diào)性判斷A；分段討論判斷B；舉特值分析單調(diào)性判斷C；分析函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象判斷D.【解析】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)圖象由函數(shù)的圖象向右平移1個單位而得，函數(shù)在R上是增函數(shù)，對于A，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)無最小值，A正確；對于B，當(dāng)時，由，得，解得，當(dāng)時，由，得，解得，因此對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點，B正確；對于C，取，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，此時函數(shù)在上不單調(diào)，C錯誤；對于D，對任意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，顯然恒有，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，因此方程有3個不同的實根，D正確.故選：ABD思路小結(jié)：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計算可得.解析】.故答案為：14.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)的滿足.已知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為______.【答案】4.9【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及所給數(shù)據(jù)求出，最后代入所給公式計算可得.【解析】解：由，當(dāng)時，，所以.故答案為：15.寫出一個同時具有下列三個性質(zhì)的函數(shù)：___________.①函數(shù)為指數(shù)函數(shù)；②單調(diào)遞增；③.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件①可得函數(shù)的解析式，再利用另兩個條件判斷作答.【解析】因函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則令，且，于是得，由于單調(diào)遞增，則，又，解得，取，所以.故答案為：（答案不唯一）16.對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)的特征，區(qū)間轉(zhuǎn)化法求解析式，再根據(jù)新定義轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到方程根的問題，利用基本不等式即可解決.【解析】由“隱對稱點”的定義可知，的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，設(shè)的圖象與圖象關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，，所以，，故的圖象與的圖象有交點，等價于方程有實根，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知（1）求的值；（2）若是第三象限角，化簡，并求值.【答案】17.2；18.詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用齊次式法計算即得.（2）利用平方關(guān)系化簡給定式子，再結(jié)合（1）利用同角公式求值即得.【小問1解析】由，得，解得，所以值為2.【小問2解析】由（1）知，，即，而，于是，而是第三象限角，即，因此，所以.18.已知.（1）求證：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用基本不等式推理即得.（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小問1解析】，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.【小問2解析】由，且，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值8.19.已知函數(shù)是的一個零點.（1）求；（2）當(dāng)時，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的零點，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出.（2）由（1）求出的解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出值域即得.【小問1解析】依題意，，即，則，而，所以.【小問2解析】由（1）知，，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)，即時，取得最小值，當(dāng)，即時，取得最大值1，則，，所以的值域是.20.“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”是2023年杭州亞運會吉祥物，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文?自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.某中國企業(yè)可以生產(chǎn)杭州亞運會吉祥物“宸宸”“琮蹤”“蓮蓮”，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，投資成本x（百萬元）與利潤y（百萬元）的關(guān)系如下表：（百萬元）2412（百萬元）0.412.8當(dāng)投資成本不高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.（1）當(dāng)投資成本不高于12（百萬元）時，選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)投資成本高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）滿足關(guān)系，結(jié)合第（1）問的結(jié)果，要想獲得不少于一千萬元的利潤，投資成本（百萬元）應(yīng)該控制在什么范圍.（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）最符合實際的函數(shù)模型為，解析式為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，將點，分別代入兩個函數(shù)的解析式，求得的值，結(jié)合時，求得的值，即可得到答案；（2）根據(jù)題意得到利潤與投資成本關(guān)系式，結(jié)合要獲得不少于一個億的利潤，得出不等式，分類討論，即可求解.【小問1解析】解：最符合實際的函數(shù)模型為，理由如下：若選函數(shù)，將點代入可得，解得，所以，當(dāng)時，可得，與實際數(shù)據(jù)差別較大；若選函數(shù)，將點代入可得，解得，所以，當(dāng)時，可得，符合題意，綜上可得，最符合實際的函數(shù)模型為.【小問2解析】解：由題意知，利潤與投資成本滿足關(guān)系式,要獲得不少于