2024-2025學年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路：利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題（學生版+解析）

專題07利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題

(典型題型歸類訓練)

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：判斷(討論)零點(根)個數(shù)問題................2

題型二：證明唯一零點問題..............................3

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)....................5

三、專項訓練.............................................7

一、必備秘籍

1、函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=/(x),把使/(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的

零點.

(2)三個等價關(guān)系

方程/(%)=0有實數(shù)根-函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點的橫坐標。函數(shù)y=/(x)

有零點.

2、函數(shù)零點的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間也切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/(?)-f(b)<0,那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,這個c也就是/(x)=0的根.我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理.

注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點

3、利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法

(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想

分析問題(畫草圖時注意有時候需使用極限).

(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).

4、利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法

⑴分離參數(shù)（a=g（x））后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g（x）的值域（最值）問題或轉(zhuǎn)化為直線

V=a與y=g（x）的圖象的交點個數(shù)問題（優(yōu)選分離、次選分類）求解；

（2）利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；

（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

二、典型題型

題型一：判斷（討論）零點（根）個數(shù)問題

1.（2024?廣東梅州?二模）已知函數(shù)〃x）=ex,g（x）=x2+l,/z（x）=asinx+i（a＞0）.

⑴證明:當xe（0,4w）時,f（x）＞g（x）；

（2）討論函數(shù)/（x）=〃x）-/i（x）在（0,兀）上的零點個數(shù).

2.（2024?陜西安康?模擬預測）已知函數(shù)/（彳）=恁*山彳+%-＜：05萬,/（彳）為/（尤）的導函數(shù),

r（o）=2.

（1）求”的值；

（2）求/''（X）在（0,兀）上的零點個數(shù).

3.(23-24高二下?山東荷澤?階段練習)已知函數(shù)〃%)=依一1+1,(aeR).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)討論的零點個數(shù).

1Y

4.(23-24高二下?山東淄博?階段練習)已知函數(shù)〃村=奴+=，g(x)=—.

ee

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若4=1,試判斷函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象的交點個數(shù)，并說明理由.

5.(23-24高二下?山東荷澤?階段練習)給定函數(shù).〃x)=(尤+3甘

(1)求/(尤)的極值；

(2)討論〃x)=eR)解的個數(shù).

題型二：證明唯一零點問題

1.(2024■浙江杭州?二模)已知函數(shù)/(x)=aln(x+2)-g尤2(aeR).

⑴討論函數(shù)〃元)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/⑺有兩個極值點，

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：函數(shù)“X)有且只有一個零點.

2.(23-24高二下?江蘇常州階段練習)已知函數(shù)〃x)=M+sinr+l在區(qū)間(0,鼻內(nèi)恰有一

個極值點，其中。?R,e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：/(x)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.

3.(2024高三上?全國?專題練習)已知a>0,函數(shù)〃尤)=xe*—a,g(x)=xlnx—a.證明:

函數(shù)/(%)，g(x)都恰有一個零點.

4.(23-24高三上?黑龍江?階段練習)已知函數(shù)〃x)=x+lnx,g(x)=e'lnx+a,且函數(shù)

的零點是函數(shù)g(元)的零點.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)證明：y=g(x)有唯一零點.

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)

1.(23-24高二下?廣東廣州?期中)已知函數(shù)〃%)=祀2工+5-2)e「x.

(1)。=0時，證明：尤>0時，/(%)<0；

⑵討論的單調(diào)性；

⑶若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

2.(2024,寧夏固原?一模)已知函數(shù)〃x)=ar(lnx+l)+l(<7>0).

(1)求/(元)的最小值；

(2)若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

3.（23-24高二下?廣東佛山?期中）已知函數(shù)〃x）=lnx-or（aeR）.

⑴當y=/（x）的圖象與x軸相切時，求實數(shù)。的值；

⑵若關(guān)于X的方程/（X）=%有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍.

1v-

4.（23-24高二下?浙江,期中）已知函數(shù)〃引=5/-彳+。111;，awR,e為自然對數(shù)的

底數(shù).

（1）討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性；

（2）判斷函數(shù)“可能否有3個零點？若能，試求出。的取值范圍；若不能，請說明理由.

5.（23-24高二下?天津?階段練習）若函數(shù)〃尤）=爾一加+4,當丈=2時，函數(shù)有極

值T

（1）求曲線y=在點（L/⑴）處的切線方程；

⑵若方程/'(%)=4有3個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍.

6.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習)已知函數(shù)/(x)=(x-l)e-G；2,aeR.

⑴當。告時，求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若方程f(x)+a=O有三個不同的實根，求。的取值范圍.

三、專項訓練

1.(2024,全國?模擬預測)設(shè)函數(shù)/(x)=-x2+ar+lnx(aeR).

