方法技巧專題03 空間幾何體外接球和內(nèi)切球（解析版）

；方法技巧專題3空間幾何體外接球和內(nèi)切球解析版一、空間幾何外接球和內(nèi)切球知識框架二、求外接球半徑常用方法【一】高過外心空間幾何體（以空間幾何體（以為例）的高過底面的外心（即頂點(diǎn)的投影在底面外心上）：先求底面的外接圓半徑，確定底面外接圓圓心位置;把垂直上移到點(diǎn)，使得點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于到的距離相等，此時(shí)點(diǎn)是幾何體外接球球心；連接，那么, 由勾股定理得：.1.例題【例1】已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵正四棱錐P﹣ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，∴O是球心，球O的半徑r，∴球O的表面積為S＝4πr2＝8π．故選：C．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在三棱錐中..，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜汕蟮?，再由正弦定理可求得的外接圓的半徑，因?yàn)?，所以P在底面上的射影為的外心D，且，設(shè)其外接球的半徑為，則有，解得，所以其表面積為，故選B.【二】高不過外心高不過心—頂點(diǎn)的投影不在底面外心上，以側(cè)棱垂直于底面為例：高不過心—頂點(diǎn)的投影不在底面外心上，以側(cè)棱垂直于底面為例：題設(shè)：已知四棱錐，（1）先求底面的外接圓半徑，確定底面外接圓圓心位置;（2）把垂直上移到點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)是幾何體外接球球心；（3）連接，那么, 由勾股定理得：.1.例題【例1】（1）長方體ABCD?A1B1C1D1（2）已知正三棱柱的底面邊長為3，外接球表面積為，則正三棱柱的體積為（）A. B. C. D.（3）已知，，，，是球的球面上的五個(gè)點(diǎn)，四邊形為梯形，，，，面，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】（1）8π（2）D（3）A【解析】（1）因?yàn)殚L方體ABCD?A所以球的直徑等于長方體的對角線長，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)锳B=2，AD=3，A所以4R2=22（2）正三棱柱的底面邊長為3,故底面的外接圓的半徑為：外接球表面積為外接球的球心在上下兩個(gè)底面的外心MN的連線的中點(diǎn)上，記為O點(diǎn)，如圖所示在三角形中，解得故棱柱的體積為：故答案為：D.（3）取中點(diǎn)，連接且四邊形為平行四邊形，又為四邊形的外接圓圓心設(shè)為外接球的球心，由球的性質(zhì)可知平面作，垂足為四邊形為矩形，設(shè)，則，解得：球的體積：本題正確選項(xiàng)：2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，則三棱柱外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，球的球心為，因?yàn)槿庵膫?cè)棱與底面垂直，所以球的球心為的中點(diǎn)，且直線與上、下底面垂直，且，，所以在中，，即球的半徑為，所以球的體積為，故選D?！揪毩?xí)2】四棱錐的底面為正方形，底面，，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，則的長為（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】連接AC、BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即O為球心，設(shè)球半徑為R，可得，可得，解得PA=1,故選C.【練習(xí)3】四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面，底面為梯形，，且，則此球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由已知可得，底面四邊形為等腰梯形，設(shè)底面外接圓的圓心為，連接，則，，又，設(shè)四棱錐外接球的球心為，則，即四棱錐外接球的半徑為．此球的表面積等于．故選：C．三、常見空間幾何體外接球【一】長（正）方體外接球1、長方體或正方體的外接球的球心：體對角線的中點(diǎn)；1、長方體或正方體的外接球的球心：體對角線的中點(diǎn)；2、正方體的外接球半徑：（為正方體棱長）；3、長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為，外接球的半徑：1.例題【例1】若一個(gè)長、寬、高分別為4，3，2的長方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則此球的表面積為________【解析】長方體外接球半徑：，所以外接球面積：【例2】已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_______【解析】設(shè)正方體棱長為，則，∴.設(shè)球的半徑為，則由題意知.故球的體積.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是________.【解析】由幾何體的三視圖可得該幾何體是直三棱柱，如圖所示：其中，三角形是腰長為的直角三角形，側(cè)面是邊長為4的正方形，則該幾何體的外接球的半徑為.∴該幾何體的外接球的表面積為.故答案為.【練習(xí)2】棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為（） B． C． D．【解析】平面截面所得圓面的半徑為，直線被球截得的線段為球的截面圓的直徑，為【二】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法—漢堡模型直棱柱外接球的求法—漢堡模型補(bǔ)型：補(bǔ)成長方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長方體相同作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理第一步：求底面外接圓的半徑：（為角的對邊）；第二步：由勾股定理得外接球半徑：（為直棱柱側(cè)棱高度）1.例題【例1】直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB⊥BC，【解析】AB⊥BC，AB=3，BC=4，所以底面外接圓的半徑：，是直三棱柱，，所以幾何體外接球半徑；故該球的表面積為:【例2】直三棱柱的所有棱長均為23，則此三棱柱的外接球的表面積為（）A．