藝考生專題講義29 平面向量

考點(diǎn)29平面向量知識(shí)梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6)相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量．2.向量的加法(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．(2)法則：三角形法則；平行四邊形法則．(3)運(yùn)算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3.向量的減法(1)定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．(2)法則：三角形法則．(3)運(yùn)算律：a－b＝a＋(－b)4.向量的數(shù)乘(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.(2)運(yùn)算律：設(shè)λ、μ∈R，則：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．5.向量共線的判定定理a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．注意：兩向量相加、相減結(jié)果仍是一個(gè)向量；數(shù)乘一個(gè)向量，所得結(jié)果也是一個(gè)向量．向量加法的三角形法則的要點(diǎn)是“首尾相連，指向終點(diǎn)”，即第二個(gè)向量的起點(diǎn)和第一個(gè)向量的終點(diǎn)重合，和向量由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)；向量減法的三角形法則要點(diǎn)是“起點(diǎn)重合，指向被減”，即作向量減法時(shí)，將兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，然后連接兩向量的終點(diǎn)，差向量由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)．平行四邊形法則的要點(diǎn)是“起點(diǎn)重合”，即兩向量的起點(diǎn)相同．6．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．一個(gè)平面向量a能用一組基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.則稱它為向量的分解。當(dāng)e1，e2互相垂直時(shí)，就稱為向量的正交分解。7．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)；|a|＝eq\r(x2＋y2).8．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.9．向量相等設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a＝b，則x1＝x2，y1＝y(tǒng)2，即坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等.精講精練題型一概念的辨析【例1】(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))下列關(guān)于向量的敘述不正確的是()A．向量的相反向量是B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB＝CD，則＝D．若向量與滿足關(guān)系，則與共線【答案】C【解析】A選項(xiàng)中，向量的相反向量是，故正確；B選項(xiàng)中，模為1的向量是單位向量，其方向是任意的，故正確；C選項(xiàng)中，若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB＝CD，則與方向可能相同或相反，故不正確，；D選項(xiàng)中，若向量與滿足關(guān)系，則與共線，正確.故選：C.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線【舉一反三】1．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí)(文))給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。廴?λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零．④λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。坼e(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，不論λ為何值，.④錯(cuò)誤，當(dāng)λ=μ=0時(shí)，，此時(shí)，與可以是任意向量．故選C．2．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.③(為實(shí)數(shù))，則必為零.④為實(shí)數(shù)，若，則與共線.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)向量終點(diǎn)相同，起點(diǎn)若不在一條直線上，則也不共線，命題錯(cuò)誤；由于兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題是正確的；若(為實(shí)數(shù))，則也可以零，因此命題也是錯(cuò)誤的；若為0，盡管有，則與也不一定共線，即命題也是錯(cuò)誤的，應(yīng)選答案A．3．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))下列命題中正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，所以只有方向相?大小(長(zhǎng)度)相等的兩個(gè)向量才相等，因此A錯(cuò)誤；兩個(gè)向量不相等，但它們的?？梢韵嗟?，故B錯(cuò)誤；無論兩個(gè)向量的模是否相等，這兩個(gè)向量都可能共線，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C題型二線性運(yùn)算【例2-1】(2024·山西高三期中)如圖，中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A【例2-2】(2024·武威第六中學(xué)高三月考)在中，為的重心，若，則＝______．【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)闉榈闹匦?，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算和三角形重心的性質(zhì)，可得：，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【舉一反三】1．