(1)若a=l,求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)在1,e上有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))

2.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(x-l)2e=ax,且曲線＞=/(x)在點(0J(x))處

的切線方程為y=-2x+b.

⑴求實數(shù)。，6的值；

(2)證明：函數(shù)/(戈)有兩個零點.

6.（2024,全國?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=xlnx+or（aeR）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當。=-1時，方程〃力=根有兩個解，求參數(shù)機的取值范圍.

7.（23-24高二下淅江,期中）設(shè)/（X）=|X3-X2-8X-1.

（1）求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若方程f（X）=。（。WR）有3個不同的實根，求a的取值范圍.

8.（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=e，-d+a,xeR,<p^x）=f^x）+X^-x.

⑴若e（無）的最小值為o,求。的值；

⑵當a<0.25時，證明：方程/（x）=2x在（0,+8）上有解.

9.(23-24高二下?河北張家口?階段練習)已知函數(shù)/'(x)=g辦3一4x+4(aeR)在尤=—2處

取得極值.

⑴確定。的值并求〃X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的方程“力=6至多有兩個根，求實數(shù)b的取值范圍.

10.(23-24高二下?山東?階段練習)已知函數(shù)f(x)=(2xT)e,.

x-1

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)關(guān)于1的方程(2x-l)e"=a(x-l)有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.

專題07利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題

(典型題型歸類訓練)

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：判斷(討論)零點(根)個數(shù)問題................2

題型二：證明唯一零點問題..............................3

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)....................5

三、專項訓練.............................................7

一、必備秘籍

1、函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=/(%),把使/(x)=0的實數(shù)》叫做函數(shù)y=/(x)的

零點.

(2)三個等價關(guān)系

方程/(%)=0有實數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點的橫坐標=函數(shù)y=/(%)

有零點.

2、函數(shù)零點的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間也切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/(?)-f(b)<0,那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,這個c也就是/(x)=0的根.我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理.

注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點

3、利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法

(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想

分析問題(畫草圖時注意有時候需使用極限).

(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).

4、利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法

⑴分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線

V=a與y=g(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；

(2)利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；

(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

二、典型題型

題型一：判斷(討論)零點(根)個數(shù)問題

1.(2024?廣東梅州?二模)已知函數(shù)〃x)=ex,g(x)=x2+l,/z(x)=asinx+l(a>0).

⑴證明:當xe(0,4w)時,f(x)>g(x)；

(2)討論函數(shù)/(x)=〃x)-/i(x)在(0,兀)上的零點個數(shù).

【答案】①證明見解析

(2)當aVl時，尸(x)在(0,兀)上沒有零點：當時，尸(x)在(0,兀)上有且僅有1個零點.

【分析】(1)結(jié)合已知不等式構(gòu)造函數(shù)G(x)=/Cx)-g(;v)=e，-尤2-1,對其求導，結(jié)合導數(shù)與

單調(diào)性關(guān)系即可證明；

(2)對尸(x)求導，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點存在定理對。的范圍進行分類討論即

可求解.

【詳解】(1)證明，4-G(x)=7(%)-g(x)=ex-X2-1,

貝l」G'(x)=e，-2x,

記P(x)=er-2x,則p'(x)=e'-2,

當xe(0,ln2)時，p'(x)<0,當xe(ln2,+co)時，p\x)>0,

所以p(x)在無e(0,ln2)上單調(diào)遞減：在xe(ln2,+co)上單調(diào)遞增，

從而在(0,+s)上，G'(x)=p{x}>p(ln2)=2-21n2>0,

所以G(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，

因此在(0,+8)上，G(x)>G(0)=0,即/(無)〉g。)；

(2)F(x)=f(x)-h(x)=ex-tzsin-1,F\x)=ex-acosx,

0<a<l,在(°,兀)上，F(xiàn)r(x)=ex-acosx>l-a>0,

所以，尸(%)在(。,兀)上遞增，F(xiàn)(x)>F(0)=0,即函數(shù)尸(%)在。兀)上無零點；

a>1,i己式不)=F(無)=e"-acos無，

則q'(x)=e"+。sinx20,q(x)在(0,兀)上遞增,

而虱0)=1-/<0,^(-)=e2>0,

jr

故存在%e(0,5),使虱%)=0,

.,.當0<x<不時，F(xiàn)(x)遞減，無0<無<兀時，尸(無)遞增，F(xiàn)Cx)^=F(x0),

而尸(X。)<g(0)=：O,尸(7t)=e--l>0,

尸(x)在。％)上無零點，在(％,兀)上有唯一零點，

綜上，當時，F(xiàn)(x)在(0,兀)上沒有零點：

當“>1時，/(x)在(。,兀)上有且僅有1個零點.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；

3.適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造"形似"函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

2.(2024?陜西安康?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ae'sinx+x-cosx,/'(無)為Ax)的導函數(shù),

r(o)=2.

