江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試

（上）高二期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無(wú)效.3.本卷滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】采用排除法以及檢驗(yàn)法即可得解.【解析】當(dāng)時(shí)，，故排除D，當(dāng)時(shí)，，故排除BC，經(jīng)檢驗(yàn)A選項(xiàng)符合題意.故選：A.2.圓和圓的位置關(guān)系為（）A相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】利用圓心距與半徑和差關(guān)系判定兩圓位置關(guān)系即可.【解析】易知圓和圓的圓心與半徑分別為：和，所以圓心距為，顯然，即兩圓相外切.故選：C3.某校文藝部有7名同學(xué)，其中高一年級(jí)3名，高二年級(jí)4名.從這7名同學(xué)中隨機(jī)選3名組織校文藝匯演，則兩個(gè)年級(jí)都至少有1名同學(xué)入選的選法種數(shù)為（）A.12 B.30 C.34 D.60【答案】B【解析】【分析】由題意共分兩種情況：①高一年級(jí)選1人，高二年級(jí)選2人，②高一年級(jí)選2人，高二年級(jí)選1人，由此即可求解.【解析】由題意共分兩種情況：①高一年級(jí)選1人，高二年級(jí)選2人，共有種選法；②高一年級(jí)選2人，高二年級(jí)選1人,共有種選法；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得共有種選法.故選：B4.已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】代入點(diǎn)坐標(biāo)求得，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后由焦半徑公式可得結(jié)論．【解析】由已知，，所以.故選：C．5.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.48 B.90 C.96 D.162【答案】B【解析】【分析】分和，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程求解即可.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，，無(wú)解不合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，.故選：B.6.已知橢圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn).若是線(xiàn)段中點(diǎn)，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線(xiàn)的方程.【解析】設(shè)點(diǎn)、，則，因?yàn)?，兩式作差得，即，即，所以，因此直線(xiàn)的方程為，即.故選：D.7.已知平行六面體中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的即可求出夾角的余弦值.【解析】，故，所以.故選：B.8.已知是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn).若的周長(zhǎng)為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求長(zhǎng)，利用對(duì)稱(chēng)性和雙曲線(xiàn)定義可得，由的周長(zhǎng)可得，聯(lián)立求解得，然后根據(jù)的面積構(gòu)造齊次式可解.【解析】記雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)為，將代入解得，所以，由對(duì)稱(chēng)性可知，，所以①，又的周長(zhǎng)為，所以②，聯(lián)立①②求解可得，記AF的中點(diǎn)為D，則，所以，即，得，所以.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式驗(yàn)證．【解析】對(duì)于A，，，A錯(cuò)；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，∴，D正確．故選：BCD．10.已知曲線(xiàn)，則（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.為的一個(gè)頂點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】用軸對(duì)稱(chēng)和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定義逐一判斷即可.【解析】A:用和替換方程中的和，化簡(jiǎn)后方程不變，故曲線(xiàn)E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；B：用替換方程中的y，方程變?yōu)?，與原方程不同，故E不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；C：用y替換方程中的x，同時(shí)用x替換方程中的y，方程不變，故E關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C正確；D：用替換y，同時(shí)用替換x，方程不變，故E關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，聯(lián)立，解得或,由頂點(diǎn)的定義知，是E的一個(gè)頂點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，則（）A. B.是平面的一個(gè)法向量C.共面 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量一一判定選項(xiàng)即可.【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，對(duì)于A項(xiàng)，有，顯然，即不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，有，易得，即是平面的一個(gè)法向量，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，有，易知，所以共面，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，即，故點(diǎn)到平面的距離，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.已知數(shù)列中，.在和之間插入1個(gè)數(shù)，和之間插入2個(gè)數(shù)，和之間插入個(gè)數(shù)，，使得構(gòu)成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則（）A.的公差為6B.和之間插入的2個(gè)數(shù)是19和25C.D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷A；求出的通項(xiàng)公式可判斷BC；找出數(shù)列與的關(guān)系，由裂項(xiàng)相消法可判斷D.【解析】在和之間插入1個(gè)數(shù)，和之間插入2個(gè)數(shù)，在和之間插入3個(gè)數(shù)，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，故A正確；因?yàn)?，和之間插入的2個(gè)數(shù)是，，故B正確；由題意可得前共插入個(gè)數(shù)，加上，則為等差數(shù)列的第21項(xiàng)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以?shù)列與滿(mǎn)足，，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】把方程化為關(guān)于的等式，然后由恒等式知識(shí)求解．【解析】已知直線(xiàn)方程化為，由得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．故答案為：．