2024-2025學(xué)年北師版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期 期中綜合模擬測試卷3

2024-2025學(xué)年北師版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中綜合模擬

測試卷

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）

1.下列說法正確的有（）個.

①菱形的對角線相等；

②對角線互相垂直的四邊形是菱形；

③有兩個角是直角的四邊形是矩形；

④正方形既是菱形又是矩形；

⑤矩形的對角線相等且互相垂直平分.

A.1B.2C.3D.4

2.關(guān)于方程x2-2=0的理解錯誤的是（）

A.這個方程是一元二次方程

B.方程的解是加

C.這個方程可以化成一元二次方程的一般形式

D.這個方程可以用公式法求解

3.一個暗箱中放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中只有2個紅球，每次將球

攪拌均勻后，任意摸出1個球記下顏色，再放回暗箱，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球

的頻率穩(wěn)定在20%,那么可以估算a的值是（）

A.15B.10C.4D.3

4.關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（）

A.不存在B.4C.0D.0或4

5.如圖在△ABC中，DE〃FG〃:BC,AD：AF：AB=1：3：6,貝US^ADE：

S四邊形DEGF：S四邊彩FGCB=（）

A.1：8：27B.1：4：9

C.1：8：36D.1：9：36

6.如圖，在菱形ABCD中，AB=13,對角線AC=10,若過點(diǎn)A作AE_LBC,垂足為E,則

AE的長為（）

7.如圖，ABCD是正方形，E是邊CD上（除端點(diǎn)外）任意一點(diǎn)，AM_LBE于點(diǎn)M,CN

_LBE于點(diǎn)N,下列結(jié)論一定成立的有（）個.

?AABM^ABCN；

?△BCN^ACEN；

③AM-CN=MN；

@M有可能是線段BE的中點(diǎn).

8.在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：

甲：將鄰邊邊長為5和8的矩形按圖①的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間

距均為1,則新矩形與原矩形相似.

乙：將邊長5、12、13的三角形按圖②的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間

距為1,則新三角形與原二角形相似.

對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對、乙不對D.甲不對，乙對

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.若忌===1=工（a+c+eWO）,則的史上=__.

bdf2a+c+e

10.已知直角三角形的三邊恰好是三個連續(xù)整數(shù)，則這個直角三角形的斜邊長是

11.袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3,綠色卡片兩張，標(biāo)號分別

為1,2,若從五張卡片中任取兩張，則兩張卡片的標(biāo)號之和小于4的概率為—.

12.方程ax2+x+l=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是—.

13.如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)0為位似中心，相似比為1：炳,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,、后），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是.

14.如圖，在長方形ABCD中，AB=3,BC=6,對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC

于點(diǎn)M,N,連接CM,則CM的長為.

三、作圖題（本題滿分10分，第一小題4分，第二小題6分）

15.（10分）已知△ABC,作△DEF,使之與AABC相似，且貶=4.要求:

SAABC

（1）尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.

（2）簡要敘述作圖依據(jù).

四、解答題（本題共5小題，滿分68分）

16.（16分）計算

（1）用兩種不同方法解方程：x2-3-2x=0

（2）解方程：x2=2x；

(3)解方程：3+2x2-,x=0.

17.(12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部35名同學(xué)參加音樂社團(tuán)和美術(shù)社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如表

(單位：人)：

參加美術(shù)社團(tuán)未參加美術(shù)社團(tuán)

參加音樂社團(tuán)65

未參加音樂社團(tuán)420

(1)從該班任選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率；

(2)在既參加音樂社團(tuán)，又參加美術(shù)社團(tuán)的6名同學(xué)中，有4名男同學(xué)Ai、A2、A3、A4,

兩名女同學(xué)Bi、B2,現(xiàn)從這4名男同學(xué)和兩名女同學(xué)中個隨機(jī)選取1人，求Ai未被選中但

Bi被選中的概率.

18.(12分)已知；如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，P、Q分別

是DM、BN的中點(diǎn).