(1)求。的值；

(2)求/''(x)在(0,兀)上的零點個數(shù).

【答案】(1)1

(2)1

【分析】(1)求導，利用"0)=2可解；

(2)設(shè)g(x)=r。)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可確定零點個數(shù).

【詳解】(1)由/(x)=ae'sinx+x-cosx,

貝K(x)=ae*sinx+ae*cos尤+1+sinx=ae*(sinx+cosx)+l+sinx,

又八0)=2,所以。+1=2,即a=l；

(2)由(1)可知/''(x)=e*(sinx+cosx)+l+sinx,

設(shè)g(尤)=f\x)=ev(sinx+cos尤)+1+sinx,

貝Ug'(x)=e*(sinx+cosx)+e，(cosx-sinx)+cosx=cosx(2e*+l),

則當1時，g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增，

當無時，g'(x)<。，則g(x)單調(diào)遞減，

所以當Xe(0㈤時，g(X)max=g§)=”+2>0,

又g(。)=(0)=2>0,g(7i)=1-e"v0,

所以g(x)在上無零點，在(方,j上有一個零點；

從而/'(x)在(0,兀)上有1個零點.

【點睛】方法點睛：處理有關(guān)三角函數(shù)與導數(shù)綜合問題的主要手段有：

(1)分段處理：結(jié)合三角函數(shù)的有界性與各不同區(qū)間的值域分段判斷導函數(shù)符號；

(2)高階導數(shù)的應(yīng)用：討論端點(特殊點)與單調(diào)性的關(guān)系，注意高階導數(shù)的應(yīng)用，能清

楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性是關(guān)鍵；

(3)關(guān)注三角函數(shù)的有界性與常用不等式放縮.

3.(23-24高二下?山東苗澤?階段練習)已知函數(shù)〃力=依—/乜，(aeR).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)討論“X)的零點個數(shù).

【答案】⑴答案見解析；

(2)答案見解析.

【分析】(1)含參數(shù)的單調(diào)性討論問題，先求導，再分aWO和。>0導函數(shù)的正負來求原

函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)零點問題即方程根個數(shù)問題，首先討論特殊情況即當x=0時根的情況；再討論當xwO

時，構(gòu)造函數(shù)g(x),求導后分無<0、0<%<1,x>l時討論g(x)的單調(diào)性和極值情況，然

后函數(shù)y=。與函數(shù)g(x)圖像交點的情況即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)?."(%)=改—尸，=尸

分當a40時，/'(x)<0恒成立，在R上單調(diào)遞減.

當a>0時，令得尤<lna—1；令/'(x)<0,得x>lna—1

二/'(x)在(ro,lna-1)上單調(diào)遞增，在(in<7-1,+co)上單調(diào)遞減.

綜上所述：當aWO時，”力在R上單調(diào)遞減；

當0>0時，/在(―,Ina-1)上單調(diào)遞增，在(Ina—1,4w)上單調(diào)遞減.

(2)令ax—e'"=0，

當x=0時，方程不成立，二0不是的零點,

ex+1pX+lx+l

當xwO時,令g(x)=J,則g，(x)=e

XXX

當x<0時,g<x)<0,g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，且g(x)<0.

當0<x<l時，gr(x)<0,g(元)在(0,1)上單調(diào)遞減，

=e2,\g(x)>e2,

當X>1時，g'(x)>o,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

，g(x)>g⑴即\g(x)>e?,

X+1

當a>e2時，直線與函數(shù)g(x)=3j有兩個交點，函數(shù)〃%)=依-6向有兩個零點，

X+1

當a=e?時，直線>與函數(shù)g(x)=u有一個交點，函數(shù)〃x)=Q-e*有一個零點，

X+1

當0Wa<e2時，直線廣。與函數(shù)g(x)=*沒有交點，函數(shù)〃x)=?x-e加沒有零點，

X+1

.??當a<0時，直線y=a與函數(shù)g(x)=Y有一個交點，函數(shù)〃力="-e句有一個零點

綜上所述，當ae(e2,+s)時，函數(shù)〃力=依-/包有兩個零點；

當a?(?,0)U付｝時，函數(shù)〃力=如一/1有一個零點；

當何0,，)時,函數(shù)7■(力=依-e㈤沒有零點.

1Y

4.(23-24高二下?山東淄博,階段練習)已知函數(shù)〃司="+了，g(x)=—.

(1)討論“力的單調(diào)性；

(2)若4=1,試判斷函數(shù)y=〃x)與y=g(x)的圖象的交點個數(shù)，并說明理由.

