藝考生專題講義39 相互獨立事件與正態(tài)分布

考點39相互獨立事件與正態(tài)分布知識梳理一．相互獨立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨立事件．(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A與B相互獨立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨立．(5)相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(6)P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互獨立時，公式才成立，此時P(B)＝P(B|A)．二．正態(tài)分布(一)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．(二)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.精講精練題型一相互獨立實驗【例2】(2024·九江市同文中學高三期中)某學校為了了解學生對新冠病毒的傳播和預防知識的掌握情況，學校決定組織一次有關新冠病毒預防知識競答.競答分為必答題(共5題)和選答題(共2題)兩部分.每位同學答題相互獨立，且每道題答對與否互不影響.已知甲同學答對每道必答題的概率為，答對每道選答題的概率為.(1)求甲恰好答對4道必答題的概率；(2)在選答階段，若選擇回答且答對獎勵5分，答錯扣2分，選擇放棄回答得0分.已知甲同學對于選答的兩道題，選擇回答和放棄回答的概率均為，試求甲同學在選答題階段，得分的分布列.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】(1)甲恰好答對4道必答題的概率為.(2)依題意，每道題選擇回答并答對的概率為，選擇回答且答錯的概率為，選擇放棄回答的概率為.甲得分的可能性為分，分，0分，3分，5分和10分.所以，，，，.所以的分布列為03510【舉一反三】1．(2024·廣西桂林十八中高三月考)張先生家住小區(qū)，他工作在科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有，兩條路線(如圖)，路線上有，，三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線上有，，三個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，，.(1)若走路線，求最多遇到1次紅燈的概率；(2)若走路線，求遇到紅燈次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)；(2)分別列答案見解析，數(shù)學期望：.【解析】(1)設走路線最多遇到1次紅燈為A事件，則所以走路線，最多遇到1次紅燈的概率為(2)依題意，X的可能取值為0，1，2，3，(每對一個1分)，所以隨機變量X的分布列為：X0123P.2．(2024·全國高三專題練習)張明要參加某單位組織的招聘面試.面試要求應聘者有次選題答題的機會(選一題答一題)，若答對題即終止答題，直接進入下一輪，否則被淘汰.已知張明答對每一道題的概率都為.(1)求張明進入下一輪的概率；(2)設張明在本次面試中答題的個數(shù)為，試寫出的分布列，并求的數(shù)學期望.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：.【解析】(1)張明答道題進入下一輪的概率為，答道題進入下一輪的概率為，答道題進入下一輪的概率為，答道題進入下一輪的概率為，張明進入下一輪的概率為；(2)可能取值為???，當時可能答對道題進入下一輪，也可能打錯道題被淘汰，，，，，于是的分布列為：.3．(2024·全國高三專題練習)為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標準為元(不足小時的部分按小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量，求的分布列．【答案】(1)；(2)分布列見解析．【解析】(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為、、元，兩人都付元的概率為；兩人都付元的概率為；兩人都付元的概率為.則兩人所付費用相同的概率為；(2)設甲、乙所付費用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機變量的分布列為：題型二正態(tài)分布【例2-1】．(2024·江蘇揚州市·高三開學考試)已知隨機變量，，則()A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】A【解析】由，知：隨機變量的分布函數(shù)圖象關于對稱，∴；故選：A【例2-2】(2024·江西省信豐中學高三月考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均值和樣本方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(II)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.(i)利用該正態(tài)分布，求；(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結果，求.附：若則，．【答案】(I)；(II)(i)；(ii)．【解析】(I)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為，．(II)(i)由(I)知，服從正態(tài)分布，從而．(ii)由(i)可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．【舉一反三】1．(2024·全國高三專題練習)隨機變量，，若，，則________【答案】【解析】∵隨機變量服從，符合二項分布，由二項分布概率公式：得：∴，解得，又，∴.故答案為：.2．(2024·吉林油田第十一中學高三月考)已知，若，則______．【答案】【解析】：因為，所以正態(tài)密度曲線的對稱軸為因為所以，所以故答案為：3．(2024·全國高三專題練習)近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價格普遍上漲，生豬供不應求。各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn)，目前各項針對性政策措施對于生豬整體產(chǎn)能恢復、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn)．現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬.根據(jù)豬的重量，將其分為三個成長階段如下表．豬生長的三個階段階段幼年期成長期成年期重量(Kg)根據(jù)以往經(jīng)驗，兩個養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布.