(1)求證：DM=BN；

(2)四邊形MPNQ是怎樣的特殊四邊形，請說明理由；

(3)矩形ABCD的邊長AB與AD滿足什么長度關(guān)系時四邊形MPNQ為正方形，請說明理

19.(12分)某茶葉專賣店經(jīng)銷一種日照綠茶，每千克成本80元，據(jù)銷售人員調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

每月的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)之間存在如圖所示的變化規(guī)律.

(1)求每月銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)若某月該茶葉點(diǎn)銷售這種綠茶獲得利潤1350元，試求該月茶葉的銷售單價x為多少元.

僻千克）

100-----------

80-----------

---------\^j

O90100X(元千克)

20.(16分)已知：如圖，在RtZ\ACB中，ZC=90°,AC=3心m,BC=3cm,點(diǎn)P由B

點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻

速運(yùn)動，速度為J&m/s；若設(shè)運(yùn)動的時間為t(s)(0<t<3),解答下列問題：

(1)如圖①，連接PC,當(dāng)t為何值時△APCs^ACB,并說明理由；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動時，是否存在某一時刻t,使得點(diǎn)P在線段QC的垂直平分

線上，請說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動時，線段BC上是否存在一點(diǎn)G,使得四邊形PQGB為菱形？

若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由.

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）

1.下列說法正確的有（）個.

①菱形的對角線相等；

②對角線互相垂直的四邊形是菱形；

③有兩個角是直角的四邊形是矩形；

④正方形既是菱形又是矩形；

⑤矩形的對角線相等且互相垂直平分.

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答.

【解答】解：①菱形的對角線不一定相等，故錯誤；

②對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故錯誤；

③有三個角是直角的四邊形是矩形，故錯誤；

④正方形既是菱形又是矩形，故正確；

⑤矩形的對角線相等，但不一定互相垂直平分，故錯誤；

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形和矩形的判定與性質(zhì).注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊

的菱形.

2.關(guān)于方程x2-2=0的理解錯誤的是（）

A.這個方程是一元二次方程

B.方程的解是加

C.這個方程可以化成一元二次方程的一般形式

D.這個方程可以用公式法求解

【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解；解一元

二次方程-直接開平方法.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義、解法、一般式逐一判斷即可.

【解答】解：A、這個方程是一元二次方程，正確；

B、方程的解是*=±血，錯誤；

C、這個方程可以化成一元二次方程的一般形式，正確；

D、這個方程可以用公式法求解，正確；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的定義和解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的

關(guān)鍵.

3.一個暗箱中放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中只有2個紅球，每次將球

攪拌均勻后，任意摸出1個球記下顏色，再放回暗箱，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球

的頻率穩(wěn)定在20%,那么可以估算a的值是（）

A.15B.10C.4D.3

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【分析】因?yàn)槌祟伾渌耆嗤那?，在摸的時候出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，通過大量重復(fù)

摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的可能性穩(wěn)定在20%,可知紅球占總球數(shù)大約就是20%,問題

就轉(zhuǎn)化成了一個數(shù)的20%是2,求這個數(shù)，用除法計算即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

24-20%=10（個），

答：可以估算a的值是10；

故選B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了利用頻率估計概率，其中解題時首先通過實(shí)驗(yàn)得到事件的頻率，然

后利用頻率估計概率即可解決問題.

4.關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（）

A.不存在B.4C.0D.0或4

【考點(diǎn)】根的判別式.

【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出

m的值.

【解答】解：?.?方程x2+mx+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

△=m2-4m=0,

解得：m=0或m=4.

故選D.

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，由方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根找出關(guān)于m的一元二次方程

是解題的關(guān)鍵.