【答案】⑴答案見解析

⑵無交點，理由見解析

【分析】(1)求導可得/'(x)=*^,分類討論當“40、a>0時函數(shù)/(x)對應(yīng)的單調(diào)性

即可求解；

(2)由〃x)=g(x)得職*-犬+1=0,令加(%)=忍-x+1,利用二次導數(shù)討論函數(shù)機(x)的

性質(zhì)可得，"(x)2〃z(O)=l,即可下結(jié)論.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=ax+g的定義域為R,且:(x)=a-

當“40時/'(力<。恒成立，所以〃力在R上單調(diào)遞減，

當〃>0時，令/'(%)=0,解得犬=-Ina,

所以當xv-lna時/r(x)<0,當尤>-lna時尤)>0,

所以/(力的單調(diào)遞減區(qū)間為(口，-ln。)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-In。,出)，

綜上可得：當aWO時/(尤)在R上單調(diào)遞減；

當a>0時/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(r,-Ina),單調(diào)遞增區(qū)間為(-Ina,??).

(2)<7=1,貝!J/(無)=尤+=，令〃x)=g(x),即無e*—尤+1=0,

令”?(x)=xe，-x+l,則m,(x)=(x+l)eA-1,

令n(%)=w/(x)=(x+l)eA-1,則=(x+2)e*,

所以當xe(-oo,-2)時〃(x)<0,則以x)單調(diào)遞減,且以x)<0,

當xe(—2,+co)時”'(x)>0,貝5|n(x)單調(diào)遞增，

又〃(-2)=-e-2-1<0,；2(0)=0,故當x<0時“(X)<0,

所以當xe(-00,0)時加(x)<0,則加(x)單調(diào)遞減,

當X€(0,+00)時m(X)>0,則777(X)單調(diào)遞增,

所以制冷2相(0)=1,所以方程xe*-x+l=0無實根，

所以函數(shù)y=〃x)與y=g(x)的圖象無交點.

5.(23-24高二下?山東荷澤?階段練習)給定函數(shù).〃x)=(x+3)e，

⑴求〃尤)的極值；

⑵討論=根(meR)解的個數(shù).

【答案】(1)極小值為-廣，無極大值.

⑵答案見解析

【分析】(1)對原函數(shù)求導數(shù)，并根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而

求得極值；

(2)根據(jù)(1)中的單調(diào)性與極值討論函數(shù)y=/(x)的圖像與水平線y=機的圖象交點個數(shù)

即可.

【詳解】(1)???/(尤)=(x+3)e'

/(x)=(x+3)'/+(x+3)(e*)'=(x+4)e”,

令「(x)=(x+4)e'>0得

令/''(x)=(x+4)e'<。得x<-4,

.函數(shù)在區(qū)間(-8,-4)上單調(diào)遞減，在(-4,w)上單調(diào)遞增，

.?.當JC=T時，/⑺取得極小值為/(-4)=-廠，無極大值.

(2)由(1)知函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,-4)上單調(diào)遞減，且當x<-3時，/(x)=(x+3)e'<0；

當x=T時，/⑺取得極小值為/(-4)=-4,

e

從而得知，當尤<-3時，Ax）圖象恒在x軸下方，

且當xfv時，/（x）fO,即以x軸為漸近線，

當根=-與時，方程有一個解；

e

當時，方程有一個解；當機<-4時，方程有0個解；

e

當-與〈根<0時，兩圖象有兩個交點，方程有兩根.

e

綜上，當機=-■^或〃后0時，方程有一個解；

e

當-（<m<0時，方程有兩個解，當相〈一《時，方程解的個數(shù)為0.

題型二：證明唯一零點問題

1.（2024■浙江杭州?二模）已知函數(shù)/（x）=aln（x+2）-1■尤2（aeR）.

（1）討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)有兩個極值點，

（i）求實數(shù)a的取值范圍；

（ii）證明：函數(shù)“X）有且只有一個零點.

【答案】⑴答案見解析；

（2）（i）-l<a<0：（ii）證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再分aW-1、-l<a<0>aNO三種情況，分別求出函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）由（1）直接解得；（ii）結(jié)合函數(shù)的最值與零點存在性定理證明即可.