(2024·河南高三月考)如圖，在梯形中，，，為線段的中點(diǎn)，且，則()A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，故選：D．2．(2024·廣東深圳市·明德學(xué)校高三月考)在中，點(diǎn)P為中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，且，則()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵點(diǎn)P為中點(diǎn)，∴,∵，,∴,∴=,故選：B.3．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A4．(2024·咸陽(yáng)市高新一中高三月考)在中，為邊上的中線，E為的中點(diǎn)，且，則________，_________．【答案】【解析】如下圖所示：為的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，所以，，因此，，即，.故答案為：；.題型三共線定理【例3】如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為________．【答案】eq\f(5,11)【解析】注意到N，P，B三點(diǎn)共線，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，從而m＋eq\f(6,11)＝1，所以m＝eq\f(5,11).【舉一反三】1．(2024·湖北高三學(xué)業(yè)考試)已知，是不共線的兩個(gè)向量，若，，，則()A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】D【解析】由，，故，所以，，三點(diǎn)共線.故選：D.2．(2024·河南高三月考)已知中，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，則()A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以所以，所以，即①因?yàn)辄c(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，所以所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以②由①②可解得故選：B3．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))已知A、B、P是直線上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為_______.【答案】【解析】∵A、B、P是直線上三個(gè)相異的點(diǎn)，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故答案為：.題型四向量坐標(biāo)的加減法【例1】(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))已知點(diǎn)則與同方向的單位向量為()A． B． C． D．【答案】A【解析】,所以與同方向的單位向量為，故選A.【舉一反三】1.(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(－8,1) B．C． D．(8，－1)【答案】B【解析】設(shè)P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以，解得，即，故選B.2．(2024·四川資陽(yáng)市·高三)已知，，，，則向量().A． B． C．4 D．6【答案】C【解析】，，所有.故選：C題型五向量坐標(biāo)的垂直平行運(yùn)算【例2】(1)(2024·河津中學(xué)高三月考)向量，若，則k的值是()A．1 B． C．4 D．(2)(2024·海口市·海南中學(xué)高三月考)3.設(shè)向量，，，且，則()A． B． C． D．【答案】(1)B(2)A【解析】(1)因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以，所以故選：B(2)因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，則有，解得.故選：A.【舉一反三】1．(2024·貴州安順市·高三)已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為()A． B．-3 C． D．3【答案】B【解析】，，，則有，解得：.故選：B2．(2024·寧縣第二中學(xué))已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，又，，故，解?故選：B.3．(2024·永安市第三中學(xué)高三期中)已知向量，，若，且，則實(shí)數(shù)()A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄浚?，則，又，所以，解得.故選：D．4．(2024·西藏拉薩市)設(shè)，向量，，，且，，則_____________.【答案】0【解析】因?yàn)橄蛄?，，，且，，所以，得，，解得，所?故答案為：0題型六模長(zhǎng)【例3】(1)(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))已知，，則()A．2 B． C．4 D．(2)(2024·舒蘭市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高三學(xué)業(yè)考試)若，則()A．0 B． C．4 D．8【答案】(1)C(2)B【解析】(1)由題得=(0,4)所以．故選C(2)因?yàn)?所以.故選：B.【舉一反三】1．(2024·西藏拉薩市·拉薩那曲第二高級(jí)中學(xué))已知向量，，則()A． B．2 C． D．50【答案】A【解析】由題意得，所以，故選：A2．(2024·黑龍江大慶市·大慶中學(xué))已知向量，，若，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，且，則，解得，因此，.故選：B.3．(2024·靜寧縣第一中學(xué)高三)已知平面向量，均為單位向量，若向量，的夾角為，則()A．25 B．7 C．5 D．【答案】D【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?，為單位向量，且向量向量，的夾角為，所以，故.故選：D4．(2024·西藏拉薩市·拉薩那曲第二高級(jí)中學(xué))設(shè)為單位向量，且，則___________.【答案】【解析】∵為單位向量，∴，∴．∴．故答案為：．題型七數(shù)量積及投影【例3】(1)(2024·南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高三期中)已知平面向量，，則與的夾角為______.(2)(2024·莆田第十五中學(xué)高三)已知，，，則在方向上的投影等于_______.【答案】(1)(2)【解析】(1)，，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，則與的夾角為.故答案為：(2)