5.如圖在AABC中，DE〃FG〃BC,AD：AF：AB=1：3：6,則S^ADE：S醐彩DEGF：S

彩FGCB=()

A.1：8：27B.1：4：9C.1：8：36D.1：9：36

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】由DE〃FG〃BC,可得△ADES/\AFGS/\ABC,又由AD：AF：AB=1：3：6,

利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得SAADE：SAAFG：SAABC=1：9：36,然

后設(shè)4ADE的面積是a,則4AFG和AABC的面積分別是9a,36a,即可求兩個梯形的面

積，繼而求得答案.

【解答】解：：DE〃FG〃:BC,

.?.△ADE^AAFG^AABC,

AAD：AF：AB=1：3：6,

?'?SAADE：SAAFG：SAABC=1：9：36,

設(shè)AADE的面積是a,則AAFG和AABC的面積分別是9a,36a,

貝IS四邊彩DFGE=SAAFG-SAADE=8a,S四邊形FBCG=SAABC-SAAFG=27a,

SAADE：SHWDFGE：SHa?FBCG=l：8：27.

故選A.

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角

形面積的比等于相似比的平方.

6.如圖，在菱形ABCD中，AB=13,對角線AC=10,若過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E,則

AE的長為()

【分析】連接對角線BD,根據(jù)勾股定理求對角線BD=24,由菱形的面積列式得：S?

ABCD=BC?AE=/AC?BD,代入計算可求AE的長.

【解答】解：連接BD交AC于0,

?.?四邊形ABCD是菱形,

/.AC±BD,0A=—AC=—X10=5,

22

VAB=13=BC,

由勾股定理得：0B={AB2_。卜2={132_5M2,

/.BD=2OB=24,

VAE1BC,

?'?S菱彩ABCD=BC?AE=/AC?BD,

13AE=-X10X24,

2

“口120

13

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形以下的性質(zhì)是關(guān)鍵：①菱形的對角線互相

平分且垂直，②菱形的四邊相等，③菱形的面積=兩條對角線積的一半=底邊X高；根據(jù)面

積法可以求菱形的邊或高.

7.如圖，ABCD是正方形，E是邊CD上（除端點(diǎn)外）任意一點(diǎn)，AM_LBE于點(diǎn)M,CN

LBE于點(diǎn)N,下列結(jié)論一定成立的有（）個.

?△ABM^ABCN；

②△BCNdCEN；

③AM-CN=MN；

@M有可能是線段BE的中點(diǎn).

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】①根據(jù)AAS可以證明△ABMgABCN,利用了同角的余角相等；

②根據(jù)兩角對應(yīng)相等，可以證明△BCNs^CEN,因?yàn)樾边匔E和BE不相等，所以一定不

全等；

③根據(jù)①中聽全等可以得結(jié)論；

④根據(jù)正方形的對角線垂直平分可知：當(dāng)M是線段BE的中點(diǎn)時，E在點(diǎn)D處，而已知中

E是邊CD上（除端點(diǎn)外）任意一點(diǎn)，所以得出：M不可能是線段BE的中點(diǎn).

【解答】解：①,?,四邊形ABCD為正方形，

；.AB=BC,ZABC=90°,

；./ABM+NNBC=90°,

：AM_LBE于點(diǎn)M,CN_LBE于點(diǎn)N,

.?.ZAMB=ZBNC=90",

.?.ZABM+ZBAM=90°,

ZNBC=ZBAM,

/.△ABM^ABCN；

故①正確；

@VZBCE=ZCNE=90°,ZCEN=ZCEB,

VCE#BE,

/.△BCN^ACEN,

故②不正確；

③：△ABMdBCN,

.\AM=BN,BM=CN,

.\MN=BN-BM=AM-CN,

故③正確；

④當(dāng)M是線段BE的中點(diǎn)時，E在點(diǎn)D處，而已知中E是邊CD上（除端點(diǎn)外）任意一點(diǎn)，

所以M不可能是線段BE的中點(diǎn).

故④不正確；

所以正確的有：①③2個，

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)較多，要熟練

掌握：①正方形的四邊相等，②正方形的四個角都是直角，③正方形的對角線垂直平分且

平分一組對角等；在正方形判定兩三角形全等時，經(jīng)常運(yùn)用同角的余角相等證明角相等，從

而證明兩三角形全等.

