藝考生專(zhuān)題講義17 誘導(dǎo)公式及恒等變換

考點(diǎn)17誘導(dǎo)公式及恒等變換知識(shí)梳理一．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限統(tǒng)一記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，對(duì)于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．二．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))三．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)四．公式的變形和逆用在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等．常見(jiàn)變形如下：降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.配方變形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.輔助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).精講精練題型一誘導(dǎo)公式【例1】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求，；(2)求的值.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由題意可得：，由角的終邊上的點(diǎn)的性質(zhì)可得，；(2)由(1)可知，，再結(jié)合誘導(dǎo)公式得：，所以【方法總結(jié)】一．奇變偶不變，符號(hào)看象限的理解二．誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．三含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【舉一反三】1．化簡(jiǎn)：.【答案】.【解析】.2．若角的終邊上有一點(diǎn)，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得，解得，(舍去).(2)原式，由(1)可得，，所以原式.3．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)(2)【解析】(1)由題意角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得.(2)由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.題型二恒等變化【例2】(1)等于()A． B． C． D．(2)()A． B． C． D．(3)若，則的值為()A．1 B．3 C．5 D．7【答案】(1)A(2)C(3)B【解析】(1).故選：A(2)∵，∴．故選C．(3)由，又，原式.故選：B.【舉一反三】1．()A． B． C． D．【答案】C【解析】。故選：C2．=()A． B． C． D．【答案】A【解析】3．下列各式中，化簡(jiǎn)結(jié)果等于的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,=,不合題意,對(duì)于選項(xiàng)B,=,不合題意,對(duì)于選項(xiàng)C,，符合題意,對(duì)于選項(xiàng)D,=,不合題意,故選C.5．(2020·廣西高三其他模擬(理))已知，，則＝______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，則，則.6．若sin＝，則cos2x＝________.【答案】【解析】由誘導(dǎo)公式得sin＝－cosx＝，故cosx＝－.由二倍角公式得cos2x＝2cos2x－1＝.故答案為：．7．已知，則________；________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以?故答案為：；.題型三角的拼湊【例3】(1)已知α為鈍角，sin＝，則sin＝__________.(2)已知，則的值為_(kāi)________【答案】(1)－(2)【解析】(1)因?yàn)棣翞殁g角，所以cos＝－，所以sin＝sin＝cos＝－.故答案為：．(2)由，可得，所以，所以.故答案為：.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】【舉一反三】1．若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.2．已知，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，故．故選：B3.已知，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】換元，可得，且，所以，.故選：D.4．若，則________．【答案】【解析】，．，．故答案為：題型四輔助角化一【例4】將函數(shù)化一，則f(x)【答案】【解析】【舉一反三】將下列式子化成y=Asin(wx+φ)+B或y=Acos(wx+φ)+B的形式(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)(2)(3)(4)(5)(6)題型五綜合運(yùn)用【例5】(1)若，且為第二象限角，則()A． B． C． D．(2)設(shè)，則()A． B． C．3 D．2【答案】(1)A(2)D【解析】由題意，得，又由為第二象限角，所以，所以．故選：A.(2∵，∴，故選：D.【舉一反三】1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榻且詾槭歼叄医K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，則.故選：A.