【詳解】⑴函數(shù)〃尤）=Hn（x+2）-32geR）的定義域為（-2,+⑹，

且（（無）=2_尤=一（》+1『+4+1,

\'x+2x+2

當aW-1時，/'（x）WO恒成立，所以/（x）在（-2,依）單調(diào)遞減；

當一1<〃<0時，令/'（兀）=0,即一（九+1）2+々+1=0,解得芯=-Ja+l-l,%=五+1-1，

因為一1<。<0,所以0<〃+1<1,則一2<-血+1-1<-1，

所以當工式一2,—而I—1）時/（同<0,

當工￡（-Ja+1—1,Ja+1-1）時于‘4>0,

所以/(x)在卜2,-+1-1)上單調(diào)遞減,在(一Ja+1—1,J。+1—1)上單調(diào)遞增,

在(Ja+l—1,+8)上單調(diào)遞減；

當“20時，此時一Ja+1-14-2,

所以xe卜2,Ja+1-1)時用勾>0,當*?(血+1-1,+00)時/(「)<0,

所以〃尤)在卜2,7^1-1)上單調(diào)遞增，在(5^工1-1,+?)上單調(diào)遞減.

綜上可得：當aW-1時〃x)在(-2,+向單調(diào)遞減；

當—1<a<0時f(x)在卜2,—V6(+1—1)上單調(diào)遞減，

在卜，"萬-i,V^TT-i)上單調(diào)遞增，在(而I-1,+可上單調(diào)遞減；

當a20時/(元)在卜2,Ja+1—1)上單調(diào)遞增,在(Ja+1-1,+oo)上單調(diào)遞減.

(2)(i)由(1)可知一lva<0.

(ii)由(1)/在卜2,-Ja+1-1)上單調(diào)遞減,

在(-A/^TT-1,而I-1)上單調(diào)遞增，在(/*萬-1,+可上單調(diào)遞減，

所以/(%)在兀=Ja+1-1處取得極大值，在兀=-yja+1-1處取得極小值，

X-l<a<0,所以O(shè)va+lvl,則1<Ja+1+1月2,

又f(%)極大值=f(&+1_1)="In(&+1+1)——(Ja+1—<0,

所以/(%)在卜而T-1,+8)上沒有零點，

444

乂-1<。<0，則/<-4，則o<e"eT，-2<e-2<5-2，

'41/4\/______\

所以/ea-2=4——ea-2>0,所以/(%)在(-2,-?~n-1)上存在一個零點，

IJ，

綜上可得函數(shù)”力有且只有一個零點.

2.(23-24高二下?江蘇常州?階段練習)已知函數(shù)〃x)=ae'+sinx+l在區(qū)間內(nèi)恰有一

個極值點，其中。eR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

⑵證明：”X）在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.

【答案】（1）（—1,0）

⑵證明見解析

【分析】（1）求導得廣⑺，分和。<0討論尸（X）的單調(diào)性，并保證在（0，￡內(nèi)有唯一

零點七即可；

（2）利用導數(shù)確定了（X）在區(qū)間（。,gj上的單調(diào)性，根據(jù)零點存在性定理證明即可.

【詳解】（1）由題意可得/''（xbaeX+cosx,當時，cosxe（0,l）,

①當時，/'（x）>0,〃x）在向上單調(diào)遞增，沒有極值點，不合題意；

②當a<0時，令g（x）=/'（x）,則在（0,"上g'（尤）=ae&-sinx<0,

所以尸（x）在（0可上單調(diào)遞減，

因為:@=a+l"［3=a/<0,且〃尤）連續(xù)不間斷，

所以7?'（0）=。+1>0,解得。>一1,

由零點存在定理，此時尸（x）在（。，3內(nèi)有唯一零點看，

所以當xe（O,不）時，f^x）>0；當xe［，3時，/（%）<0,

所以“X）在內(nèi)有唯一極大值點符合題意，

綜上，實數(shù)。的取值范圍為（-1,0）.

兀371、

（2）由（1）知一l<a<0,當無w''NJ時，>=ae"<0,y=cosx40,

所以在上r（x）="e*+cosx<0,〃x）在［號）上單調(diào)遞減，

所以當xe（O,%）時，單調(diào)遞增，當時，?。﹩握{(diào)遞減，

又因為〃占）>/（0）=。+1>0,所以在（0,不）內(nèi)無零點，

當xe卜群時，因為〃為）>0,/圖=屋<0,且心）連續(xù)不間斷，

所以由零點存在定理，〃尤)在卜，苓J內(nèi)有唯一零點，即〃無)在［O，EJ內(nèi)有唯一零點.

3.(2024高三上?全國?專題練習)已知a>0,函數(shù)"%)=北-a,g(x)=xlnx-a.證明:

函數(shù)/(x),g(x)都恰有一個零點.

【答案】證明見解析

【分析】先求導確定函數(shù)單調(diào)性，然后利用零點存在定理來證明即可.

【詳解】證明：函數(shù)/(司=貧”一a的定義域為R,r(%)=(x+l)e\

Qx<-1時,r(x)<0,X>—1時,f^x)>0,

\/(x)在上單調(diào)遞減，“X)在(-1,+8)上單調(diào)遞減增，

Qx<0時，/(x)<0,/(0)=-a<0,/(a)=aea-a=a[e^-1)>0,

，函數(shù)〃尤)恰有一個零點.