14.寫(xiě)出符合下列兩個(gè)條件的一個(gè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.①實(shí)軸長(zhǎng)為4；②漸近線(xiàn)方程為【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意可求出a，然后在根據(jù)漸近線(xiàn)方程求出b，由于題目沒(méi)有告訴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，所以需要分類(lèi)討論.【解析】當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意可知:，此時(shí)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由題意可知：，此時(shí)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：或15.第三屆“一帶一路”國(guó)際高峰論壇于年月在北京召開(kāi)，某記者與參會(huì)的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有__________種.【答案】【解析】【分析】先考慮代表甲與代表乙相鄰，利用捆綁法求出排法種數(shù)；然后考慮記者站兩端中的某個(gè)位置，且代表甲與代表乙相鄰，求出此時(shí)的排法種數(shù).再利用間接法可求得結(jié)果.【解析】只考慮代表甲與代表乙相鄰，只需將這兩人捆綁，與剩余人進(jìn)行排序，共有種不同的排法，若記者站兩端中的某個(gè)位置，且代表甲與代表乙相鄰，則記者有種站法，然后將代表甲與代表乙捆綁，與剩余人進(jìn)行排序，此時(shí)不同的站法種數(shù)為種，因此，若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.故答案為：.16.已知圓是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.設(shè)，，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由垂徑定理得到，得到點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題，可看作點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，結(jié)合點(diǎn)的軌跡方程，求出最大值，得到答案.【解析】由題意得，半徑為，由垂徑定理得⊥，則，解得，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為可看作點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，同理，可看作點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，故可看作點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)的軌跡方程為，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大值為圓心到的距離加上半徑，即，故，所以，故最大值為，故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若為等差數(shù)列，且，求的最小值；（2）若為等比數(shù)列，且，求的值.【答案】（1）7（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而求，解不等式即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，，進(jìn)而求，代入運(yùn)算即可.【小問(wèn)1解析】設(shè)的公差為，由條件可得，解得，由，解得或，且，所以的最小值為7.【小問(wèn)2解析】設(shè)的公比為，由條件可得，即，解得，則，所以.18.如圖，在正四棱柱中，，，、分別為和的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1解析】證明：在正四棱柱中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則、、、，所以，.因?yàn)椋?，?【小問(wèn)2解析】解：由，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，即.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，則，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn).（1）求的值；（2）若成等差數(shù)列，求.【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）首先由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)求得其表達(dá)式，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程結(jié)合韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式即可求解.（2），結(jié)合韋達(dá)定理可得，，結(jié)合弦長(zhǎng)公式進(jìn)一步即可求解.【小問(wèn)1解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，即所以的方程為.因?yàn)榕c與交于兩點(diǎn)，所以其斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，消得，易知，設(shè)，則.又，所以，所以.【小問(wèn)2解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，且，即，即，又，解得，由，解得.所以.20.如圖，在四棱錐中，平面，.（1）求二面角的正弦值；（2）在棱上確定一點(diǎn)，使異面直線(xiàn)與所成角的大小為，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角；（2）設(shè)，由空間向量法求異面直線(xiàn)所成的角得出，再由向量法求點(diǎn)面距．【小問(wèn)1解析】以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，則.設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)平面的法向量，則，取得，設(shè)二面角的大小為，則，所以.【小問(wèn)2解析】設(shè)，則.因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與所成角的大小為，所以，解得或（舍去）.此時(shí)，所以點(diǎn)到平面的距離.21.已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由，構(gòu)造新的等比數(shù)列求解即可；已知與的關(guān)系，分，，檢驗(yàn)求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1解析】由，得.因?yàn)?，所以，所以，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以，即.當(dāng)時(shí)，由，解得：當(dāng)時(shí)，由，①得，②①-②，得，即，即.所以，所以，因?yàn)榉仙鲜剑?【小問(wèn)2解析】由（1）知，所以③所以，④③-④，得，所以.22.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）證明：；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求的面積的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）要證，即證直線(xiàn)的斜率之和，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得證；（2）由（1）及橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，直