藝考生專題講義45 拋物線

考點45拋物線知識梳理一．拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(點F不在直線l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.二．．拋物線的標準方程和幾何性質標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義焦點F到準線l的距離，焦點到頂點以及頂點到準線的距離均為eq\a\vs4\al(\f(p,2).)圖形頂點O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)三．直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當a＝0，b≠0時，即得到一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關系是平行或重合．精講精練題型一拋物線的定義【例1】(2024·陜西寶雞市·高三二模(文))設拋物線：的焦點為，準線與軸的交點為，是上一點，若，則()A． B．5 C． D．【答案】D【解析】如圖所示，過P作PQ垂直l，交l于Q，不妨設，根據(jù)拋物線定義得，所以y=4，所以x=4，即，所以，所以.故選：D【舉一反三】1．(2024·山東煙臺市·高三一模)已知為拋物線的焦點，直線與交于兩點，若中點的橫坐標為則()A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，若的中點的橫坐標為4，設，，，，，則．故選：．2．(2024·內蒙古高三月考(文))點為拋物線的焦點，點，點為物線上與直線不共線的一點，則周長的最小值為()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，焦點，準線方程為：，過點作準線的垂線，垂足為，過點作準線的垂線，垂足為，且與拋物線交于點，作出圖像如圖，故，由拋物線的定義得：，則周長為：，當且僅當點在點處時，等號成立；因為，，所以周長的最小值為：.故選：B.3．(2024·全國高三專題練習(文))已知拋物線上的動點P到直線l∶的距離為d，A點坐標為(2，0)，則的最小值等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，拋物線化為，可得焦點，準線方程為，可得動點P到直線l∶的距離為，又由，從而.所以的最小值等于.故選:B.4．(2024·浙江杭州市·學軍中學)已知拋物線的焦點坐標為，則的值為___________；若點在拋物線上，點則的最小值為___________.【答案】87【解析】拋物線的焦點坐標為，則，解得；拋物線的準線方程為，過作直線的垂線，垂足為，，當三點共線時，取得最小值，且故答案為：．題型二拋物線的標準方程【例2-1】(2024·全國單元測試)頂點在原點，關于y軸對稱，并且經過點M(－4，5)的拋物線方程為()A．y2＝x B．y2＝－xC．x2＝y(tǒng) D．x2＝－y【答案】C【解析】由題設知，拋物線開口向上，設方程為x2＝2py(p>0)，將(－4，5)代入得所以，拋物線方程為．故選：C．【例2-2】(2024·浙江)已知拋物線的焦點，則拋物線C的標準方程為___________，焦點到準線的距離為___________.【答案】【解析】根據(jù)拋物線的焦點，設拋物線方程，，則，故拋物線方程；拋物線中，焦點到準線的距離為，，即距離為.故答案為：；.【舉一反三】1．(2024·全國課時練習)以軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為()A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設拋物線方程為或，依題意得，代入或得，，．拋物線方程為或，故選：C.2．(2024·山東德州市·高二期末)拋物線的焦點是直線與坐標軸的交點，則該拋物線的準線方程是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知拋物線開口向上或向下，，令，焦點坐標為準線為故選：C3．(2024·綿陽南山中學實驗學校(文))頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標準方程是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，設拋物線的方程為，因為頂點與焦點的距離等于，可得，解得，所以所求拋物線的方程為.故選：C.4(2024·廣東湛江市·高三一模)已知拋物線C：x2=-2py(p>0)的焦點為F，點M是C上的一點，M到直線y=2p的距離是M到C的準線距離的2倍，且｜MF|=6，則p=()A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】設，則，解得故選：A題型三拋物線的幾何性質【例3】(2024·江蘇省天一中學高三二模)過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|AB|＝________．【答案】8【解析】拋物線y2＝4x中，，焦點F(1，0)，而直線AB過焦點F(1，0)，故根據(jù)拋物線定義可知.故答案為：8.【舉一反三】1．(2024·四川遂寧市·高三二模(文))若過拋物線：的焦點且斜率為2的直線與交于，兩點，則線段的長為()A．3. B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】拋物線：的焦點所以直線的方程為，設，，由，消去并整理得，所以，.故選：C.2．(2024·廣西玉林市·高三其他模擬(理))已知拋物線的焦點在直線上，又經過拋物線C的焦點且傾斜角為的直線交拋物線C于A?B兩點，則()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】因為直線與軸的交點為，所以拋物線的焦點坐標為，設，拋物線方程為，所以過焦點且傾斜角為的直線方程為，設，由，得，所以，所以，故選：C3．(2024·