藝考生專(zhuān)題講義45 拋物線

考點(diǎn)45拋物線知識(shí)梳理一．拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(點(diǎn)F不在直線l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.二．．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)以及頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為eq\a\vs4\al(\f(p,2).)圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)三．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是平行或重合．精講精練題型一拋物線的定義【例1】(2024·陜西寶雞市·高三二模(文))設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，若，則()A． B．5 C． D．【答案】D【解析】如圖所示，過(guò)P作PQ垂直l，交l于Q，不妨設(shè)，根據(jù)拋物線定義得，所以y=4，所以x=4，即，所以，所以.故選：D【舉一反三】1．(2024·山東煙臺(tái)市·高三一模)已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則()A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，設(shè)，，，，，則．故選：．2．(2024·內(nèi)蒙古高三月考(文))點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為物線上與直線不共線的一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且與拋物線交于點(diǎn)，作出圖像如圖，故，由拋物線的定義得：，則周長(zhǎng)為：，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，等號(hào)成立；因?yàn)?，，所以周長(zhǎng)的最小值為：.故選：B.3．(2024·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)(文))已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l∶的距離為d，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，則的最小值等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，拋物線化為，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，可得動(dòng)點(diǎn)P到直線l∶的距離為，又由，從而.所以的最小值等于.故選:B.4．(2024·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué))已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為_(kāi)__________；若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)則的最小值為_(kāi)__________.【答案】87【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得；拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)作直線的垂線，垂足為，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且故答案為：．題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2-1】(2024·全國(guó)單元測(cè)試)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－4，5)的拋物線方程為()A．y2＝x B．y2＝－xC．x2＝y(tǒng) D．x2＝－y【答案】C【解析】由題設(shè)知，拋物線開(kāi)口向上，設(shè)方程為x2＝2py(p>0)，將(－4，5)代入得所以，拋物線方程為．故選：C．【例2-2】(2024·浙江)已知拋物線的焦點(diǎn)，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)__________.【答案】【解析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)拋物線方程，，則，故拋物線方程；拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，即距離為.故答案為：；.【舉一反三】1．(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))以軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦)長(zhǎng)為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設(shè)拋物線方程為或，依題意得，代入或得，，．拋物線方程為或，故選：C.2．(2024·山東德州市·高二期末)拋物線的焦點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知拋物線開(kāi)口向上或向下，，令，焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線為故選：C3．(2024·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校(文))頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)轫旤c(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于，可得，解得，所以所求拋物線的方程為.故選：C.4(2024·廣東湛江市·高三一模)已知拋物線C：x2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是C上的一點(diǎn)，M到直線y=2p的距離是M到C的準(zhǔn)線距離的2倍，且｜MF|=6，則p=()A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】設(shè)，則，解得故選：A題型三拋物線的幾何性質(zhì)【例3】(2024·江蘇省天一中學(xué)高三二模)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|AB|＝________．【答案】8【解析】拋物線y2＝4x中，，焦點(diǎn)F(1，0)，而直線AB過(guò)焦點(diǎn)F(1，0)，故根據(jù)拋物線定義可知.故答案為：8.【舉一反三】1．(2024·四川遂寧市·高三二模(文))若過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且斜率為2的直線與交于，兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為()A．3. B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】拋物線：的焦點(diǎn)所以直線的方程為，設(shè)，，由，消去并整理得，所以，.故選：C.2．(2024·廣西玉林市·高三其他模擬(理))已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，又經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線C于A?B兩點(diǎn)，則()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與軸的交點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，拋物線方程為，所以過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，設(shè)，由，得，所以，所以，故選：C3．(2024·