藝考生專題講義18 正、余弦定理

考點18正、余弦定理知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形面積公式：S△ABC＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)；S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；S△ABC＝eq\f(abc,4R)；S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.精講精練題型一正余弦的選擇【例1】(1)已知在中，，則_______．(2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________.【答案】(1)(2)【解析】(1)由于，所以由正弦定理可得：，即：，解得：，由于在中，，根據(jù)大邊對大角可知：，則,由，解得：，故答案為(2)由正弦定理，得，結(jié)合可得，則.【舉一反三】1．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則__．【答案】5【解析】因為，，，所以由正弦定理，可得，解得．故答案為：52．中，已知，，，則角的度數(shù)為______．【答案】30°【解析】由正弦定理，得，又因為，故．故答案為：30°．3．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則________．【答案】【解析】由正弦定理知，，所以，解得，則或，又因為，所以為銳角，即，所以，故答案為:.4．在中，已知，則=______【答案】或.【解析】在中，因為，由正弦定理得，即所以，所以或當(dāng)時，得到，所以，故；當(dāng)時，得到，所以.故答案為：或.5．在中，，，則__________.【答案】【解析】因為，所以，所以，解得.故答案為：題型二邊角互換【例2】(1)在銳角△中，角所對應(yīng)的邊分別為，若，則角等于________.(2)在三角形中，角的對邊分別為，若，則角________【答案】(1)(2)【解析】(1)利用正弦定理化簡，得，因為，所以，因為為銳角，所以．(2)由得：，即，，是三角形的內(nèi)角，故答案為：.【舉一反三】1．在銳角中，角所對的邊分別為，若，則角________．【答案】【解析】∵，∴根據(jù)正弦定理邊角互化得：，又∵，∴，∴，∵為銳角三角形，∴∴故答案為：2．在中，角所對應(yīng)的邊分別為．已知，則______．【答案】【解析】將，利用正弦定理可得：，即，∵，∴，利用正弦定理可得：，則．故答案為．3．的內(nèi)角的對邊分別為若，則B=___________.【答案】【解析】已知，由正弦定理可得，，由，化簡可得，∵，故．故答案為：4．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，則角______.【答案】【解析】由正弦定理及可得：,在中，，∴,即∴，又B為三角形內(nèi)角，∴=故答案為:.5．在中，角的對邊分別為，且.則_________【答案】【解析】由正弦定理可知，化簡得，，又由，，得出，故答案為：.題型三三角形的面積公式【例3】(1)在中..則的面積等于________．(2)若的面積為，則________．【答案】(1)(2)【解析】(1)由余弦定理得，即，解得(舍去)，所以．故答案為：．(2)因為，所以，又因為，所以，解得，因為，所以，故答案為：【舉一反三】1．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，，則的面積為__________.【答案】【解析】由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面積.故答案為：.2．在中，，，若的面積等于，則邊長為__________．【答案】【解析】因為，故，所以.又，所以，故，從而，填．3．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則的面積為_______．【答案】【解析】由已知條件及正弦定理可得，易知，所以，又，所以，所以，所以，即，，所以的面積．故答案為：.4．在中，角，，的對邊分別為，，，已知的面積為，，，則的值為_______.【答案】4【解析】因為，所以，因為已知的面積為，所以，整理得，由余弦定理得，所以.故答案為：題型四正余弦綜合運用【例4】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題的三角形存在，求b的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且，，____________？【答案】選擇見解析；三角形存在，或4.【解析】方案一：選條件①.在中，由余弦定理得，故.由①和可得，從而.由此可得，解得或4.因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時或4.方案二：選條件②.在中，由余弦定理得，故.由②可得，解得或4.因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時或4.方案三：選條件③.在中，由余弦定理得，故.由正弦定理和，得，從而，由此可得，解得或4.因此，選條件③時問題中的三角形存在，此時或4.【舉一反三】1．在①，②，③sinB+cosB=這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，___________，A=，b=.(1)求角B；(2)求△ABC的面積.【答案】條件選擇見解析；(1)；(2).【解析】(1)若選①，，則由余弦定理得，因為，所以若選②，，由正弦定理得，又，所以，所以又，，，若選③，由得，所以，又，所以，，所以，(2)由正弦定理得，又，，所以，，所以所以2．在①a＝6；②a＝8；③a＝12這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求sinB的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，且a2＋b2－c2=4，c=，__________？【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】由題意可知在△ABC中，因為a2＋b2－c2=4，且，所以，由余弦定理可知，因為，且，所