12π B．16π C．28π【解析】由直三棱柱的底面邊長為23，得底面外接圓的半徑：，又由直三棱柱的側(cè)棱長為23，則，所以外接球半徑，∴外接球的表面積．故選：C2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積是，，，則此直三棱柱的高是________.【解析】設(shè)邊長為，則外接圓半徑為，因?yàn)樗约粗比庵母呤?【三】棱錐的外接圖2圖1類型一：正棱錐型圖2圖1類型一：正棱錐型（如下圖1，以正三棱錐為例，頂點(diǎn)的投影落在的外心上）求底面外接圓半徑：（為角的對邊）；求出，求出棱錐高度;由勾股定理得外接球半徑:.類型二：側(cè)棱垂直底面型類型二：側(cè)棱垂直底面型（如上圖2）1）求底面外接圓半徑：（為角的對邊）；2）棱錐高度;3）由勾股定理得外接球半徑:.類型三：側(cè)面垂直于底面---切瓜模型類型四：棱長即為直徑（類型四：棱長即為直徑（兩個(gè)直角三角形的斜邊為同一邊，則該邊為球的直徑）題設(shè)：,且則外接球半徑：類型五：折疊模型1.例題【例1】已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為（）A.B.C.D.【解析】如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為底面正方形的邊長為正四棱錐的體積為，解得在中，由勾股定理可得：即，解得故選【例2】在三棱錐中，，，面，且在三角形中，有，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】設(shè)該三棱錐外接球的半徑為.在三角形中，∴∴根據(jù)正弦定理可得，即.∵∴∵∴∴由正弦定理，，得三角形的外接圓的半徑為.∵面∴∴∴該三棱錐外接球的表面積為故選A.【例3】已知如圖所示的三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，則球的表面積為．．． ．【解析】，，，，，和所在平面相互垂直，，球的表面積為．故選：．【例4】三棱錐的底面是等腰三角形，，側(cè)面是等邊三角形且與底面垂直，，則該三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．【解析】如圖，在等腰三角形中，由，得，又，設(shè)為三角形外接圓的圓心，則，．再設(shè)交于，可得，，則．在等邊三角形中，設(shè)其外心為，則．過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線相交于，則為該三棱錐的外接球的球心，則半徑．該三棱錐的外接球的表面積為．故選：．【例5】在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的表面積為：.故選：B【例6】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑．若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為A． B． C． D．【解析】如下圖所示，設(shè)球的半徑為，由于是球的直徑，則和都是直角，由于，，所以，和是兩個(gè)公共斜邊的等腰直角三角形，且的面積為，，為的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱錐的體積為，因此，球的體積為，故選：．【例7】在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．7π B．8π C． D．【答案】D【解析】如圖，取BD中點(diǎn)H，連接AH，CH因?yàn)椤鰽BD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設(shè)△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)則由AH＝2可得AEAH，EHAH分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點(diǎn)記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°所以O(shè)E＝1，則R＝OA則三棱錐外接球的表面積故選：D2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知正四棱錐的各條棱長均為2，則其外接球的表面積為()A.B.C.D.【解析】設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD的投影點(diǎn)為,則平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圓的半徑,故該截面圓即為過球心的圓，則球的半徑R=,故外接球的表面積為故選C.【練習(xí)2】如圖，正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，底面正三角形的邊長為3，側(cè)棱長為，則球的表面積是A． B． C． D．【解析】如圖，設(shè)，，，，又，，在中，，得：，，，故選：．【練習(xí)3】已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體為三棱錐A?BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD⊥底面ABC，∠BDC=120°根據(jù)余弦定理可知：BC可知BC=27根據(jù)正弦定理可知?BCD外接圓直徑∴r=2213，如圖，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，過球心O向AD作垂線，則垂足H為DH=1，在Rt?ODH中，R∴外接球的表面積S=4πR3=4π×【練習(xí)4】已知三棱錐中，平面，且，.則該三棱錐的外接球的體積為()A.B.C.D.【解析】∵，∴是以為斜邊的直角三角形其外接圓半徑，則三棱錐外接球即為以C為底面，以為高的三棱柱的外接球∴三棱錐外接球的半徑滿足故三棱錐外接球的體積故選D.【練習(xí)5】已知四棱錐P?ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P?ABCD外接球的表面積是（）A.20πB.101π5C.25πD.【解析】由三視圖得，幾何體是一個(gè)四棱錐A-BCDE,底面ABCD是矩形，側(cè)面ABE⊥底面BCDE.如圖所示，矩形ABCD的中心為M,球心為O,F為BE中點(diǎn)，OG⊥AF.