函數(shù)g(x)=xlnx—。的定義域為(0,+s),g'(尤)=lnx+l,

,.,0<x<1時，g'(x)<0,尤>,時，g'(x)>0,

;.g(x)在?上單調(diào)遞減，g(x)在上單調(diào)遞增,

時，g(x)<0,g(l)=—av0,

令6>max{a,e}(max,%”}表示根，〃中最大的數(shù)),g[b)=b\nb-a>a(lna-l)>0,

函數(shù)g(尤)恰有一個零點.

4.(23-24高三上?黑龍江?階段練習)己知函數(shù)〃x)=x+lnx,g(x)=e*lnx+a,且函數(shù)

的零點是函數(shù)g(x)的零點.

(1)求實數(shù)a的值；

⑵證明：y=g(x)有唯一零點.

【答案】(1)1

(2)證明見詳解

【分析】(1)易判斷〃尤)單調(diào)遞增，令〃%)=與+111%=0,即可得令g(x0)=0

即可求。；

(2)由導數(shù)判斷g(x)單調(diào)遞增，g(%)=0即可得證.

【詳解】(1)由/(x)=x+lnx易判斷〃x)在(0,+動單調(diào)遞增，

且小11+=f(l)=l+lnl=l>0,

\e7eee

所以可令/(%)=~+111%=0,

得％o=—In%,所以％o+ln%o=In(/e/)=0=>/e題=1,

由題意g(%)=°，即e與In/+a=-e^x0+Q=—1+Q=O,

所以a=l；

(2)g(x)=e1nx+l,則/⑴=e(lnx+g),

令p(%)=lnx+L則=

XXXX

所以當xe(O,l)時，p(x)<0,p(x)單調(diào)遞減，當xe(l,a)時，p'(x)>0,p(x)單調(diào)遞增，

所以p(x)>p(l)=l>0,

所以g'(x)=e(lnx+J>0,

結(jié)合(1)可得存在唯一七eg』)，使得g(x0)=O,即函數(shù)y=g(x)有唯一零點.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題(1)的關(guān)鍵是通過同構(gòu)得出不葭=1；(2)的關(guān)鍵是二次

求導確定函數(shù)的單調(diào)性.

題型三：根據(jù)零點(根)的個數(shù)求參數(shù)

1.(23-24高二下?廣東廣州?期中)已知函數(shù)〃x)=ae2*+(a-2產(chǎn)-尤.

(1)。=0時，證明：x>0時，/(%)<0；

(2)討論的單調(diào)性；

⑶若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析

⑵答案見解析

(3)(0,1)

【分析】(1)直接由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性證明即可；

(2)先求導函數(shù)，分類討論求單調(diào)性即可；

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論先得。>0,再利用其最小值小于零結(jié)合/z(a)=lna-：+1的單調(diào)性計

算得ae(O,l),根據(jù)零點存在性定理驗證即可.

【詳解】(1)由a=0知/(%)=-2e]—%,易知其R上單調(diào)遞減，

所以%>。時，W/(x)</(0)=-2<0,得證；

(2)易知/<%)=2皿2"+(4—2)e*-l=(aeX-l)(2e、+l),

顯然“WO時，/(x)vO,此時函數(shù)在R上單調(diào)遞減；

若〃〉0,貝！]犬>—Ina時，/r(x)>0,%v—Ina時，/r(x)<0,

即/(%)在(-8,-1n。)上單調(diào)遞減，在(-In+8)上單調(diào)遞增；

綜上：aWO時，/(%)在R上單調(diào)遞減；a〉0時，/(%)在Ina)上單調(diào)遞減，

在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增；

(3)由上可知時，4％)在R上單調(diào)遞減，不存在兩個零點，

所以〃>0,即/(x)>=—+(?-1)-—+Ina=Inti--+1,

令7I(Q)=Intz——+1

要滿足題意需"(。)<0,

易知〃(a)=lna-1+1在(0,+功上單調(diào)遞增，且旗1)=0

所以

/E/\(e+l)tz+e2-2e(e+l)x0+e2-2e

取戶-1,貝！l)=i—j---------——--------------->0,

取x=ln。，貝Ij/(ln3]=2+3_g_ln2=』+3_ln。，

a\a)aaaaa

令g(%)=%+3-In%(%>0)ng，(%)--―,

x

則x>l時，g'(x)>0,Ovxvl時，g'G)<0,

所以g(%)在(。，1)上單調(diào)遞減，在(L+功上單調(diào)遞增,即g(尤)*⑴=4>0,

即小n：>0,

則〃尤)在(TTna)及1-Ina,ln￡|上分別有兩個零點，顯然符合題意，

故ae(O,l).