8.在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：

甲：將鄰邊邊長為5和8的矩形按圖①的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間

距均為1，則新矩形與原矩形相似.

乙：將邊長5、12、13的三角形按圖②的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間

距為1,則新三角形與原三角形相似.

對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對、乙不對D.甲不對，乙對

【考點(diǎn)】相似圖形.

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)以及相似多邊形的判定方法得出即可.

【解答】解：由題意可得新矩形邊長為：7和10,

互關(guān)工

810，

故兩矩形不相似，

當(dāng)新三角形的對應(yīng)邊間距離均為1時，則兩三角形的對應(yīng)邊平行，且對應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),

故兩三角形位似，即相似，

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形以及相似多邊形的判定，熟練應(yīng)用相似多邊形的判定方

法是解題關(guān)鍵.

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

9.若京二母吟二，（a+c+eW0）,則?+"f=2.

baf2a+c+e

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等比性質(zhì)，反比性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由得

baf2

a+c+e1

b+d+f-T

由反比性質(zhì)，得

b+d+f0

------=2,

a+c+e

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等比性質(zhì)，反比性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.已知直角三角形的三邊恰好是三個連續(xù)整數(shù)，則這個直角三角形的斜邊長是5.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；勾股定理.

【分析】首先設(shè)中間的數(shù)為x,表示出其余2個數(shù)，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：設(shè)較小的邊長為x.則最小的邊長為（x-1）,斜邊長為（x+1）,

（X-1）2+x2=（x+1）2,

解得xi=0,（不合題意，舍去）X2=4,

故斜邊長為x+l=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的應(yīng)用，利用勾股定理得

到三邊的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

II.袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1,2,3,綠色卡片兩張，標(biāo)號分別

為1,2,若從五張卡片中任取兩張，則兩張卡片的標(biāo)號之和小于4的概率為—磊

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【分析】從五張卡片中任取兩張的所有可能情況，用列舉法求得有10種情況，其中兩張卡

片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有3種情況，從而求得所求事件的概率.

【解答】解：從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種：

紅1紅2,紅1紅3,紅1綠1，紅1綠2,紅2紅3,

紅2綠1，紅2綠2，紅3綠1，紅3綠2，綠1綠2.

其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有3種情況，

紅1綠1，紅1綠2，紅2綠1，

故所求的概率為p=磊；

故答案為：得.

【點(diǎn)評】本題考查古典概型問題，可以列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，應(yīng)用

列舉法來解題是這一部分的最主要思想，屬于基礎(chǔ)題.

12.方程ax2+x+l=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是a<二且aWO.

4

【考點(diǎn)】根的判別式.

【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不為0,即可得出關(guān)于a的一元一

次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論.

【解答】解：???方程ax2+x+l=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，

.卜盧0

..A=l2-4a>0,

解得：■且aWO.

4

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根找出關(guān)于a的一元一次不

等式組是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)0為位似中心，相似比為1：北,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,73），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3,3）.

【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】由題意可得OA：OD=1：如,又由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,6），即可求得OD的長,

又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：：正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：a,

AOA：OD=1：炳,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,返），

即OA=

.,.OD=3,

:四邊形ODEF是正方形，

/.DE=OD=3.

；.E點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3,3）.

故答案為：（3,3）.

【點(diǎn)評】此題考查了位似變換的性質(zhì)與正方形的性質(zhì).此題比較簡單，注意理解位似變換與

相似比的定義是解此題的關(guān)鍵.

14.如圖，在長方形ABCD中，AB=3,BC=6,對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC

于點(diǎn)M,N,連接CM,則CM的長為_

4

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)求出AM=CM,在Rt^DMC中，由勾股定理得出

DM2+DC2=CM2,得出方程（6-CM）2+32=CM2,求出CM即可.