設(shè)OM=x,由題得ME=5,在直角△OME中，x2【練習(xí)6】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球的研究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（）A.81πB.33πC.56πD.41π【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的四棱錐P?ABCD，其中ABCD是邊長為4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD．設(shè)F為AB的中點(diǎn)，E為正方形ABCD的中心，O為四棱錐外接球的球心，O1為ΔPAB外接圓的圓心，則球心O為過點(diǎn)E且與平面ABCD垂直的直線與過O1且與平面由于ΔPAB為鈍角三角形，故O1在ΔPAB的外部，從而球心O與點(diǎn)P在平面ABCD由題意得PF=1,OE=O設(shè)球半徑為R，則R2即OE2+∴R2∴S球表【練習(xí)7】已知底面邊長為2，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為（）A.3πB.2πC.43π【解析】由題意得正三棱錐側(cè)棱長為1，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體（棱長為1），則正方體外接球?yàn)檎忮F外接球，所以球的直徑為1+1+1=3，故其表面積為【練習(xí)8】（2020·南昌市八一中學(xué)）如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．π B．π C．π D．3π【答案】A【解析】取線段BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，由題意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，由題意得BC⊥平面ADS，分別取AD，SD的三等分點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點(diǎn)即球心O，連結(jié)OA，則球O半徑R＝|OA|，由題意知BD，AD，DE，AE，連結(jié)OD，在Rt△ODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面積為S＝4πR2．故選：A．【練習(xí)9】四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：由已知可得與為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為的中點(diǎn)O，因?yàn)?且,所以,所以,所以四面體的外接球半徑,則表面積.故答案選：C【四】墻角型題設(shè)：墻角型（三條線兩兩垂直）題設(shè)：墻角型（三條線兩兩垂直）方法：找到3條兩兩互相垂直的線段途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體．墻角型外接球半徑：（分別是長方體同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長度）1.例題【例1】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（）A．B．C．D．【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由一個(gè)正方體切去一個(gè)正方體的一角得到的．故：該幾何體的外接球?yàn)檎襟w的外接球，所以：球的半徑，則：.故選：B．【例2】已知四面體ABCD的四個(gè)面都為直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．3π B．23π C．43【解析】∵BD=CD=2且ΔBCD為直角三角形∴BD⊥CD又AB⊥平面BCD，CD?平面BCD∴CD⊥AB∴CD⊥平面ABD由此可將四面體ABCD放入邊長為2的正方體中，如下圖所示：∴正方體的外接球即為該四面體的外接球O正方體外接球半徑為體對角線的一半，即R=∴球O的表面積：S=4πR22.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知一個(gè)棱長為2的正方體被兩個(gè)平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是B．C．D．【解析】該幾何體是把正方體截去兩個(gè)四面體與，其外接球即為正方體的外接球，由．外接球的半徑．該幾何體外接球的表面積是．故選：．【練習(xí)2】在三棱錐一中，，、、兩兩垂直，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】在三棱錐一中，，、、兩兩垂直，以、、為棱構(gòu)造棱長為1的正方體，則這個(gè)正方體的外接球就是三棱錐的外接球，三棱錐的外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積為：．故選：．四、空間幾何內(nèi)切球1.例題【例1】正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．【答案】，．∴得：，∴．∴．【例2】若三棱錐中，，其余各棱長均為5，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為．【答案】【解析】由題意可知三棱錐的四個(gè)面全等，且每一個(gè)面的面積均為．設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則三棱錐的體積，取的中點(diǎn)，連接，，則平面，，，，，解得．內(nèi)切球的表面積為．故答案為：．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，三視圖都為腰長為2的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為A． B． C． D．【解析】由題意可知幾何體是三棱錐，是正方體的一部分，如圖：正方體的棱長為2，內(nèi)切球的半徑為，可得：，解得，幾何體的外接球的半徑為：，該幾何體的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為：．故選：．【練習(xí)2】球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是A． B． C． D．【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，，．此圓柱的全面積與球表面積之比是：．故選：．五、球與幾何體各棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解1.例題【例1】已知一個(gè)全面積為24的正方體，有一個(gè)與每條棱都相切的球，此球的半徑為