2.(2024?寧夏固原?一模)已知函數(shù)〃x)=ar(lnx+l)+l(a>0).

(1)求/(元)的最小值；

⑵若/(無)有兩個零點，求”的取值范圍.

【答案】⑴Ij后

⑵(d,+e)

【分析】(1)首先求解所給函數(shù)的導函數(shù)，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值;

⑵結(jié)合(1)可知，只需％n<0求解計算即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)f\x)=a(\nx+V)+ax--=a(\nx+T)(a>0),

當r(x)>0時，即lnx+2>0,貝！|尤>片2,

當,(力<。時,即lnx+2<。，則0<x<eW，

即當0〈尤時，r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當了八以時，尸(x)>O,〃x)為增,

在尤=/處取最小值，3U=/(r)=1-aeS

(2)由(1)可知，=1_恁-2,

由〃龍)有兩個零點，

x.0時，/(x)=ac(lnx+l)+l—>1,xf+8時，〃x)=flx(lnx+l)+lf+oo,

所以，l-ae*2<0,即ae-2>l,解得：a>e2.

。的取值范圍為(e。,+8).

3.(23-24高二下?廣東佛山?期中)已知函數(shù)〃x)=lnx-flx(aeR).

(1)當y=F(x)的圖象與X軸相切時，求實數(shù)a的值；

(2)若關(guān)于&的方程〃*)=%有兩個不同的實數(shù)根，求。的取值范圍.

【答案】⑴

e

【分析】(1)由題意設(shè)切點為(毛,0),再根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出方程組，即可得解；

(2)關(guān)于x的方程/(力=》有兩個不同的實數(shù)根，即方程。+1=?有兩個不同的實數(shù)根,

即函數(shù)y=a+I,y=?的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)g(x)=『,利用導數(shù)求出其

單調(diào)區(qū)間及極值，作出大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】(1)由題意設(shè)切點為(毛,0),

1

f'(xo)=——a=0CL——

則xo，解得,e,

x

/(x0)=lnx0-ax0=0o=e

所以a=L

e

(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+s),

關(guān)于x的方程/(力=%有兩個不同的實數(shù)根，

即方程。+1=分有兩個不同的實數(shù)根，

X

InX

即函數(shù)y=〃+l,y=——的圖象有兩個不同的交點，

x

令g(x)=F，則g(x)=1］產(chǎn),

當0<x<e時，g'(x)>0,當x>e時，g'(x)<0,

所以函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+句上單調(diào)遞減，

所以g(x)a=g(e)=:,

又當尤->0時，g(x)f-8,當xf+8時，g(x)>o且g(x)f0,

作出函數(shù)g(x)的大致圖象，如圖所示，

所以

1y

4.(23-24高二下?浙江?期中)已知函數(shù)=-x+Hn—N，aeR,e為自然對數(shù)的

底數(shù).

(1)討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性;

⑵判斷函數(shù)〃尤)能否有3個零點？若能，試求出。的取值范圍；若不能，請說明理由.

【答案】(1)答案見解析

(2)不能有3個零點，利用見解析

【分析】⑴求導得「⑴二(U),即可根據(jù)。的分類，確定r(龍)的正負，即可

求解單調(diào)性，

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得必有0<。<1或結(jié)合函數(shù)的極值，即可求解.