由于我國有關部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬監(jiān)控力度，高度重視其質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年活豬，甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式．已知甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為，．(1)試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數(shù)量；(2)已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利元，若為不合格的豬，則虧損元；乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利元，若為不合格的豬，則虧損元．記為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機變量的分布列，假設兩養(yǎng)豬場均能把成年期豬售完，求兩養(yǎng)豬場的總利潤期望值．(參考數(shù)據(jù)：若，則，，)【答案】(1)甲、乙兩養(yǎng)豬場各有幼年期豬頭，成長期豬頭，成年期豬頭；(2)分布列見解析，135450元.【解析】(1)由于豬的體重近似服從正態(tài)分布，設各階段豬的數(shù)量分別為∴，∴(頭)；同理，，∴(頭)；，∴(頭).所以，甲、乙兩養(yǎng)豬場各有幼年期豬頭，成長期豬頭，成年期豬頭。(2)依題意，甲、乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為，，隨機變量可能取值為，，.，，，所以的分布列為：所以(元)，由于各養(yǎng)豬場均有頭成年豬，一頭豬出售的利潤總和的期望為元，則總利潤期望為(元).4．(2024·江蘇無錫市·高三開學考試)為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計個數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本直徑的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.(1)為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判(表示相應事件的概率)：①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級.(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.①從設備的生產(chǎn)流水線上隨機抽取件零件，計算其中次品件數(shù)的數(shù)學期望；②從樣本中隨機抽取件零件，計算其中次品件數(shù)的概率分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)其性能等級為丙；(2)①；②分布列見解析；期望為.【解析】(1)，，，因為設備的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙.(2)易知樣本中次品共件，可估計設備生產(chǎn)零件的次品率為.①由題意可知，于是.②由題意可知的取值有、、，，，.的概率分布列為：故.題型三均值與方差的運用【例3】(2024·全國高三專題練習)2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設之中.某投資公司準備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中.項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實物見證.現(xiàn)準備投資建設20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設每個天坑院是否盈利是相互獨立的，據(jù)市場調(diào)研，到2024年底每個天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到2024年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和.(1)若投資項目一，記為盈利的天坑院的個數(shù)，求(用p表示)；(2)若投資項目二，記投資項目二的盈利為百萬元，求(用p表示)；(3)在(1)(2)兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，并說明理由.【答案】(1)(2)(3)見解析【解析】(1)解：由題意則盈利的天坑院數(shù)的均值.(2)若投資項目二，則的分布列為2-1.2盈利的均值.(3)若盈利，則每個天坑院盈利(百萬元)，所以投資建設20個天坑院，盈利的均值為(百萬元).①當時，，解得..故選擇項目一.②當時，，解得.此時選擇項一.③當時，，解得.此時選擇項二.【舉一反三】1．(2024·全國高三其他模擬)某超市采購了一批袋裝的進口牛肉干進行銷售，共1000袋，每袋成本為30元，銷售價格為50元，經(jīng)過科學測定，每袋牛肉干變質(zhì)的概率為，且各袋牛肉干是否變質(zhì)相互獨立．依據(jù)消費者權益保護法的規(guī)定：超市出售變質(zhì)食品的，消費者可以要求超市退一賠三．為了保護消費者權益，針對購買到變質(zhì)牛肉干的消費者，超市除退貨外，并對每袋牛肉干以銷售價格的三倍現(xiàn)金賠付，且把變質(zhì)牛肉干做廢物處理，不再進行銷售．(1)若銷售完這批牛肉干后得到的利潤為X，且，求p的取值范圍；(2)已知，若超市聘請兼職員工來檢查這批牛肉干是否變質(zhì)，超市需要支付兼職員工工資5000元，這樣檢查到的變質(zhì)牛肉干直接當廢物處理，就不會流入到消費者手中．請以超市獲取的利潤為決策依據(jù)，判斷超市是否需要聘請兼職員工來檢驗這批牛肉干是否變質(zhì)？【答案】(1)；(2)由，以超市獲取的利潤為決策依據(jù)，故超市需要聘請兼職員工來檢驗這批牛肉干是否變質(zhì)．【解析】(1)令Y表示這1000袋牛肉干中變質(zhì)牛肉干的數(shù)量．由題意有，則，故．由，有，解得：．故當時，p的取值范圍為．(2)當時，由(1)知，．設需要賠付給消費者的費用為Z元，有．由，以超市獲取的利潤為決策依據(jù)，故超市需要聘請兼職員工來檢驗這批牛肉干是否變質(zhì)．3．(2024·全國高三月考)某縣為了幫助農(nóng)戶脫貧致富，鼓勵農(nóng)戶利用荒地山坡種植果樹，某農(nóng)戶考察了三種不同的果樹苗、、．經(jīng)過引種實驗發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為，引種樹苗、的自然成活率均為．(1)任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學期望；(2)將(1)中的數(shù)學期望取得最大值時的值作為種樹