【解析】對于球與正方體的各棱相切，則球的直徑為正方體的面對角線長，即,2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）A.cmB.cmC.cmD.cm【解析】六、課后自我檢測1．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，球心在上，底面，球的體積與三棱錐體積之比是，，則該球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，且平面，所以，設(shè)球的半徑為，根據(jù)題目所給體積比有，解得，故球的表面積為.2．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)三視圖可知，幾何體是底面為矩形，高為的四棱錐，且側(cè)面PAB垂直底面ABCD，如圖所示：還原長方體的長是2，寬為1，高為設(shè)四棱錐的外接球的球心為O，則過O作OM垂直平面PAB，M為三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，則N為矩形ABCD的對角線交點(diǎn)，所以外接球的半徑所以外接球的體積故選A3．《九章算術(shù)》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽馬的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．6π B．6π C．9π【答案】B【解析】如圖所示，該幾何體為四棱錐P?ABCD．底面ABCD為矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．則該陽馬的外接球的直徑為PB=1+1+4∴該陽馬的外接球的表面積為：4π×(624．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，將ΔADE，ΔBEF，ΔCDF分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使得A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A'，若四面體AA．5π B．6π C．8π D．11π【答案】B【解析】由題意可知△A'EF是等腰直角三角形，且A'D⊥平面A'EF．三棱錐的底面A'EF擴(kuò)展為邊長為1的正方形，然后擴(kuò)展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：1+1+4=∴球的半徑為62，∴球的表面積為4π·(65．某簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積是：（）A．8π B．123π C．12π 【答案】C【解析】由三視圖還原幾何體如圖，可知該幾何體為直三棱柱，底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，側(cè)棱長為2．把該三棱柱補(bǔ)形為正方體，則正方體對角線長為22∴該三棱柱外接球的半徑為：3．則球O的表面積是：4π×(3)26．已知三棱錐O?ABC的底面ΔABC的頂點(diǎn)都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱錐O?ABC的體積為43A．32π3 B．64π3 C．128π3【答案】D【解析】由O為球心，OA＝OB＝OC＝R，可得O在底面ABC的射影為△ABC的外心，AB＝6，BC=23，AC=43，可得△ABC為O在底面ABC的射影為斜邊AC的中點(diǎn)M，可得13?OM?12AB?BC=16OM?123=R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4，球O的體積為43πR3=43π?64=7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，若，則塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在直三棱柱中，因?yàn)?，所以為直角三角形，且該三角形的外接圓的直徑，又由，所以直三棱柱的外接球的直徑，所以，所以外接球的體積為，故選C.8．一個(gè)各面均為直角三角形的四面體有三條棱長為2，則該四面體外接球的表面積為（）A．6π B．12π C．32π D．48π【答案】B【解析】由題得幾何體原圖如圖所示，其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,,設(shè)SC中點(diǎn)為O,則在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SBC中，OB=,所以O(shè)A=OC=OS=OB=,所以點(diǎn)O是四面體的外接球球心，且球的半徑為.所以四面體外接球的表面積為.故選：B9．已知在三棱錐中，，，，平面平面，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意,，是直角三角形又平面平面，所以，三棱錐外接球半徑等于的外接圓半徑,,球的表面積為故選D。10．已知三棱錐的體積為6，在中，，，，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點(diǎn)，則球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理得是直角三角形設(shè)三棱錐的高為則三棱錐體積，解得取邊的中點(diǎn)為，則為外接圓圓心連接，則平面，如下圖所示：則則球的表面積本題正確選項(xiàng)：11．已知三棱錐各頂點(diǎn)均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】原題如下圖所示：由，得：則設(shè)外接圓圓心為，則由正弦定理可知，外接圓半徑：設(shè)到面距離為由為球直徑可知：則球的半徑球的表面積本題正確選項(xiàng)：12．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐的外接球體積為A． B． C． D．【答案】C【解析】平面平面，平面平面，，平面，平面，，所以，是邊長為的等邊三角形，由正弦定理得的外接圓的直徑為，所以，該球的直徑為，則，因此，三棱錐的外接球體積為．故選：．13．已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該該等邊三角形的內(nèi)切圓，所以r=R，=，所以球與圓錐的表面積之比為故選：B．14．體積為eq\f(4π,3)的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________.【答案】6eq\r(3)【解析】設(shè)球的半徑為R，由eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4