【解答】解：；四邊形ABCD是矩形，

.?.ZD=ZB=90°,AD=BC=6,AB=DC=3,

VMN是AC的垂直平分線，

/.AM=CM,

；.DM=AD-AM=AD-CM=4-CM,

在Rt^DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2,

（6-CM）2+32=CM2,

CE=￥，

4

故答案為：-y-.

4

【點(diǎn)評】本題考查了矩形性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能得出關(guān)于

CM的方程.

三、作圖題（本題滿分10分，第一小題4分，第二小題6分）

15.（10分）已知△ABC,作ADEF,使之與AABC相似，且一=4.要求：

SAABC

（1）尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.

（2）簡要敘述作圖依據(jù)

【考點(diǎn)】作圖一相似變換.

【分析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)得出：4DEF的邊長與AABC邊長的關(guān)系進(jìn)而得出答

案；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合作三角形的方法得出答案.

【解答】解：（1）如圖所示：4DEF即為所求；

(2)VADEF^AABC,且-UJ,

SAABC

.DE_DF_EF_1

?,瓦一而一而斤

...作AB,AC的垂直平分線，進(jìn)而得出AB,AC的中點(diǎn)，即可得出ED,EF,DF的長.

【點(diǎn)評】此題主要考查了相似變換以及三角形的做法，正確得出4DEF邊長變化規(guī)律是解

題關(guān)鍵.

四、解答題(本題共5小題，滿分68分)

16.(16分)計算

(1)用兩種不同方法解方程：x2-3-2x=0

(2)解方程：x2=2x；

(3)解方程：3+2x2--1-x=0.

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】(1)因式分解法和配方法求解可得；

(2)因式分解法求解可得；

(3)由根的判別式小于0可得答案.

【解答】解：(1)因式分解法：(x+1)(x-3)=0,

.,.x+l=0或x-3=0,

解得：x=-1或x=3；

配方法：x2-2x=3,

X2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4,

.,.x-1=±2,

解得:x=-1或x=3；

(2)x2-2x=0,

x（x-2）=0,

x=0或x=2；

（3）*.*a=2,b=--,c=3,

2

△=--4X2X3C0,

4

原方程無實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關(guān)

鍵.

17.（12分）某中學(xué)調(diào)查了某班全部35名同學(xué)參加音樂社團(tuán)和美術(shù)社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如表

（單位：人）：

參加美術(shù)社團(tuán)未參加美術(shù)社團(tuán)

參加音樂社團(tuán)65

未參加音樂社團(tuán)420

（1）從該班任選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率；

（2）在既參加音樂社團(tuán)，又參加美術(shù)社團(tuán)的6名同學(xué)中，有4名男同學(xué)Ai、A?、A3、A4,

兩名女同學(xué)Bi、B2,現(xiàn)從這4名男同學(xué)和兩名女同學(xué)中個隨機(jī)選取1人，求Ai未被選中但

Bi被選中的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）先判斷出這是一個古典概型，所以求出基本事件總數(shù)，"至少參加一個社團(tuán)”

事件包含的基本事件個數(shù)，從而根據(jù)古典概型的概率計算公式計算即可；

（2）先求基本事件總數(shù)，即從這4名男同學(xué)和2名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，有多少中選法,

這個可利用分步計數(shù)原理求解,再求出"Ai不被選中，而Bi被選中”事件包含的基本事件個數(shù),

這個容易求解，然后根據(jù)古典概型的概率公式計算即可.