/IX1/\

【詳解】(1)由/'(x)=//—x+aln^p=-x+alnx-a(x-l),

f'(x)=x-l+—-a=――—―(x>0),

當。40時，x-a>0,令/'(x)>0,則x>l,此時f(x)單調(diào)遞增,

令/。)<0,則0<x<l,此時〃尤)單調(diào)遞減，

當0<“<1時，令/'(尤)>0,則x>l或0<x<a,此時/(無)單調(diào)遞增,

令_f(x)<0,則a<x<l,此時單調(diào)遞減，

當a>l時，令/'(x)>0,則或0<x<L此時〃x)單調(diào)遞增，

令廣(司<0,則l<x<a,此時〃尤)單調(diào)遞減，

當°=1時，令/''(x)20恒成立，此時/'⑺在尤>0單調(diào)遞增，

綜上可得：當"40時，”力在(L+")單調(diào)遞增，在(0,1)單調(diào)遞減，

當0<“<1時，〃尤)在(1,+動，(0,。)單調(diào)遞增，在1)單調(diào)遞減，

當a=l時，〃力在(0,+動單調(diào)遞增，

當a>l時，〃力在(a,+功,(0,1)單調(diào)遞增，在(La)單調(diào)遞減,

(2)若〃尤)有3個零點，則由(1)知必有。<"1或a>l,

若則“X)在x=。處取極大值，在x=l處取極小值，

/(l)=-1，/(?)=|o2-a+?(ln

a—。+1)=—Q2+QInQ

72

令g(Q)=-gq2+Q]nQ(0<Q<l),貝ijg'(a)=-a+lna+l,

令/z(a)=g<a)=-a+lna+1,貝?。?-1+—=--->0,

故g'(a)在(0,1)單調(diào)遞增,g'(a)<g'(l)=0,故g⑷在(0,1)單調(diào)遞減,

當a->0時,g(a)->0,故g(a)<0,

因此/(a)<0在0<.<1上恒成立，故〃尤)不可能有3個零點，

若。>1,則“尤)在x=a處取極小值，在x=l處取極大值，

>/(1)=-1<0,故〃x)不可能有3個零點，

綜上可得“力不可能有3個零點，

【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍;

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就

要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

5.（23-24高二下?天津?階段練習）若函數(shù)〃0=加-法+4,當尤=2時，函數(shù)“X）有極

值T

⑴求曲線y=在點（1,〃項處的切線方程；

⑵若方程F（x）=左有3個不同的根，求實數(shù)上的取值范圍.

【答案】（l）9x+3y-10=0

,、4,28

'_j.

【分析】（1）對/（X）求導后，由已知列方程組，求出“=再由導數(shù)的意義得到切線的

b=4

斜率和點（L/。））代入曲線方程，得到/'（1）,最后由點斜式得到直線方程；

（2）先求出y=/（x）的單調(diào)區(qū)間和極值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)上的取值范圍.

【詳解】（1）f'（x）=3ax2-b,

/,(2)=12G-Z7=0

解得”§，

b=4

所以=-4x+4,f,(x)=x2-4,

所以尸(1)=—3,/(1)=1,

所以曲線,=〃力在點處的切線方程為y-g=-3(x-l),

即9x+3y—10=0.

(2)由(1)得(元)=(x+2)(x—2),

令廣(九)=0,解得％=2或—2,

所以

X(-oo,-2)-2(々2)2(2,+<30)

廣(力+0-0+

28_4

/(x)遞增遞減遞增

T

OQA

所以，當x=-2時，“X)有極大值T；當x=2時，〃x)有極小值

所以〃x)=gx3-4x+4得圖像大致如下:

若/(x)=Z有3個不同的根，則直線丫=左與函數(shù)"X)的圖像有3個交點，

所以_《<人

33

6.(23-24高三下?山東苗澤?階段練習)已知函數(shù)/(x)=(x—l)e-ax2,aeR.

⑴當時，求〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若方程/(尤)+。=0有三個不同的實根，求。的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)

⑵聞嗚什”

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，再解關(guān)于導函數(shù)的不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；

(2)由/(x)+a=(x-l)[e*-a(x+l)],可得x=l為/(x)+"=0的一個根，

所以e-a(x+l)=0有兩個不同于1的實根，令g(x)=e-a(x+l),利用導數(shù)說明函數(shù)的單

調(diào)性，從而得至U當a>0時g(lna)<0且g(l)w0,即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)當。=9時，函數(shù)〃尤)=(無-1)1-5尤2,

則/'(x)=xe*-ex=x(e"-e),令/(%)=0得x=0或x=l

當xe(y,0)或xw(l,y)時，>0,當xe(Ql)時，/(%)<0,

所以/'(x)在(-*0)上單調(diào)遞增，在(1,+?)上單調(diào)遞增，在(。,1)上單調(diào)遞減，

即當a=]時，〃尤)單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和(1,+s),單調(diào)遞減區(qū)間為(。,1).

(2)-.?/(x)+a=(x-l)[er-a(x+l)],所以x=l為〃x)+a=0的一個根，

故e，-a(x+l)=0有兩個不同于1的實根，

令g(x)=e"-a(x+l),貝i]g'(x)=eX—a,

①當a40時，g'(x)>0,故g(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意；

②當a>0時，令g'(x)=0,得x=lna,

當x>lna時，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(lna,+oo)上單調(diào)遞增，

當x<lna時,g'(尤)<0,故g(x)在區(qū)間(-8,Ina)上單調(diào)遞減，

并且當X->-8時，g(x)f+oo；當X-+8時，g(x)f+8；

所以若要滿足題意，只需g(lna)<。且g⑴/0,

因為ganQuei110—a(lna+l)=-alna<0,所以a>l,

又g6=e-2a工0,所以力

所以實數(shù)0的取值范圍為

三、專項訓練

1.(2024?全國?模擬預測)設(shè)函數(shù)/(x)=f；2+辦+1nx(aeR).

(1)若a=l,求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)在Je上有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(L+8)

(2)1,e-1

【分析】(1)根據(jù)題意，求導可得尸(力，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意