藝考生專題講義44 雙曲線

考點44雙曲線知識梳理一．雙曲線的定義平面內到兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數2a(2a＜|F1F2|)的點P的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．二.雙曲線的標準方程(1)中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．“焦點位置看正負，焦點隨著正的跑”.三．雙曲線的幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：x軸，y軸對稱中心：(0,0)對稱軸：x軸，y軸對稱中心：(0,0)頂點頂點坐標：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點坐標：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長A1A2＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B2＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)四．直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當a＝0，b≠0時，即得到一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關系是平行或重合．精講精練題型一雙曲線的定義【例1-1】(2024·浙江省德清縣第三中學)已知雙曲線的左?右焦點分別為?，若點在的右支上，且，則()A．3 B．5 C． D．【答案】B【解析】由題可知：雙曲線方程為，所以又，所以故選：B【例1-2】．(2024·河北張家口市)已知，動點P滿足，當分別為4和12時，點P的軌跡分別為()A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線【答案】C【解析】由題意，得當時，，可知點P的軌跡為雙曲線左支；當時，，可知點P的軌跡為以為端點的一條射線.故選：C【例1-3】．(2024·全國課時練習)已知F1，F2分別為雙曲線C：的左?右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則|PF1|·|PF2|等于________.【答案】4【解析】由雙曲線方程知：，在△PF1F2中，由余弦定理知：，∴，而，∴.故答案為：4.【方法總結】【方法總結】雙曲線定義(1)根據動點與兩定點的距離的差判斷動點的軌跡是否為雙曲線．(2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點有關的問題，如最值問題、距離問題．(3)利用雙曲線的定義解決問題時應注意三點：①距離之差的絕對值；②2a<|F1F2|；③焦點所在坐標軸的位置．【舉一反三】1．(2024·上海普陀區(qū))設P是雙曲線上的點，若，是雙曲線的兩個焦點，則()A．4 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】由雙曲線可得根據雙曲線的定義可得：故選：C2．(2024·上海市)已知兩點和，動點滿足，則動點的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線 C．一條射線 D．雙曲線的右支【答案】C【解析】由兩點和，動點滿足，所以動點的軌跡是一條射線.故選：C3．(2024·浙江省寧海中學高三月考)在平面直角坐標系中，，，()，若點的軌跡為雙曲線，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】，由點的軌跡為雙曲線，根據雙曲線的定義.則，所以故選:A4．(2024·全國高三專題練習)已知、為雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則的面積為____________【答案】【解析】雙曲線，則，所以，利用雙曲線定義知，，兩邊平方得，且，由余弦定理，解得：，則.故答案為：題型二雙曲線的標準方程【例2-1】(2024·福建龍巖市)“”是“方程表示雙曲線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若方程表示雙曲線，則，得，則能推出，不能推出，“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A．【例2-2】．(2024·全國課時練習)過點(1,1)，且的雙曲線的標準方程是()A． B．C． D．或【答案】D【解析】由，知：.當焦點在x軸上時，設雙曲線方程為，將點(1,1)代入可得，則雙曲線方程為.同理，焦點在y軸上時，雙曲線方程為.故選：D【舉一反三】1．(2024·海原縣第一中學)根據下列條件，求雙曲線的標準方程．(1)焦點在軸上，離心率，求雙曲線的標準方程；(2)，，焦點在軸上，求雙曲線的標準方程．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意可得，，，因為雙曲線的焦點在軸上，因此，雙曲線的標準方程為；(2)由已知條件可得，解得，，因為雙曲線的焦點在軸上，因此，雙曲線的標準方程為2．(2024·浙江)已知曲線，()A．若E表示雙曲線，則 B．若，則E表示雙曲線C．若E表示橢圓，則 D．若且，則E表示橢圓【答案】D【解析】因為曲線，當解得或時曲線表示雙曲線；當即且時曲線表示橢圓；故選：D3．(2024·江蘇南通市)命題“”是命題“曲線表示雙曲線”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】命題“曲線表示雙曲線”，則，即，解得由于命題能推出命題，命題不能推出命題則命題是命題的充分不必要條件故選：C題型三直線與曲線的位置關系【例3】(2024·全國課時練習)若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，求實數k的取值范圍．【答案】【解析】4x2－y2＝16漸近線方程為，因為直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，所以k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由可得，解得.【舉一反三】1．(2024·徐匯區(qū)·上海中學)已知直線與雙曲線，則為何值時，直線與雙曲線有一個公共點？【答案】或．【解析】由得，因為直線與雙曲線有一個公共點，所以或，解得或．2．(2024·江蘇南通市)直線與雙曲線有且只有一個公共點，則的取值有()個A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立，消去并整理得，由于直線與雙曲線有且只有一個公共點，所以，或，解得或，對于方程，判別式為，方程有兩個不等的實數解.顯然不滿足方程.綜上所述，的取值有個.故選：D.3．(2024·陜西寶雞市)如果直線與雙曲線只有一個交點，則符合條件的直線有()A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】由，得，若，即，時，，方程組只有一解；時，，方程組只有一解；時，，，此時方程組也只有一解．方程組只有一解，即直線與雙曲線只有一個交點．因此這樣的直線有4條．故選：D．題型四弦長【例4】(2024·全國高三專題練習)直線x＋y＝1與雙曲線4x2－y2＝1相交所得弦長為()A． B． C． D．【答案】B【解析】將直線代入得.設兩交點，則，.故選:B．【舉一反三】1．(2024·遼寧朝陽市·高三月考)直線與雙曲線有兩個交點為，，則()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由，得，，∴.故選：C．2．(2024·全國高三專題練習)過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則|AB|＝()A．2 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在．設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故選:D.解法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，①.②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y(tǒng)1－y2，所以直線AB的斜率k＝＝1.則直線AB的方程為y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故選：D題型五離心率與漸近線【例3】(2024·浙江湖州市)雙曲線的離心率是_______，漸近線方程是_______．(兩條都寫出)【答案】【解析】由題可知，，故漸近線方程為：即.故答案為：；【舉一反三】1．(2024·浙江杭州市·學軍中學)雙曲線的漸近線方程是___________；離心率為___________.【答案】【解析】由雙曲線方程得：，則因此漸近線方程是；離心率為故答案為：；2