【解答】解：（1）設(shè)"至少參加一個社團(tuán)”為事件A；

從45名同學(xué)中任選一名有45種選法，.??基本事件數(shù)為45；

通過列表可知事件A的基本事件數(shù)為6+4+5=15；

這是一個古典概型，，P(A)-=~

453

(2)從4名男同學(xué)中任選一個有4種選法，從2名女同學(xué)中任選一名有2種選法；

從這4名男同學(xué)和2名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人的選法有4X2=8,即基本事件總數(shù)為8；

設(shè)"Ai未被選中，而Bi被選中"為事件B,顯然事件B包含的基本事件數(shù)為3；

這是一個古典概型，則P(B)

【點(diǎn)評】主要考查了事件的分類和概率的求法.用到的知識點(diǎn)為：可能發(fā)生，也可能不發(fā)生

的事件叫做隨機(jī)事件；概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.(12分)已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，P、Q分別

是DM、BN的中點(diǎn).

(1)求證：DM=BN；

(2)四邊形MPNQ是怎樣的特殊四邊形，請說明理由；

(3)矩形ABCD的邊長AB與AD滿足什么長度關(guān)系時四邊形MPNQ為正方形，請說明理

由.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，利用SAS判定△MBA之△NDC；

(2)四邊形MPNQ是菱形，連接AN,有(1)可得至!JBM=DN,再有中點(diǎn)得到PM=NQ,

再通過證明△MQD之Z\NPB得至MQ=PN,從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三

角形中位線的性質(zhì)可得：MP=MQ,進(jìn)而證明四邊形MQNP是菱形；

(3)利用對角線相等的菱形是正方形即可.

【解答】證明：(1)?四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,ZA=ZC=90°,

:在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),

/.AM=—AD,CN=—BC,

22

，AM=CN,

'AB=CD

在AMAB和△NDC中，＜ZA=ZC

,AM=CN

.,.△MBA^ANDC(SAS)；

(2)四邊形MPNQ是菱形.

理由如下：連接AP,MN,

則四邊形ABNM是矩形，

：AN和BM互相平分，

則A,P,N在同一條直線上，

易證：AABN之ABAM,

/.AN=BM,

VAMAB^ANDC,

/.BM=DN,

VP,Q分別是BM、DN的中點(diǎn)，

/.PM=NQ,

，DM=BN

在△MQD和ANPB中，，NMDQ=NNBP，

DQ=BP

.,.△MQD^ANPB(SAS).

，四邊形MPNQ是平行四邊形，

：M是AD中點(diǎn)，Q是DN中點(diǎn)，

.\MQ=-^-AN,

.\MQ=-^BM,

VMP=—BM,

2

/.MP=MQ,

平行四邊形MQNP是菱形；

(3)當(dāng)AD=2AB時，四邊形MQNP是正方形;

如圖1,連接PQ,

VPQXMN.ADXMN,

，PQ〃AD,

:點(diǎn)P是BM的中點(diǎn),

；.AD=2PQ,

VAD=2AB,

；.PQ=AB,

VMN=AB,

.\MN=PQ,

由（2）知，四邊形MQNP是菱形;

二菱形MQNP是正方形.

【點(diǎn)評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定

和全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法，判斷出

四邊形MQNP是菱形是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題目.

19.（12分）某茶葉專賣店經(jīng)銷一種日照綠茶，每千克成本80元，據(jù)銷售人員調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

每月的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間存在如圖所示的變化規(guī)律.

（1）求每月銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若某月該茶葉點(diǎn)銷售這種綠茶獲得利潤1350元,試求該月茶葉的銷售單價x為多少元.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)設(shè)函數(shù)解析式為丫=質(zhì)+1將(90,100),(100,80)代入y=kx+b即可；

(2)每千克利潤乘以銷售量即為總利潤；根據(jù)某月獲得的利潤等于1350元，求出x的值即

可.

【解答】解：(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b,

把(90,100),(100,80)代入y=kx+b得，

[90k+b=100

1100k+b=80，

y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+280.

(2)根據(jù)題意得：w=(x-80)(-2x+280)=-2x2+440x-22400=1350；

解得(x-110)2=225,

解得xi=95,X2=125.

答：銷售單價為95元或125元.

【點(diǎn)評】本題一元二次方程及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出函數(shù)和方

程模型，難度不大.

20.(16分)已知：如圖，在Rt^ACB中，ZC=90°,